2020-2021学年江西省上饶市横峰中学高二(课改班)上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

1、2020-2021学年江西省上饶市横峰中学高二（课改班）上学期第一次月考数学（理）试题、单选题1.平面 平面A. m/B. mC. m不一定垂直A,在 内，过点A作n l ,由平面平面利用线面垂直的判定定理判断如图所示:A,在因为m平面 ，n A,所以m 所以m 故选：C本题主要考查面面垂直的定义，线面垂直的判定定理，属于基础题2.若抛物线2y22 Px的焦点与椭圆62n-1的右焦点重合，则2p的值为（）A. 4B. 2C. 6D. 8【解析】 求出椭圆的右焦点坐标，再根据抛物线的焦点坐标公式可得.由题意椭圆中，c 562 2,右焦点为（2,0），卫2, p 4.2故选：A.【点睛】 本题考查

2、椭圆与抛物线的焦点坐标，属于基础题.3 .某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A . 7B. 8C. 9D.10【解析】由三视图还原出原几何体，然后由圆柱、球的表面积公式求解.由三视图知原几何体是下面一个圆柱上面是四分之一个球， O1O 1O 1O其表面积为 S 12 2 1 3 12 -12-4 12224故选：C.【点睛】 本题考查三视图，考查圆柱与球的表面积计算，解题关键是由三视图确定原几何体.14 .设 m,n R ,则 e n ”是 1A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件R,1(2)n”是1(2)结合充要条件的定义得答案.1的充要条件.本

3、题考查充分必要条件的判定,考查指数函数的性质，是基础题.5.已知抛物线c：y2点P为抛物线C上任意一点，则点P到直线X y 2 0的最小距离为（B.7,28D.巨2【解析】先设点P的坐标,再求距离并求最小值即可设点P的坐标为则点P到直线X y 2 0的距离为77.2472 82cmm22故选：B.【点睛】 本题考查抛物线上的点到直线的最小距离，是基础题6 .已知Fi,F2是椭圆的两个焦点，过 Fi且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两点,若占ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）【解析】由正三角形特点| AF1M AF2|用c表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率【详解】.fabf；是正三角

4、形,|AF2|.3 IF1F2I32,3c ，3|AFi| 2| AF2 |4' 3c,3| AFi|AF2| 2 .3c 2a.3e .3故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，涉及到椭圆的椭圆的定义；关键是能够利用正三角形 的特点求出|AFi|,|AF2|.7 .日思是中国古代用来测定时间的仪器，利用与署面垂直的署针投射到署面的影子来测定时间.把地球看成一个球 （球心记为O）,地球上一点 A的纬度是指 OA与地球赤道 所在平面所成角，点 A处的水平面是指过点 A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个 日署,若思面与赤道所在平面平行，点 A处的纬度为北纬40。，则署针与点A处的

5、水平 面所成角为（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°【答案】B【解析】画出过球心和思针所确定的平面截地球和署面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出署针与点 A处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线， 依题意可知OA l; AB是署针所在直线.m是署面的截线，依题意依题意，害面和赤道 平面平行，署针与署面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知mCD、根据线面垂直的定义可得 AB m.由于 AOC 40 ,m/CD ,所以

6、OAG AOC 40 ,由于 OAG GAE BAE GAE 90 ,所以 BAE OAG 40 ,也即思针与点 A处的水平面所成角为BAE 40故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性 质，属于中档题.8 .若（x 0）6展开式中常数项为 60.则常数a的值为（）xA. 4B. 2C. 8D, 6【答案】A【解析】 直接利用二项式定理计算得到 C2 a 60,解得答案.【详解】（x £）6展开式的通项为：Tr1 C； x6r阵 C；1 r a2 x63rxx取r = 2得到常数项为C（2 a 60,解得a4.故选：A.【点睛】本题

7、考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力9 .由1,2,3,4,5组成没有重复数字且 1,2必须相邻的五位数的个数是（）A. 32B. 36C. 48D. 120【答案】C【解析】 试题分析：根据题意，捆绑法将12看做同一元素，再将剩下的3个元素和12这个大的元素全排列即可 详解：根据题意，捆绑法将12看做同一元素A2,再将剩下的3个元素和12这个大的元素全排列A4 ,最终按照分步计数的方法得到A2A4 =48.故答案为：C.点睛：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，高考中常见的

8、排列组合问题还有分组分配问题，即不同元素分到不同组内时，通常先分组后 分配.222210 .已知双曲线-1(m 0, n 0)和椭圆1有相同的焦点,m n52的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】由题意求出m n的值，结合不等式的知识可得- 1的最小值.m n【详解】解：由题意双曲线1(m 0, n0）和椭圆L 521有相同的焦点,m n 5 2 3,411,、 411 广4nm . 1广c4nm o-(mn) - 5一5一523,m n 3m n 3 m n 3, m n当且仅当包 m即m 2n时等号成立，m n一 4 1故的最小值为3,m n故选：B.考查学生综合

9、运用所学知本题主要考察椭圆、双曲线的性质及基本不等式性质的应用, 识解决问题的能力，属于中档题2 x11.已知双曲线C :a2F1,F2,以OF2为直径41 a 0,b 0的左右焦点分别为 b2的圆M与双曲线C相交于A,B两点，其中O为坐标原点，若 AF1与圆M相切，则双曲线C的离心率为（）A2 3.6 B . 26 C 3、, 2、,6 D 3,.万 2 石2222【答案】C【解析】分析：首先根据题中的条件， 确定出圆的半径的大小， 根据数轴上的点的坐标,求得AM3c2根据直线与圆相切，求得相关的线段长，在直角三角形中,AM求得 cos F1MAF1M1利用诱导公式，结合余弦定理，求得3AF

10、2222(3)最后利用离心率的公式求得结果 .c详解：根据题意，有 AM -, MF123c2因为若AFi与圆M相切，所以 F1AF2 一,2所以由勾股定理可得 AF1 J2c ,所以cos F1MAAM 1F1M 3所以 cos AMF21 3'由余弦定理可求得AF222c c c 2 4422（3）2c所以，e 2a2c 3 26,2c 、6c 23故选C.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题,在解题的过程中，需要借助于双曲线的定义，结合题中所涉及的焦点三角形，利用直线与圆的有关性质，利用余弦定理求得相关的量，求得结果.12.矩形ABCD中，BC 2AB 2, N为边BC

11、的中点，将 ABN沿AN翻折成 BAN （Bi平面ABCD）, M为线段BD的中点，则在ABN翻折过程中，下 列命题：与平面BiAN垂直的直线必与直线 CM垂直；线段CM的长为叵;1异面直线CM与NBi所成角的正切值为 -；当三棱锥D ANBi的体积最大时，三棱锥 D ANBi外接球表面积是4正确的个数为（）A . i个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】根据CM /平面ABiN ,即可判断；通过线段相等CM NE ,可求出线段NK的长；异面直线CM与NBi的所成角为 ENBi,求出其正切值即可； 找 出球心，求出半径即可判断其真假，从而得出正确答案的个数【详解】解：如图，取ABi

12、的中点为E,AD的中点为F,连接EN,EM,FN,BF ,则四边形CNEM为平行四边形，直线 CM /平面ABiN ,所以正确；CM NE ,1 (1)2 <5,所以错误；1因为CM /EN ,异面直线CM与NBi的所成角为 ENB，tan ENB1 ,所以 2正确；当三棱锥D ANBi的体积最大时，平面 BiAN与底面ABCD垂直，可计算出 222BD V3, ABi 1, ABi BiD AD ,所以 ABiD 90 ,同理 AND 90 ,所以三棱锥D ANBi外接球的球心为 F ,半径为I,外接球表面积是4 ，正确.所以正确.故答案为：C.【点睛】本题考查翻折过程中点线面的位置关

13、系，注意翻折过程中的不变量，考查了相关角度，长度，体积的计算，考查直观想象、运算能力，属于较难题目二、填空题13 .命题“ x R, x2 i 2x”的否定是.【答案】x R , x2 i 2X【解析】原命题为特称命题，其否定为全称命题.【详解】“ x R , x2 i 2x ” 的否定是 x R , x2 i 2x故答案为： x R , x2 i 2x【点睛】本题考查对特称命题进行否定 .对全(特)称命题进行否定的方法：(I)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.2,3,823814 .已知 i x i x i x

14、i xa0 alx a2x a3x %x ,贝u ao aia2 a8 【答案】510a8的值.【解析】 在等式中令x 1 ,利用等比数列求和公式可求得 ao ai a2在等式1 x823xaoa1xa2xa3x8a8x中,人ic cc 2 128“1 可/0 a1 电2 222"510.故答案为：510.【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数和，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于 中等题.22x y15 .某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得至U的点数分别为a, b,则椭圆-2 与 1a b的离心率e3的概率是2入 1【答案】13224b2或b2 4a2 ,掷两颗均匀【解析】

15、由椭圆勺 ，1的离心率e可得a2a b2正方形骰子得到的点数分别为 a , b ,共有36种情况，将满足不等式的情况一一列举出来，利用古典概型求解即可 .【详解】由椭圆1 1的离心率e ,可得a2 b22当 ab 时，e£'a?丁1,即得 a24b2;aa2当 ab时，e£'b2a2Y3,即得 b24a2.bb2同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a , b ,共有6 6 36种情况,满足上述关系的有：(3,1),(1,3),(4,1),(1,4),(5,1),(1,5),(5,2),(2,5),(6,1 ),(1,6),(6,2 ) ,(2,6)共 1

16、2 种情况,121所以概率为：-.36 3,1故答案为-.3【点睛】本题主要考查了古典概型的计算及椭圆离心率的计算，但要注意椭圆的焦点在哪个轴 上，需讨论a和b的大小，属于易错题.16 .在三棱锥 P ABC 中，PA 底面 ABC, AB AC, AB 6, AC 8, D 是 线段AC上一点，且AD 3DC .三棱锥P ABC的各个顶点都在球 。表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16 ，则球O的表面积为.【答案】112【解析】由题意一条侧棱垂直于底面，补成三棱柱，若所得截面圆的面积的最小值时截 面与OD垂直，所得截面圆的面积最大值时过球心，分别求出两种情况

17、的半径，进而求 出面积的和，求出球的半径，进而求出表面积.【详解】解：将三棱锥补成知三棱柱， 且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球O .设三角形ABC的中心为O ,设外接球的半径为 R,球心O到平面ABC的距离为x ,即OO x ,连接0 A，则0A 5,R2 x2 25,，_一 ，一， 一 1在三角形ABC中，取AC的中点E,连接OD, 0E,则OE -AB 3,271 DE AC 24，O D炳，在Rt OO D中，od 7X213 ,由题意得当截面与直线 OD垂直时，截面面积最小，设此时截面半径为 r ,则r2 R2 OD2 x2 25 (x2 13) 12 ,所以截面圆的面积为r2

18、12 ,当截面过球心时，截面圆的面积最大为R2 ,R2 1216 ,所以R228，所以表面积S 4 R2 112 ，故答案为：112 .【点睛】本题考查球的表面积的求法， 考查三棱锥的外接球与棱长的关系即球的表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题17.已知椭圆C的焦点Fi （ 2J2, 0）和F2 （2衣，。），长轴长6.（I ）求椭圆 C的标准方程；（n）设直线 y x 2交椭圆C于A、B两点，求线段 AB的中点坐标.、x2o/ 9 1、【答案】（I ）y i（ n）（-,）95 522【解析】试题分析：（1）设椭圆C的方程为： 、， 1 a b 0 ,由题意及a,

19、b, a bc的平方关系即可求得 a, b值；（2）联立方程组消去 y可得关于x的一元二次方程，设A为，丫1 , B X2，y2 ,由韦达定理可求 X1 X2的值，进而可得中点横坐标，代入直线方程即可求得纵坐标 试题解析：（I）由已知得c 2s/2,2a 6a 3222b a c 12椭圆C的标准方程为y2 19（n）设A（X1, y1）, B（X2, y2）y由/9整理后得10x2136x 27XiX2又X1y2X2185 2y2xiX2 4 25AB的中点坐标为-衿【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程18 .如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为2的菱形，PD 底面ABCD.(1)

20、求证：AC 平面PBD ;(2)若PD 2,直线PB与平面ABCD所成的角为45',求四棱锥P ABCD的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)述3【解析】(1)通过ACLBD与PDLAC可得AC 平面PBD ;(2)由题先得出/ PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即/ PBD=45° ,则可先求 出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥 P- ABCD的体积.解：(1)因为四边形 ABCD是菱形，所以 ACXBD,又因为PD,平面ABCD, AC 平面ABCD ,所以 PDXAC,又 PD BD D ,故AC，平面PBD;(2)因为PDL平面ABCD ,所以/ PBD是直

21、线PB与平面ABCD所成的角，于是/ PBD=45° ,因止匕 BD=PD=2.又 AB= AD=2 ,所以菱形ABCD的面积为s AB AD sin 602J3,故四棱锥P- ABCD的体积V1SPD 生1 33【点睛】本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.19.已知A、B、C是 ABC的内角，a、b、c分别是其对边长，向量m a b,c ,n sin B sin A,sin C sinB ，且 m n .(1)求角A的大小；(2)若a 2,求 ABC面积的最大值【答案】(1) A ； (2)百.31【解析】(1)由m

22、n得出a b sinBsin A c sinC sin B 0,利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出cosA的值，结合角A的取值范围可得出角 A的大小；(2)利用余弦定理结合基本不等式可求出bc的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.(1) m a b,c , n sin B sin A,sin C sin B , m n ,a b sin B sin A c sinC sin B 0,由正弦定理得 baba c c b 0,整理得b2 c2 a2bc,222 b c a 1cosA ,2bc 20 A , A -3(2)在 ABC 中，A a 2, 3由余弦定理知 a2 4 b2

23、c2 2bccosA b2 c2 bc，,一 32ABC面积的最大值为J3.由基本不等式得4 bc b2 c2 2bc，当且仅当b c时等号成立,C1 ,. A 1S abc - bcsinA - 422涉及基本不等本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算, 式以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题2-n20.已知3/x2 3x展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中含有 X4的项;(2)求展开式中二项式系数最大的项.【答案】(1) 90x4 ; (2) T3 90x4T413270xTX4的项;【解析】(1)先求出n ,再利用通项公

24、式求展开式中含有(2)展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，即可求展开式中二项式系数最大的项;解：令x 1得展开式各项系数和为4n ,二项式系数为C0C：Cn由题意得：4n 2n 992 ,解得n5,5(1)3x2 3x通项公式为Tr 110 rC5 3*x丁人 10 r c令 k=2,2244r 2,T3 C5 '3 'x90x .(2) .： 5,展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项,224T3C5 *3 *x90x4, T41313C53，33x 豆270x 与求展本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式, 开式中某项的系数，属于

25、中档题.21 .如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/CD , AB AD ,PA 底面 ABCD, E 为 BP 的中点，AB 2, PA AD CD 1.(1)证明：EC/平面PAD;(2)求二面角 E AC P的正弦值.【答案】(1)证明见解析；逆.【解析】(1)将线面平行转化为线线平行证明； 作辅助线，取AP的中点F ,连EF , DF , 证明EC/FD即可；(2)根据题目可知 PA、PB、PD两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用平面法向量 求解出二面角E AC P的余弦值，进一步求解出正弦值 .【详解】(1)证明：如图，取 AP的中点F ,连EF , DF ,

26、BE PE, PF AF ,11EF /-AB, EF -AB 22在直角梯形ABCD中，_1_1CD / AB,CD AB, 22CD /EF ,CD EF ,，四边形EFDC为平行四边形， EC/FDDF 平面 PAD, EC 平面 PAD, EC/FD ,EC/平面 PAD,(2) . PA 平面 ABCD, AB AD ,AP , AB , AD两两垂直，以 A为原点，AB，AD，AP向量方向分别为 x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系 1各点坐标如下：A(0,0,0) , P(0,0,1), C(1,1,0), B(2,0,0) , E 1,0,2设平面APC的法向量为m x, y,z由AP(0,0,1)AC (1,1,0),z 0,有APAC(1, 1,0)设平面EAC的法向量为a,b,c由AC(1,1,0),AEACAE(1,1,2)所以cos m, n,2631 1、6P的正弦值为故二面角E AC【点睛】本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体几何中求二面角的应用，属于中档题 目，解题中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标，计算比较繁杂，对运 算能力要求较高，需要准确计算 x22 .已知椭圆C : xya2