2020届天一大联考高三高考全真模拟卷(四)数学(文)试题(解析版)

1、2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（四）数学（文）试题一、单选题1 .已知集合 A x y JX , B x y 1g x2 x ,则 A。B()A. 0 U 1，B.,0 J 1, C. 0,D. 1,【答案】D【解析】求函数定义域确定集合A,B,然后由集合交集定义求解.【详解】由题意A xx 0 , B ,0 U 1,.根据交集的定义得 A|B 1,故选：D.【点睛】本题主要考查集合的交集运算.,掌握对数函数性质是解题关键.2 .已知复数z满足z 1 i 2 3i （i为虚数单位），则复数Z的虚部为（A 5B.5C. 5iD. -i2222【答案】B【解析】由复数除法运算计算出z,再由

2、复数概念得结论.【详解】. 一2 3i155由z 1 i 2 3i知z £上 -?i,故复数z的虚部为-5. 1 i2 22故选：B.【点睛】本题考查复数的有关概念及复数的运算.对于复数z a bi aR,b R ,复数z的虚部为b ,不是bi.3 .某高中有1300名高一学生，1200名高二学生，1500名高三学生，其性别比例如图所示,则该校女生人数是（）A. 1660B. 1960C. 2040D. 2340【解析】根据图表中比例分别计算各年级女生人数后相加即得.思路点拨女生人数 n 1300 40% 120045% 1500 40%1660.故选：A.本题考查统计图中的扇形图，

3、属于基础题.4.已知双曲线2y_2a2当 1 a b 0 b2的两条渐近线的夹角为2,则该双曲线C的离心3B.C.过3或由3【解析】由渐近线的夹角得a,b的关系式，从而可得 a,c的关系式,求得离心率e由双曲线2y2a2 x b21 a b 0的方程，可知渐近线方程为 ya ,tan b 3所以a二儡，即a2 3b2 3a2 ,所以3c2以离心率e2.33故选：A.本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时直接求出a,c的关系式即可,如果忽略条件中的a b 0 ,则导致结果有两种可能，从而错选C.5.执行如图所示的程序框图，若输人的x1,1 ,则输出的y的取值范围为（*B ,0 u e,1D. e

4、, 10,A.，0 U "c1，： U 0，【答案】B【解析】由程序框图，确定函数f(x)的解析式，然后可求得值域.【详解】ex, 1 x 0, 一， v1由程序框图可知，y，函数y ex在区间1,0上单调递增，值域为-，1 ;ln x,0 x 1e函数y ln x在区间0,1上也单调递增，值域为,0 ,所以当x 1,1时，y的取值范围为，0 U 1,1. e故选：B.【点睛】ex, 1 x 0,本题考查程序框图及分段函数的值域.本题可以画出分段函数 y的图象，借lnx,0 x 1助函数的图象求分段函数的值域 .函数的值域为函数图象上所有点的纵坐标组成的集合.分段函数的值域为各段上函

5、数值域的并集.6.已知圆锥的底面半径为 2,高为4,有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面 积是()A.B. 2C. 3D. 4【解析】作出轴截面，在轴截面中由相似三角形可求解.【详解】h 1如图，设圆枉的图为 h ,由题意可得，所以h 2,从而圆柱的侧面积 4 2际 212 4,故选：D.本题考查圆柱侧面积的计算公式，对旋转体解题时可作出轴截面，在轴截面中计算.7.已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn,且S20190,S20200,则使an0成立的最小自然数门为()A. 1009B.1010C. 1011D. 1012【解析】由等差数列的前n项和公式Snn(ai an)结合等差

6、数列的性质确定项的正负. 2因为S20190,所以da20190,即 2a10100, 0.因为S20200 ,所以a1a20200,即 a1010a)0110,所以 a10110.故选：C.本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式,考查等差数列的性质，由等差数列只要确定数列相邻两项一正一负即可得结论.8.设满足约束条件x y 1x 2y0,0,的变量y形成的区域为D,有下列四个命题:2y 2 0Pl:y 3 0；P2 :0;.P3：x,y dy 3 0；P4 :其中正确命题的个数为（A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】作出可行域，再作直线x y 3 0,观察此直线与可行域的关系

7、，根据存在命题与全称命题的概念判断.【详解】x y 1 0,思路点拨约束条件x 2y 0, 所表示的可行域为图中三角形区域，直线 x y 3 0经过x 2y 2 0三角形的一个顶点2, 1 ,根据题意可知Pi ：x, y D , x y 3 0正确，P2 ：x, y D , x y 3 0正确，可行域均在直线 x y 3 0 的上方，故 P3 ： x, y D, x y 3 0 正确，P4 ：x, y D ,x y 3 0错误，故选：C.【点睛】本题考查线性规划与简易逻辑，解题关键是作出可行域，作出直线x y 3 0,由直线与可行域的关系得出结论.9 . 2019年9月8日，中华人民共和国第十

8、一届少数民族体育运动会在河南郑州开幕，现从我省曾获得乒乓球奖牌的 2男1女三名运动员与获得跳远奖牌的1男2女三名远动员中各选 1人作为运动会的火炬手，则选出的 2名运动员性别恰好相同的概率是（A.B.C.D.2人性别相同的基本事件【解析】把6人编号，然后写出各选 1人的所有基本事件，从中可得的个数，从而计算出概率.由题意，记获得乒乓球奖牌的三名运动员分别为A, A2, Bi,1人的基本获得跳远奖牌的三名运动员分别为 A3, B2 , B3,则从中各选事件有：A1,A3，A,民，A,B3，MAA2,B2A2,B3Bi, ABi,B2 ,Bi, B3，共9个，而2人性别相同的基本事件有:A2,A3

9、 , Bi,B2Bl,B34共4个，故所求的概率为 P 9故选：B.【点睛】考查目标本题考查古典概型的计算.求古典概型概率的关键是求问题中基本事件的总数和子事 件所包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法，列b , c, A3，且A ABC的外接表法和树状图法，具体应用则可根据需要灵活选择10 .在AABC中，内角A, B, C所对的边分别为a,圆的半径为 B 则八ABC周长的最大值是（A. 12B.C. 10D. 9【解析】由正弦定理求出a ,由余弦定理及基本不等式求出b c的最大值，即得周长最大值.由正弦定理sin A sinB2R,a 2RsinA2,3

10、3人3.由余弦定理2b22c 2bccosA,b212bc 2b22.c bc,所以2c 3bc b c4b cb c 6,当且仅当b c 3时等号成立，所以ABC周长的最大值为3 69.故选：D.本题考查正弦定理、余弦定理以及均值不等式的应用.属于中档题.11.设曲线fx 41nx 在点 1,0处的切线上有一动点P ,曲线g x3x2 2ln x.上有PQ长度的最小值为（17A. -7B.立17C. 3-17D.五17【答案】C【解析】求出曲线f(x)在(1,0)处的切线l方程，再同曲线g(x)的与直线l平行的切线方程, 两平行线间的距离就是所求的最小值.【详解】* f 10, f x切线斜

11、率k14,故曲线fx在1,0处的切线方程为4x y 4 0.又 g x226x 一,令 6x 一1-(舍去).又g 13,3故g (x)在1,3处的切线方程为4x y 10 ,与直线4x y 40平行，这两条平行线间的距离为d竺7 ,故线段PQ长度的最小值为173/1717故选：C.【点睛】本题考查求一般曲线的切线问题，两条平行线间的距离的应用，考查转化与化归思想.解题关 键是把两点间距离的最小值转化为平行线间的距离.2212.已知椭圆交椭圆于Axr当 1 a b 0的左右焦点分别为F1, F2,过F2且与x轴垂直的直线a2b2B两点，直线AF1与椭圆的另一个交点为C ,若SA ABC4SA

12、BCF1 ,则椭圆的离心率为(A. -5510B. 5C.3D). -i3【解析】由ABx轴，可得出A点坐标(不妨设A在第一象限)，由SA ABC 4 s BCF1 得AC 4 CFj ,从而可表不出C点坐标,把C点坐标代入椭圆方程得 a,b,c的关系式，变形后可求得e.因为AB x轴，所以不妨设Ac,b2 a因为SA ABC4SaBCF1,所以 AC4CF1 ,即 AFi3 CF1.因为 F1c,05cb2yc3a5c222，代入椭圆方程可得 生黑 -b-3a9a2 9a21, 25c2 a2 c2 9a2, a2 3c2,所以e m3故选：c.【点睛】本题考查椭圆的定义及基本性质，求离心率

13、，关键是列出关于a,b,c的等式，本题根据三角形面积关系得出 AC 4CF1 ,从而表示出C点坐标是解题关键.二、填空题13.已知向量ra3 升，3 rx 1,x , b ,2 .右 1口，则 x 的值为x 1一 ,1【答案】2或12【解析】根据向量共线的坐标表示求出x .A共线，所以2 x 131x 0得 x 2 或-.x 12本题考查平面向量共线的坐标运算，属于基础题.14.已知定义在区间,0 U 0, 上的函数f x满足f x f x 0,当x 0时,f x Inx ,则函数g x f x e的所有零点的乘积为 .【答案】1【解析】由解方程的思想求出 x 0时，g(x)的零点，在根据偶函

14、数性质得出 x 0时的零点, 计算乘积即可.【详解】当x 0时，由f x lnx知，g x f x e的零点有两个，分别为 x ee和x? e e由题意f x f x可知函数f x为偶函数，所以当 x 0时，g x还有两个零点，即eeX3e , X4e ,所以 x1 x2eee ee01 ,X3X4eee e e0 1 ,从而X1X2X3X41 .【点睛】标本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点.解题时根据零点定义直接求出零点是解题的基本方法.1,15.已知函数f X s1nx与g X cos 2x 0的图象有一个横坐标为的26交点，则g x在X 0,上的值域为.4-13【答案】0,2【解析】由

15、交点横坐标得交点坐标，代入g(x)可求得 ，再由正弦函数的单调性可求得值域.1 ，一 ，一，一，一由题意知交点坐标为-,-，代入g X的解析式可以得到 cos 6 23 k , k Z.因为 032冗CI一,所以 g x cos 2x .662因为x 0,一,所以2x 46-,，所以g x的值域为0,13 6 32故答案为:考查目标本题考查三角函数的图象与性质，求函数值域时，先关注定义域，再判断函数的单调 性，从而求得值域.16 .四面体ABCD的四个顶点都在半径为 1的球面上，若ABC为直角三角形，则该四面体 体积的最大值为.81【解析】ABC为直角三角形，不妨设斜边 BC是所在截面圆的直径

16、，当且仅当 & ABC为等 腰直角三角形时， ABC的面积最大，当 D到平面ABC的距离最大时，四面体 ABCD体积最大.由此可得解法. BC中点是。1,设OO1 x,把体积表示为x的函数，再由导数的知识求得最大值.【详解】设过A, B, C三点的平面截已知球 O所得的圆为圆Oi,因为& ABC为直角三角形，不妨 设AB AC ,则BC为圆Oi的直径，设圆Oi的半径为r ,则当且仅当ABC为等腰直角三 角形时，八ABC的面积最大，连接OiO并延长交球面于一点，若使得四面体 ABCD的体积最大，则该交点应为点 D, DOi即为四面体 ABCD的高，设OOix,则有x2 r2 i，

17、则VI面体ABCD令 fx 3x3 ix2 3x 5 0x i_.i 所以f x在0,1上单调递增，在3i ，二，-,i上单调递减, 3i .一时，f x取得取大值，f x3 i的最大值为f3328i故答案为： .8i本题考查多面体外接球问题.解题关键是分析出多面体体积最大时，多面体的结构特征.然后 引入参数OOi x,体积可表示为x的函数，由函数知识求得最大值.三、解答题17 .已知Sn为等差数列 an的前n项和，且a3 a5i0, S05.(i)求数列 an的通项公式；i(2)令bn anan i,数列 一的取小项.61【答案】（1） an 3n 17-2【解析】(1)由已知条件列出 d与

18、ai的关系式，求解，得 an的通项公式的最小,口 ,1(2)由(1)得出 6的通项公式，由通项公式得出满足 4 0时的那一项，即 一 bn项.【详解】(1)设等差数列 an的公差为d ,2a1 6d 10,a114,由a3 %10, S105,得解得,10a1 45d5, d 3,所以 an 3n 17.3n 17 3n 14 , n N1 八,此时0 ,bn（2）由 bn anan 1,可得 b当n 4或n 6时，bn 0当 n 5时，42 0,11所以数列一最小项为-bnb5本题考查等差数列的通项公式，数列中的最值问题.基本量法是解决等差数列通项公式和前项和的基本方法.18 .在三棱柱 A

19、BC ABC1 中，CC1 平面 ABC, ABC 90 且 AB BC CC1为棱AC的中点(1)求证：AC1 平面BQM ；(2)求三棱锥A B1CM的体积、1【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】（1）欲证线面垂直，先证线线垂直，证明同一平面内的两条相交直线垂直时，要注意 应用平面几何的知识解决.（2）注意应用等体积转化的思想，即求Bi MAC的体积.【详解】（1）由题意知，CC1 底面 A1B1G. CC1 B1M.又；AB BC, ABC 90, AC 点，ARG为等腰直角三角形且AB1C1 90 ,AC1 J2.；M为AG的中点，BM AC1.又：CC1 AG G ,B1M 平面

20、 ACg A .I *.AC1 平面 ACC1A1, BM AC1.在四边形 ACC/中，“AC 庭,CC1 1, C1M 丝,ACGCCM 90 ,2AC1 CM .CC1M相似,AC1 MAC1CCMC1CMC1AC1C.AC1M90又 7B1M0CM MAC1平面B1CM .2 1a.26【点睛】本题考查立体几何中线面垂直问题的证明，证明时注意线面垂直与线线垂直的相互转化.应用等体积转化求三棱锥的体积 2219.已知椭圆C ： x2 ， 1 a b 0的左、右焦点分别为E, F2,椭圆C与圆x2 y2 c2 a2 b2（c为椭圆的半焦距）在第一象限内的交点为M 3,4 .（2）由题意知V

21、a &CMV& ACM1T SAACM B1M3(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A, B两点，求aBFi面积的最大值22【答案】(1) ± .y_ 1 (2) 30 45 20【解析】(1)由点M 3,4在圆x2 y2 c2上，得c 5 .再根据椭圆的定义求出 a,然后再求得b ,从而求出椭圆的标准方程 .(2)设A x,% , B X2, y2 ,设直线AB的方程为x my 5,与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，求出 y y2 ,先求出三角形面积，再利用换元法，构造均值不等式求三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意可知点

22、 M 3,4在圆上，32 42 C2 ,即c 5 ,两焦点坐标分别为 F1 5,0 , F2 5,0 .由|MF MF2 2a,得 a 3新，b2 a2 c2 45 25 20，220故所求椭圆C的标准方程为45(1)由题意可设直线 AB的方程为x my 5,x my 5,4x2 9y2 180,设 A X1,y ，B X2N2 ,可得 4m2 9 y2 40my 80则 V240m4m2 9V1V20804m2 9yy22y24y1y2402 m24 80, 4m2 9 2 4m2 9_ _2_245m52-'4m 9S>A ABF11 _ _2 'El |y y212

23、0、5，m2 14 m2 9，则 t 1,c 120 5 t 120.5120,5故有&ABF17tF = -7=5 30，t 24t t当且仅当4t 5,即t Y5时取等号， t2aBF面积的最大值为30.【点睛】本题考查椭圆的定义及简单的几何性质，应用函数思想，解决三角形面积的最大值问题.合理恰当地设出直线AB的方程对解决该问题起到化繁为简的作用，直线与椭圆相交问题中设而不求思想方法是基本方法.20.某网站为了解某新闻的传播总人数y （千人）随时间x （小时）的变化情况，统计数据如下:x （小时）12345传播总人数y （千人）612254995H I N & * * 5M

24、（1）试根据以上数据画出散点图，并判断函数y a bx与y cekx中，哪一个适合作为传播总人数y关于时间x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y与X的回归方程；69.3（3）右该网站的平均收由 M （万兀）与x , y满足关系M In y ，试求平均收益的x最小值.附：参考数据：z5_ 2Zi z i 15Zjz x xi 13.1884.8066.93015Zi.参考公式：对于一组数据Ui,ViU2,V2 , UnM ,其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:Ui uvi vn 2，Ui u i 1【答案】(1)作图见解析;y cekx

25、比较适合(2) y0.693x 1109e(3) 14.969 万元【解析】(1)由表中数据描点即可.根据散点图确定函数cekx更适合.(2)由题中数据计算，代入公式即得回归方程(3)求出平均收益 M后用均值不等式计算最值.(1)题目中所给数据的散点图如图所示,3“IU) 如 u/小时由散点图容易判断方程 ycekx比较适合.(2)由 ycekx,两边取对数可得ln ykx lnc,即kx lnc.由题意可知,3,5_ 2xi x 10i 1一 1z (ln 65ln12In 25 In 49ln95)3.19 ,所以_ 2xixi 16.930 0.693,103.188 0.693 3 1

26、.109,表中 z In y , z 5所以z关于x的回归方程为0.693x 1.109,所以y关于x的回归方程为ye0.693x 1109(3)由(2)知网站的平均收益69.369.369.3M ln y 0.693x 1109 1.109 2 0.693x 14.969, xx,x693 当且仅当0.693x ，即x 10时取等号，x故平均收益的最小值为 14.969万元.【点睛】本题考查散点图，求非线性回归方程及其应用.解题根据所给数据和公式计算即可.本题还考 查了学生的数据处理能力.一，一1 2vv21.已知函数f x -e ae ax有两个极值点. 2(1)求a的取值范围；(2)设f

27、 x的两个极值点分别为x1,x2,若不等式fx1fx2e国ex2恒成立，求的最小值.【答案】(1) a 4 (2) 2ln 2 3【解析】(1)求导数.f (x) 0有两个不等实根，换元后转化为一元二次方程有两个不等正根，得a的取值范围；(2)利用根与系数的关系可以得到ex1 ex2 a, ex1 ex2 a,先转化炎关于a的不等式恒成立，最后转化为关于 a的函数求最值.【详解】1 2x x(1)因为f x 2e ae ax有两个极值点 x1，x2,所以f x e2x aex a有两个不同的零点，即方程t2 at a 0 (其中t ex 0)有两个不同的正根，a2 4a 0, 所以 a 0,，

28、所以a 4.2a 0,2x x(2)由(1)知Xi , x2是f x e ae a的两个根，由根与系数的关系得e51ex2a ,ex1ex2a ,所以xx?In a ,所以f x1f x22xie 12x)e_xi_x2一aeeax1x21 xix2 2% x2xix2-e1 e2 e e2 a e1 e2 a x. x2 2所以1 a2 a a2 alna a.2一，1因为a 4,所以ln a 1 - a .2、L., 111c设 ga 帖212,则920,2a 2ex1ex2所以g (a)在4,上单调递减，所以 g a故的最小值为21n 2 3.【点睛】本题考查函数极值点的定义以及不等式恒成立问题.考查转化与化归思想，函数有零点极值点,转化方程根的分布问题，不等式恒成立问题转化为求函数的最值.22.在平面直角坐标系 xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2J2.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)求