数值积分有关的基本概念

1、 第五章第五章 数值积分数值积分5.1 数值积分有关的基本概念数值积分有关的基本概念5.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式5.3 龙贝格算法龙贝格算法5.4 高斯求积公式高斯求积公式badxxffI)()(对于积分对于积分公式有则由的原函数如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技术和科学研究中但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象常会见到以下现象:的一些数值只给出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf不是初等函数如求不出来的原函数)(,)()()2(xFxFxf求原函数较困难的表达式结构复杂,)()3(xf5.1

2、数值积分有关的基本概念数值积分有关的基本概念一一. .基本思想基本思想 badxxfI)()()( fab ba, 其其中中YXba)(xfy 则则有有若若取取),2()(baff )2()(bafabI 则则有有若若取取,2)()()(bfaff )()(2bfafabI :,进进行行如如下下划划分分对对区区间间一一般般地地babxxxan 10矩形公式矩形公式梯形公式梯形公式进行加权平均进行加权平均niwi,1 ,0 取取权权1)()(0 nxfwfniii 则则 badxxfI)()()( fab 1)()(0 nxfwabniii1)(nwabAkk记nI nkkkbaxfAdxxfI

3、0)()( badxxfI)(1)()(0nxfwabniii求求积积系系数数求积节点求积节点 nkkkbannxfAdxxfIIR0)()(求积余项求积余项如何来衡量一个求积公式的好坏呢?二. .代数精度代数精度:.1 定定义义:1.2 定定理理.,1,代数精度代数精度次次则称该公式具有则称该公式具有式不精确成立式不精确成立次多项次多项而至少对一个而至少对一个多项式都精确成立多项式都精确成立的的有次数不大于有次数不大于如果某个求积公式对所如果某个求积公式对所mmm 次次代代数数精精度度某某求求积积公公式式具具有有 m.)(,), 1 , 0()(1不不精精确确成成立立而而对对精精确确成成立立

4、该该公公式式对对 mkxxfmkxxf等等价价于于例例1.1.验证求积公式验证求积公式?)2()(的的代代数数精精度度为为多多少少bafabI 右右左左时时 abdxxfba1:1)()(21:)(22abxdxxxfba 左左时时2)(baab 右右右右左左 解解：)(31:)(3322abdxxxxfba 左左时时2)2)(baab 右右右右左左 1代代数数精精度度为为 例例2. 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.)()()0()()0(2)()(120fIhffahhffhdxxffIhhdxxI00解解:221hI 202231hahhI0)(xxf对于hI 1hhdxx

5、I011)(xxf对于22hhdxxI022)(xxf对于33h3)221(ha1II 令121a3022241hahhIhdxxI033)(xxf对于44h44h4023251hahhIhdxxI044)(xxf对于55h65h3 , 2 , 1 , 0)()(1jxIxIjj)()(414xIxI因此所以该积分公式具有3次代数精确度 三三. . 插值型求积公式插值型求积公式), 2 , 1(),(,( :)(nkxfxxfykk 的的数数据据设设已已知知函函数数则可得则可得： nkkknxlxfxP0)()()(则则有有取取),()(xPxfn banbadxxPdxxfI)()( ban

6、kkkdxxlxf) )()(0 nkkbakxfdxxl0)()( bakkdxxlA)(:记记 nnkkkbaIxfAdxxfI0)()(:则则有有称之为插值型求积公式称之为插值型求积公式 nkkbakxfdxxl0)()( bandxxPxf)()(dxxxnfnkkban0)1()()!1()( 求积余项求积余项nnIIR 次次代代数数精精度度它它至至少少具具有有是是插插值值型型的的个个节节点点求求积积公公式式定定理理nn 1:2. :次代数精度次代数精度至少具有至少具有证证n 代数精度代数精度,)(次次多多项项式式为为 nxli nkkikbaixlAdxxl0)()(iAnnkkk

7、baIxfAdxxfI 0)()(), 1 , 0()( nkxxfk 则则对对为为插插值值型型公公式式 bankknndxxxnfII0)1()()!1()( 0.次次代代数数精精度度则则至至少少具具有有即即公公式式精精确确成成立立n第第五五章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分5.1 数值积分有关的基本概念数值积分有关的基本概念5.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式5.3 龙贝格算法龙贝格算法5.4 高斯求积公式高斯求积公式一、一、Newton-Cotes数值求积公式数值求积公式Newton-Cotes公式是指等距节点下使用公式是指等距节点下使用Lagrange插值插值多项式建立的数值

8、求积公式多项式建立的数值求积公式,)(baCxf设函数为插值多项式及余项分别的Lagrangexf)(等份分割为将积分区间nba,nkkhaxk, 1 ,0,为步长其中nabh各节点为各节点为nkkknxlxfxL0)()()()()!1()()(1)1(xnfxRnnn,baniinxxx01)()(其中其中kjnjjkjkxxxxxl0)(而而)()()(xRxLxfnn因此对于定积分因此对于定积分badxxffI)()(banndxxRxL)()(有有badxxffI)()( bankkkdxxlxf0)()(bandxxR)(nkkkxfA0)(bandxxR)(令令nkkknxfAf

9、I0)()(banndxxRIR)()(badxxffI)()(bakkdxxlA)(其中dxxxxxbakjnjjkj 0n阶阶Newton-Cotes求积公式求积公式Newton-Cotes公式的余项公式的余项(误差误差)bakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj 0:的计算kA注意是等距节点注意是等距节点thax假设,bax由, 0nt可知kAdxxxxxbakjnjjkj 0dthhjkhjtnkjnj 00)()(dtjtknkhnkjnjkn 00)()!( !)1(dtjtknknabnkjnjkn 00)()!( !)1()()()(nkkCabAnkkknxfAfI

10、0)()(nkknkxfCab0)()()(所以所以Newton-Cotes公式化为公式化为系数称为CotesCnk)(注：注：Cotes 系数系数仅取决于仅取决于 n 和和 k，可通过查表得到。，可通过查表得到。与被积函数与被积函数 f (x) 及积分区间及积分区间 a, b 均无关。均无关。q 科特斯系数具有以下特点：科特斯系数具有以下特点：(1) 10)(niniC(2) )()(ninniCC科特斯系数表科特斯系数表二、低阶二、低阶Newton-Cotes公式及其余项公式及其余项在在Newton-Cotes公式中公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也时的公式是最常用也最重要三个公式最

11、重要三个公式,称为低阶公式称为低阶公式1.梯形梯形(trapezia)公式及其余项公式及其余项abhbxaxn, 110则取dtt10)1()1(0CCotes系数为系数为21dtt10)1(1C21求积公式为求积公式为)(1fI10)1()()(kkkxfCab)()(210 xfxfab)()(2bfafab)(1fI即上式称为上式称为梯形求积公式梯形求积公式,也称也称两点公式两点公式，记为，记为-0.500.511.500.511.522.533.544.5)()(2)(bfafab)(1fIT 梯形公式的余项为梯形公式的余项为)()(1IRTRbadxxR)(1dxbxaxfTRba

12、)(2)()(dxbxaxfba )(2)(,ba第二积分第二积分中值定理中值定理6)(2)(3abf )()!1()()(1)1(xnfxRnnn)(12)(3fab 2312)(|)(|MabTR|)(|max,2xfMbax 梯形梯形(trapezia)公式具有公式具有1次代数精度次代数精度故故2.Simpson公式及其余项公式及其余项2,2,2210abhbxabxaxn则取Cotes系数为系数为dtttC20)2(0)2)(1(4161dtttC20)2(1)2(2164dtttC20)2(2)1(4161求积公式为求积公式为)(2fI20)2()()(kkkxfCab)(61)(6

13、4)(61)(210 xfxfxfab)()2(4)(6bfbafafab)(2fI-0.500.511.500.511.522.533.544.5上式称为上式称为Simpson求积公式求积公式，也称，也称三点公式或抛物线公式三点公式或抛物线公式记为记为)(2fIS Simpson公式的余项为公式的余项为)()(2IRSRbadxxR)(2)()2(180)4(4fababSimpson公式具有公式具有3次代数精度次代数精度3.Cotes公式及其余项公式及其余项4,4 , 1 , 0, 4abhkkhaxnk则取Cotes系数为系数为dtttttC)4)(3( )2)(1(! 44140)4(

14、0907dtttttC)4)(3( )2(! 34140)4(19032dtttttC)4)(3( )1(! 2! 24140)4(29012dtttttC)4)(2( )1(! 34140)4(39032dtttttC)3)(2( )1(! 44140)4(4907求积公式为求积公式为)(4fI40)4()()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210 xfxfxfxfxfab)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfab上式称为上式称为Cotes求积公式求积公式，也称，也称五点公式五点公式记为记为)(4fIC Co

15、tes公式的余项为公式的余项为)()(4IRCRbadxxR)(4)()4(945)(2)6(6fababCotes公式具有公式具有5次代数精度次代数精度三、三、Newton-Cotes公式的稳定性公式的稳定性(舍入误差舍入误差)dtjtknknCnkjnjknnk 00)()()!( !)1(考察考察Cotes系数系数因此用因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由公式计算积分的舍入误差主要由的计算引起函数值)(kxf其值可以精确给定其值可以精确给定响的舍入误差对公式的影只需讨论)(kxf)()()(,)(计算值的近似值作为而以为精确值假设kkkxfxfxf为误差)()(kk

16、kxfxf)( fInnkknkxfCab0)()()(记记)(计算值的近似值为nI而理论值为而理论值为)( fInnkknkxfCab0)()()(的误差为与nnII)()(fIfInnnkkknkxfxfCab0)()()()(nnII nkknkCab0)()(nkknkCab0)()(nnII nknkCab0)()(|max|k有若,0,)(nkCnknnII nknkCab0)()()(ab 10)(nknkC性质：Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的公式的舍入误差只是函数值误差的倍)(ab 时，公式都是稳定的当事实上8,n公式是稳定的时即CotesNewtonC

17、nknk,0,)(nknkCab0)()(有有正有负若,)(nkCnknkCab0)()()(ab 此时此时,公式的稳定性将无法保证公式的稳定性将无法保证因此因此,在实际应用中一般不使用高阶在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式公式而是采用低阶复合求积法而是采用低阶复合求积法四四. . 复合求积法复合求积法固定时而节点个数的长度较大当积分区间1,nba直接使用直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大公式的余项将会较大增加时即而如果增加节点个数1,n公式的舍入误差又很难得到控制公式的舍入误差又很难得到控制为了提高公式的精度为了提高公式的精度,又使算法简单易行又使算法简单

18、易行,往往使用复合方法往往使用复合方法分成若干个子区间即将积分区间,ba然后在每个小区间上使用低阶然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加最后将每个小区间上的积分的近似值相加1.复合求积公式建立方法复合求积公式建立方法等份分割为的积分区间将定积分nbadxxfba,)(nkkhaxk, 1 ,0,nabh各节点为1,(0,1,1)kkxxkn在子区间上使用比如：NewtonCotes低阶公式梯形公式，辛浦生公式，梯形公式，辛浦生公式，Cotes公式公式110( )( )kknbxaxkf x dxf x dx110()()2nkkkhf x

19、f x110 ()()2nkkkhf xf x11 ( )2()( )2nnkkhTf af xf b310()12nnnkkhRITf)(TR)(12)(3fab )(12103 nkkfh2( ) , ,f xC a b设被积函数nTI 103)(12nkkfh)(max)()(min10 xfnfxfbxankkbxa 由于使得由介值定理,ba)()(10fnfnkk nTI 103)(12nkknfnh)(123fnh 即有)()(12)(2nTRfhab 110( )( )kknbxaxkf x dxf x dx41(4)1()180 2nnnkkhhRISf41(4)11()180

20、2nkkba hfn 4(4)( ), , 1802bahfa b 11102 ()4 ()()6nkkkkhf xf xf x11102 ()4 ()()6nkkkkhf xf xf x111012 ( )4()2()( )6nnnkkkkhSf af xf xf bkx1kx12kx6(6)2()( ), , 9454nbahICfa b 111112300014447 ( )32() 12()32() 14()7 ( )90nnnnnkkkkkkkkhCf af xf xf xf xf b要注意这个公式还将小区间要注意这个公式还将小区间x,x划分为四等分，要用划分为四等分，要用到四等分点

21、到四等分点!kx12kx1kx14kx34kx例1.10sindxxxI计算定积分使用各种复合求积公式解:00.1250.250.3750.50.6250.750.8751x0 x1x2x3x4x5x6x7x8x0 x1/2x1x3/2x2x5/2x3x7/2x4x0 x1/4x1/2x3/4x1x5/4x6/4x7/4x210.99739790.98961580.97672670.95885110.93615560.90885170.87719260.84147108T )1()(2)0(16171kkfxff分别由复合分别由复合Trapz、Simpson、Cotes公式有公式有945690

22、86. 04S)1()(2)(4)0(241313021fxfxffkkkk94608331. 02C)1(7)(14)(32)(12)(32)0(718011110434241fxfxfxfxffkkkkkk94608307. 08T94569086. 04S94608331. 02C94608307. 0原积分的精确值为10sindxxxI671839460830703. 0精度最高精度次高精度最低 比较三个比较三个公式的结果公式的结果那么哪个复合求积公式的收敛最快呢？满足使其余项及若存在对于复合求积公式nnIIcpI, 00chIIpnh0lim阶收敛的是则称复合求积公式pIn()pnI

23、IO h阶收敛的概念也等价于显然 p,当被积函数可导时不难知道,复合梯形、Simpson、Cotes公式的收敛阶分别为2阶、4阶和6阶2.复合公式收敛性复合公式收敛性通常情况下通常情况下,定积分的结果只要满足所要求的精度即可。定积分的结果只要满足所要求的精度即可。精度越高越大分割的小区间数而积分区间nInba,运算量也很大太大但,n但精度可能又达不到运算量虽较小太小,n取多大值合理呢？那么n五五.自动变步长复合求积公式自动变步长复合求积公式11,2hh将步长缩小一倍 即nTI22( )( )122ba hf nnTITI21( )14( )4ff)(3122nnnTTTI为的近似值的截断误差约

24、作为因此ITn2)(3122nnnTTTI21( )12bah f 复合梯形公式的余项为复合梯形公式的余项为2( )12nbaIIh f 为的近似值的截断误差约作为ISn2)(15122nnnSSSI为的近似值的截断误差约作为ICn2)(63122nnnCCCI利用辛浦生公利用辛浦生公式式 的误差余的误差余项可类推项可类推若预先给定的误差限为有因此对一般的复合积分nI)(122nnnIIpIIpIInn2只要nII2就有的近似值即为满足要求的IIn2步长自动选取的步骤步长自动选取的步骤:11,1. 1Iabhn计算，取取不同的值不同的方法p|1,212,12212IIpIhhn和计算，取步长折

25、半否则停止计算若,2II |1,214,. 224424IIpIhhn和计算，取步长折半否则停止计算若,4II 依此类推依此类推kII2,停止计算直到以上这种方法称为以上这种方法称为自动变步长复化求积法自动变步长复化求积法有时也去有时也去掉掉精度会更精度会更高高自动变步长梯形求积公式自动变步长梯形求积公式当将区间划分成n份时：11 ( )2()( )2nnnknkhbaTf af xf bhn当步长减小一半时，区间被划分成2n份时，记新加入的n节点为 xk+1/2：kx1kx12kxnh12112102 ( )2()2()( )2nnnnkkkkhTf af xf xf b所有中间节所有中间节

26、点点所有中间节所有中间节点点121201()22nnnnkkhTTf x所以步长分半前后的梯形值有关系：所以步长分半前后的梯形值有关系：这个公式使我们可以很方便计算这个公式使我们可以很方便计算 分半后的新梯形值分半后的新梯形值!kx1kx12kxnh所有新增中所有新增中间节点间节点12481632.TTTTTTnxxdxxsI1)(31 ,22,3 ,4,)()()()(iiiiiiiixxxxxxxq41 ,32,23 ,4,432)(1iiiiiiiixxihhhhdxxqiiMatlab命令：命令：I = quad(FUN,a,b,tol)第五章第五章 数值积分与数值微分数值积分与数值微

27、分5.1 数值积分有关的基本概念数值积分有关的基本概念5.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式5.3 龙贝格算法龙贝格算法5.4 高斯求积公式高斯求积公式 综合前几节的内容综合前几节的内容,我们知道我们知道梯形公式梯形公式,Simpson公式公式,Cotes公式的代数精度分别为公式的代数精度分别为1次次,3次和次和5次次复合梯形、复合复合梯形、复合Simpson、复合、复合Cotes公式的收敛阶分别为公式的收敛阶分别为2阶、阶、4阶和阶和6阶阶无论从代数精度还是收敛速度无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的，复合梯形公式都是较差的，但是计算是相当方便的但是计算是相当方便的!能否充分发

28、挥梯形公式能否充分发挥梯形公式 的优点的优点构造出更好的数值公式？构造出更好的数值公式？由复合梯形公式的余项公式由复合梯形公式的余项公式)(3122nnnTTTI24133nnITT可以证明可以证明n等分区间的复化辛浦生公式等分区间的复化辛浦生公式Sn：24133nnnSTT)(15122nnnSSSI由复合由复合Simpson公式的余项又得：公式的余项又得：21611515nnnISSC同样由复合同样由复合Cotes公式的余项还可得：公式的余项还可得：)(63122nnnCCCI26416363nnnICCR称为称为 Ronberg公公式式可以证明可以证明(1)Romberg公式具有公式具有

29、7次代数精度，次代数精度，误差满足：误差满足：8()nIRO h它不是插值型公式即求积系数不能由它的对应求积节点它不是插值型公式即求积系数不能由它的对应求积节点的基函数积分表示的基函数积分表示!(1)计算顺序为：从上至下逐行计算，每行从左至计算顺序为：从上至下逐行计算，每行从左至右依次计算。右依次计算。Romberg算法算法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2(2)停机准则为：停机准则为：2nnRR)1()(4141)1(11kTkTkTmmmmm其中外推加速公式可简化为其中外推加速公式可简化为-(9)0(0T)1(0T)0(1T)2(0T)1(1T)0(2T)3(0T)

30、2(1T)1(2T)0(3T,2 , 1mm可以推广到并且,2 , 1kRomberg算法的收敛算法的收敛阶高达阶高达m+1的两倍的两倍Romberg算法求解步骤算法求解步骤Romberg算法的代算法的代数精度为数精度为m的两倍的两倍第五章第五章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分5.1 数值积分有关的基本概念数值积分有关的基本概念5.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式5.3 龙贝格算法龙贝格算法5.4 高斯求积公式高斯求积公式( (代数精度最高的公式代数精度最高的公式) )有有n n 个求积节点的插值型公式个求积节点的插值型公式 nkkkbaxfAdxxf1)()(,1 n其其代代数数精精

31、度度至至少少为为?最最高高可可达达多多少少怎样构造这个代数精度最高的公式？怎样构造这个代数精度最高的公式？5.4 高斯求积公式高斯求积公式例：例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量， 则有则有4 4个未知量个未知量 , ,可以列出可以列出4 4个方程个方程： （以（以f(x)f(x)在在-1,1-1,1为例）为例）1010,xxaa032021111133113001122112001111001110dxxxaxadxxxaxaxdxxaxadxaa可解出：可解出：31,31, 1, 11010 xxaa可以看出，数值积分公式可以看出，

32、数值积分公式)31()31(11fffdx具有具有3 3阶代数精阶代数精度，比梯形公度，比梯形公式式1 1阶代数精度高阶代数精度高一一. .高斯求积公式高斯求积公式 nkkkbaxfAdxxf1)()(定义：定义：有有n n个求积节点的求积公式如果具有个求积节点的求积公式如果具有 2n-12n-1次次 代数精度，则称为代数精度，则称为n n点点高斯型求积公式高斯型求积公式。高斯点高斯点：高斯型求积公式中的求积节点高斯型求积公式中的求积节点高斯系数高斯系数：高斯型求积公式中的求积系数。高斯型求积公式中的求积系数。12( )()()()nw xxxxxxx badxxwxP0)()(定理定理: :

33、对对n n个节点的插值型求积公式个节点的插值型求积公式 nkkkbaxfAdxxf1)()(为高斯型求积公式的充要条件是以求积节点为根的为高斯型求积公式的充要条件是以求积节点为根的n n次多项式次多项式与任何次数小于与任何次数小于n n的多项式的多项式p(x)p(x)正交即正交即二、高斯二、高斯勒让德求积公式勒让德求积公式 1 1、勒让德多项式、勒让德多项式 )2 , 1 , 0()1(!21)(2 nxdxdnxPnnnnnn次次多多项项式式多多项项式式称称为为勒勒让让德德)(legendre2) !(2)!2(maxnnaxnnn 的的系系数数为为次次数数其其多多项项式式的的性性质质legendre.2正正交交性性)1( .1 ,1)(上上是是两两两两正正交交的的在在区区间间 xPn )( ,122)(,0)()(11nmnmmdxxPxPnm递递推推关关系系)2(1)(0 xPxxP )(1 ),2,1()()()12(11)(11 nxnPxxPnnxPnnn零零点点)3( 内内且且全全部部在在区区间间点点个个互互实实零零有有多多项项式式次次1,1,)( nxPlegen