2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题(解析版)

1、2020届北京市第171中学高三10月月考数学试题一、单选题C.2,4D.1,31 .如果集合 U=1,2,3,4 , A=2,4,则 Cu A二（）A.B.1,2,3,4【答案】D【解析】根据补集的定义写出运算结果【详解】集合 U=1,2,3,4 , A=2,4则 CuA=1,3,故选 D .本题考查补集的运算，对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA. rr, _r r r,r,_ . r r r 2.已知平面向量a , b满足|a| 3, |b| 2 , a与b的夹角为120 ,若（a mb） a ,则实数m的

2、值为（）A. 3B. 2C. -D. 12【答案】A【解析】【详解】分析：由v mbv v,可得（a+mb）?a=0,再利用数量积的运算和定义展开即可得出.详解：&|=3, | b |=2 , a与b的夹角为120° ,r r r!。c ca b = a b cos120 =32（a+mb）± a,r r rr（a +mb ） ? a = a ma b =3 3m=o,斛佝 m=3.故选：D.点睛：本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题.3.在 ABC 中，A 60，AC 4, BC 2，3 ,则 4ABC 的面积为（）A. 4, 3B.

3、4C. 2、3D. 2,2【答案】C【解析】首先利用余弦定理求出AB 2,利用三角形面积计算公式即可得出.【详解】由余弦定理可得：（2厨 ab2 42 2 4 ABcos60 ,化为：AB2 4AB 4 0,解得 AB 2,AABC 的面积 S 1 AC ab sin A 14 2 273 , 222故选C.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.4 .已知 a 1.50.2, b log0.25, c 0.21.5,则（）A. a b cB. b c aC. c a bD. a c b【答案】D【解析】由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较

4、a,b,c的大小即可.【详解】15由指数函数的性质可知：a 1.51 , c 0.20,1 ,由对数函数的性质可知 b log 0.21.5 0 ,据此可得：a c b.本题选择D选项.【点睛】对于指数哥的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因哥的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数哥的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数哥的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.5 .标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑” “

5、白” “空”三种情况，因此有3361种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连铲1书万字五十二”种，即1000052,下列数据最接近3 2 的是(lg3 0.477 )1000052A. 10 3736B-10C.3510D.10 34【答案】B361【解析】根据题意，对 3°取对数可得1000052O361336152lg52 lg 3lg10000361 lg3 52 435.8,即可得100003611000052 1035.8 ,分析选项即可得答案.3361据题意，对52取对数可得10000361lg3-52

6、 lg 3361 lg1000052 361 lg3 52 435.8,即可得1000052O361335.852 101000052分析选项：B中10 36与其最接近,故选B.【点睛】 本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质.一，一，16.已知函数f(x) loga()(a 0Ha 1)的定义域和值域都是0 , 1,则a=() x 1A. 1B. . 2C. -2D. 222【答案】A1，八，、【解析】由函数 f x loga()=0, (a 0,a 1)的定义域和值域都是0 , 1,可x 11得f(x)为增函数，但在0 , 1上为减函数，得 0<a<1,把x=1代入即可求

7、出a的.¥ + 1值.【详解】1，八，、由函数f xloga()=0, (a 0,a 1)的定义域和值域都是0,1,可得f(x)为x 1增函数，但一-在0 , 1上为减函数，0<a<1,|x + 11当 x=1 时，f (1) lOga()=-lOg a 2 = 1 ,1 11斛得a =,2故选A.本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性.点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出f(0)=0 ,这样避免了讨论。不然的话，需要讨论函数的单调性7.已知向量r ra、b满足,且关于X的函数f x2x3r 6arbx 7在实数集R上单调递增，则向量

8、r 一, b的夹角的取值范围是(A. 0 一,6B.0,3C. 0,一4D.【解析】设向量的夹角为，求出函数的导数f x 6x2r r6a b ,由题意得出0,求出cos的取值范围，可得出角的取值范围.,-r 设向量a的夹角为,由题意可得f X6x2由于函数2x3r r2 6a bx 7在实数集R上单调递增,则不等式0在R上恒成立，即不等式r2arb 0在R上恒成立,Q0r8ab 32 b2 16 2r 2 b coscosr一,因此，向量a、 4rb的夹角的取值范围是0,一,故选:4C.解题的关键是利用本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查向量的数量积, 判别式小于等于0在R上恒成立

9、，属于中档题，考查了学生分析问题，转化问题，解决问题的能力.1 21.8.已知函数 f(x) x -x a(x 0), g(x) In x(x 0),其中 a R.若 f(x) 42的图象在点Ax1,fx1处的切线与g(x)的图象在点Bx2,fx2处的切线重合，则a的取值范围为()A. ( 1 ln 2,)B. ( 1 ln2,)C.D. (ln2 ln3,)【解析】先根据导数的几何意义写出函数f x在点A与函数g x在B处的切线方程,2 111再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a 1 ln，1,令x2 2x2,1 i1t 一，则0 t -,最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得

10、出a的取值范围.x221 2 f(x)x4f1fxx21 x21-x2a(x0), g(x) ln x(x 0)1 八 g x - x 0 ,x函数f x在点A x1, f x1处的切线方程为:1 21- x1x1 a4211x1 - x x1 ,22函数g x在点B x2, f x2处的切线方程为:yln x21-x x2人，、一，一11 一两直线重合的充要条件是 一十 一 一, 22 x21 2 4x1a ln x21,c 11由及x10x2得0 2 ,211x22ln x211x2lnx221t - ln t 1 ,211令t 一，则0 t 一,且ax22In t 1，12t 1 - t

11、_ 22t t 1t2t 1 t 11.t 一时，h2t 0恒成立，即h t单调递减,0 时，h t即a的取值范围为(1 ln 2,),故选A.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法，属于中档题 9.已知定义在 R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x) f '(x) 1,设f (2) 1, b e f (3) 1,则a , b的大小关系为(A. a bB. a b【答案】AC. a bD.无法确定【解析】令g x ex f x ex,则g xex f x f xexex

12、 f x f x 10.即g x在R上为增函数所以 g 3 g 2 ,即 e3f 3e3 e2f 22e ,整理得：e f 31721 ,即a b.故选A.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有:f x xf x ,构造 xf (x);2xf (x)+ x2f ' ( x),构造 x2f (x);xf xxf x f x ,构造e f x .等等.10.已知函数f(x)2xe31'g(x) 4.xln2,若f (m) g(n)成立，则n m的最小值为()A. 1 ln22【答案】AB.ln2C. 1 2ln 22D. 2ln 2【解析】根据n k得到mn的关系，利用消元法转化为关

13、于 t的函数,构造函数,求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论.2m 3ek(kln k1k -2e 4'h(k)h(k)所以所以故选k2e0,4h(k)h(k)minA.时,k2ek2e12kh(k)ln kln k 3,所以h (k)20,0,当增函数，且k2e时,h(k)0,4上递减，在，一，一一 1ln 2 ,即n m的最小值为-2本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化,12k0,上递增.ln2构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，有一定的难度.二、填空题11 .已知函数f2x,f xx 4，那么f 5的值为1 , x 4【解析】根

14、据分段函数x的解析式得到f 5 f 4 f 3 ,可得出结果.由题意可知，f 5 f 5 13f 323 8,故答案为：8.【点睛】本题考查分段函数求值，解题关键就是根据分段函数的解析式代入自变量的值进行计算，考查计算能力，属于基础题 .12. cos105 cos15 .2【解析】根据诱导公式可得 cos105o sin15o,结合辅助角公式即可得结果.【详解】cos105 cos15 cos 90o 15ocos15 sin 15o cos15sin15o cos15 、.2 sin 15o 45o、2sin60o6 ,故答案为 二6.22【点睛】本题主要考查了利用诱导公式以及辅助角公式对

15、三角函数式进行化简，属于中档题.13.已知各项均为正数的等比数列an中，a5 a6 4,则数列10g2an的前10项和为.【答案】10【解析】由等比数列的性质可得：&&0 a2a9a5a6 4 ,再利用指数与对数的运算性质即可得出.【详解】由等比数列的性质可得：aa10 a2a9a5a6 4 ,数列10g2 an的前10项和为：510g2 a1 log2a2log2 a10 1og2 a1a2 胡 1og2 410,故答案为10.【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三

16、角形腰上再连接正方形，1023个正方形,如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有 且其最大的正方形的边长为 _1,则其最小正方形的边长为32【解析】由题意，正方形的边长构成以Y2为首项，以Y2为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1 22n 1 1023 , n 10,，最小正方形的边长为 上，故答案为223213215.在4ABC中，已知uuu uuurAB AC 9, sin B cosAsin C , Svabc6 , P为线段ABuuu上的点，且CPuuurCA x-utur-CAuuurCByjuufflT ,则xy的最大值为CB由 sinBcosA

17、sinC 得 b.222b c ac2bc2.2a bS ABCiab 6uuu uurunr2所以由AB AC 9得AC9,又P为线段AB上的点，且uurCPb 3,auuuurCA x4uuuurCBy uuu ,CB所以- b1, x当且仅当32,y2时，等号成立即xy的最大值为3.16.设函数 f (x) sin 4x , x40,9,若函数16f(x) a(a R)恰有个零点 x1,x2,x3 x1x2Xx ,贝 u x1x2 x3的取值范围是2511【答案】5_,8 16【解析】根据函数 f(x) sin 4x , x490,求解f X的值域，函数y f(x) a恰有三个零点，转化

18、为函数图象与y a有3个交点，结合三角函数的图象即可得结果.【详解】八9一0,可得 4x 一164设4x一 t,函数 y sin(4x 4)sin t的图象与y a有3个交点,1a11、1Ik 1 1 1* /- 事 f.-1L7T T3TT T)TT.5TT t2如图:三个零点t2 , t3 ( t1t2t3)t1 ，从图可知tl,即 X1X2t3工，即一 X322916，可得X1X211X3的取值范围是 -,8 16故答案为118 16本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用,对称问题和转化思想的应用，属于中档题.17.如图：zXABC的三个内角三、解答题B, C对应的三条边长分别是 a,

19、 b, c,角B为钝角,BD AB, cos2B 工, 25(1)求cos B ,边a和sinA的值;(2)求CD勺长，VBCD的面积.【答案】(1) cosB3 八 .53,5 Q一,a 2, sin A （2）CD , S bcd555【解析】(1)由cos2B求得cosB ,利用余弦定理求得a的值，再计算sin A ； (2)由同角的三角函数关系求出 cosA,根据直角三角形边角关系先求AD再求CD ,再计算VBCD的面积.【详解】-727（1）由cos2B 得:2cos B 1，且角B为钝角2525一 _3解得：cosB - -5，6423由余弦te理 b a c 2ac cos B

20、得：a 4 4a 55解得a 2,可知 ABC为等腰三角形，即 A C ；2 -3所以 cosB cos2A 1 2sin2 A-5，解得sin A ;5（2）由 sin A 可知 cos A ?疾,55在 RtABD 中，cos A,得 ad 75, AD8-5- 3.5CD b AD v5 ,551VBCD 的面积为 Svbcd -a CDsinC21 c 3.5.52 -255本题主要考查了正弦、 余弦定理的应用问题, 也考查了三角形面积计算问题，是中档题.18.已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为 8.(1)求等差数列 an的通项公式;(2)若a2, a3, ai成等比数列，

21、求数列 an的前n项和.【答案】(1) an3n 5或an 3n 7 Sn4,n 13 2 11 一n n 10, n- -2 22【解析】(1)设等差数列 an的公差为d,则a2a d , a3 a1 2d ,根据题意列出关于a1和d的方程组，解出a1和d即可得数列的通项公式；(2)根据(1)中的结果c3n 7, n 1,2结合等比数列可得 an 3n 7 ,故而an 3n 7,由此能求出3n 7, n- 3数列 an的前n项和.【详解】(1)设等差数列 an的公差为d,则a? a d , a3 a1 2d ,3a1 3d因为等差数列an前三项的和为-3、前三项的积为8,所以a a1 d3a

22、12d 8a12解得或d 3a14d 3所以由等差数列通项公式，得 an 2 3(n 1) 3n 5或an4 3(n 1) 3n 7 ,故 an 3n 5或 an 3n 7 .(2)当an3n 5时，a2, a3, a1分别为-1 , -4 , 2,不成等比数列；当an 3n 7时，a2, a3, a分别为-1 , 2, -4 ,成等比数列，满足条件,3n 7, n 1,2故 an 3n 7,3n 7, n- 3记数列 an的前n项和为当 n 1 时，S1a 4 ；当 n 2 时，S2 qa25；当n3时,SnS2(3(na3a4Lan3 7) (3 4 7)2)2 (3n 7)22 n 10

23、2当n 2时，满足此式.4,综上所述，63 2 11n - n2210,本题考查等差数列的通项公式和前(3n 7)n项和公式的求法，解题时要认真审题， 注意分类讨论思想的合理运用，易错点是求等差数列通项公式时容易丢解，属于中档题2 x 一19.函数f x 6cos V3sin x 3(0)在一个周期内的图象如图所示，A为2ABC为正三角形.(2)若f X0X0 1的值.(2) w ,函数的值域为42 .3,2 ,3将函数f x化简整理，根据正三角形ABC的高为2百,可求出，进而可得其值域;(2)由f x0 =8百得到5. 派0 ,冗sin1-43cos -X0 H,进而可求出结果 . 43(1

24、)由已知可得f x =6cos2 x 石sin x 3 3cos x J3sin x 2V3sinx ,23又正三角形ABC的高为2J3,则BC =4 ,2 一所以函数f x的最小正周期T=4 2= 8,即 =8,得3=,4函数f x的值域为一2J3,2串.(2)因为f x0 =8.-3一，由(1)得5f x0 =2有sin -x°- + =83, 435日口 . 水。冗_ 4 即 sin + ,43510 2/曰 xo一，一,得 一一，一3 3432 2即水0_1_冗 44 3即 cos + =4 1-= 一43,55故f x0 1=2扁字+;+3=2 底in jx±+-

25、 +4342x/3 sin x°+ cos+ cos x° + sin 4344342、34 二+3 二352525 .【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，熟记正弦函数的性质即可求解，属于基础题型13 m 220.已知函数 f(x) - mx (2 )x 4x 1,g(x) mx 5.32(1)当m>4时，求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在m 0,使得对任意的x1,x2 2,3,都有f(x1) g(x2) 1恒成立求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.若存在,【答案】(1)若m 4时，f(x)的单调递增区间为(，巴和1,)；m 4, f(x)m的单调递增

26、区间为(,)；(2)存在15, 0).【解析】【详解】2 f (x) mx (4 m)x 4 (x 1)(mx 4)当 m 4 时，f(x) 4(x 1)2 0, . f(x)在(，)上单增，,44当m>4时， 1, f (x)的递增区间为(，一),(1,). mm4(2)假设存在m 0,使得命题成立，此时f (x) m(x 1)(x ). m4m 0, . 一 1m一4 一 、4则f(x)在(，一)和(1,)递减，在(一,1)递增. mmf(x)在2,3上单减，又g(x)在2,3单减.2 f(x)max f (2) -m 1,g(x)min g(3) 3m 5, 3因此，对 x1,x2

27、 2,3, f(x1)g(x2) 1 恒成立.即f(x) g(x2)max 1,亦即 f(x1)max g(x2)min1 恒成立.21515-m 1 (3m 5) 1 . . m .又 m 0故 m 的范围为 一,0).377【考点】本题考查利用导数求函数的单调区间、导数在最大值、最小值问题中的应用及恒成立的问题.点评：利用导数研究含参函数的单调区间，关键是解不等式，因此要研究含参不等式的解法，应注意对参数的讨论；研究是否存在问题， 通常先假设存在，转化为封闭性问题，对于恒成立问题，一般应利用到函数的最值，而最值的确定又通常利用导数的方法解决.2221.已知椭圆与 自 1(a b 0)的离心

28、率为,右焦点为F(1,0),直线l经过 a2b22点F,且与椭圆交于 A, B两点，O为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点 M使得mA MB为常数？右存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.2一 5八y 1 (2)存在定点M -,0满足题息4【解析】(1)由题意得e g 叵,再根据右焦点为F(1,0),求出C的值，就可得到 a 2a的值，再根据a, b, c的关系，解出b值，则椭圆方程可知；(2)当直线l斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，消去 y,得到关于a的一元二次方程，求,r,. 一LUUT UUUT出XiX2 , X

29、i X2 ,设出M点坐标，以及 MA MB ,要使其为吊数2t2 4t 1 k2t2 21 2k2,化简，可求出 的值，当直线l垂直于x轴时，同样求出的值，两者一致，所以在X轴上存在定点uuurM使得MAUULT4皿物MB为吊数.(1)由题意可知,c 1 ,又 e -,解得 a2-2 ,a 22所以b2 a2 c2 1,所以椭圆的方程为y2 1 .2(2)若直线不l垂直于x轴，可设/的方程为y k(x 1).y k(x 1)由x22万y得 1 2k2 x 14k2x2k20.16k41 2k2 2k28k2设 A x1, y1B X2,y2，则x24k21 2k22k21 2k2设 M(t,0

30、)uuuMAx t,y1uuu MBx2 t,y2 ，uuur uurMA MBx1*2VW2x1x2tx1x2t2k2x21 k2xx2k2x1x2t2k21 k22k21 2k2k24k21 2k24222k4 2k2 2k2t2 k2422 244k4 4k2t2k2t2 2k421 2k22222t2 4t 1 k2t2 221 2k2uuu uuu 要使得MA MB(为常数)，只要2t2 4t 1 k2t2 2Z 21 2k2222即 2t24t 1 2 k2 t2 20( ).2t2，只要 2t2 24t 1 20,解得54716对于任意实数 k,要使(幻式恒成立,若直线l垂直于x轴，其方程为x此时，直线l与椭圆两交点为A 1,二21,一 5 一取点M 一 ,0 4uuu,有MA1理4, 2uuuMB14,uuu uuuMA MB716综上所述,过定点F(1,0)