2020-2021学年四川省宜宾市第四中学高二上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

1、2020-2021学年四川省宜宾市第四中学高二上学期第一次月考数学(理)试题一、单选题1 .设a, b R,且a b,则下列不等式中恒成立的是()11-2.233A. a b 1B. - -C. a2 b2D. a3 b3a b【答案】DD选项，作差比较可知 D【解析】对于A, B,C选项，分别取特值可知都不正确，对于正确.【详解】对于A,取a 1,b 2,则a b 1不成立，故 A不正确；11对于B,取a 1,b 1,则一 一不成立，故B不正确； a b对于C ,取a 2,b 2 ,则a2 b2不成立，故C不正确；对于D ,因为a b,所以3322b o 3b2a b (a b)(a ab

2、b ) (a b)(a -)0,所以 a3 b3,故 D 正24确.故选：D【点睛】2,已知 A(1,2,本题考查了作差比较大小，1),B(5,6,7),则直线AB与xOz平面交点的坐标是(A. (0,1,1)B, (0,1, 3)C, ( 1,0,3)D, ( 1,0, 5)【答案】D【解析】 设直线AB与XOZ平面交点为M(x,0, z),则AM (X 1, 2,z 1),AB (4,4,8),又丽与Q共线，所以 AM、 AB，则1 ,选D.5)x 1 4 x2 4,解得zz 1 83 .下列说法正确的是(A.命题 直角相等”的条件和结论分别是 直角“和 相等”B.语句 最高气温30 c时

3、我就开空调”不是命题C.命题对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句当a>4时，方程x24x+a = 0有实根”是假命题【答案】D【解析】将其改写为若p,则q”的形式，从而判断 A;根据命题的定义判断 B;举反 例判断C, D;【详解】对于A,改写成若P,则q”的形式应为 若两个角都是直角，则这两个角相等"，则A错误；对于B,所给语句是命题，则 B错误；对于C,边长为3的等边三角形与底边为 3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形，则C错误；对于D,当a 5时，16 4 5 0,方程x24x+ a=0无实根，则 D正确；故选：D【点睛】 本题主要考查

4、了命题的概念以及判断命题的真假，属于中档题4,双曲线x2 y2 4左支上一点P(a,b)到y x的距离为 我，则a b ()A. 2B. -2C. 4D. -4【答案】B|Ax0 By0 C【解析】 试题分析：由点到直线的距离公式d ,°J得a b 2或A2 B222a b 2 ,把点P(a,b)代入双曲线方程得 a b a b a b 4 ；又因为点p 在左支上，所以a b 0,故a b 2, B为正确答案.【考点】1、点到直线的距离公式； 2、双曲线的性质.5 .若条件p： |x| W2条件q： x<a,且p是q的充分不必要条件，则 a的取值范围是()A. 2, +oo)B

5、.(巴 2C. -2, +8) D. (8, - 2【答案】A【解析】p是q的充分不必要条件，即p所表示的集合是q所表示集合的真子集.【详解】由题意得P： 2 x 2,要使得p是q的充分不必要条件，只需 a 2,选A.【点睛】对于充分性必要性条件的判断三种常用方法：(1)利用定义判断.如果已知p q ,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)利用等价命题判断；(3)把充要条件“直观化”，如果 p q ,可认为p是q的“子集”；如果 q p , 可认为p不是q的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明.6 .若方程mx2 (2- m)y2= 1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值

6、范围是()B. (0,2)C. (1,2)D. (01)【解析】首先方程写成椭圆的标准形式，然后根据焦点在x轴，列不等式，求解m的取值范围.22xyT1m 2 m丫焦点在x轴的椭圆,m 02 m 0 ,0 m 1 .m 2 m故选D【点睛】本题考查椭圆标准方程的形式，属于基础概念的考查7.已知命题p: x R,ln题的是()A . p A qB.【答案】C【解析】【详解】试题分析：x x 20，命题 q： xR, 2xx2,则下列命题中为真命qD. pA q由已知可构造函数f xln x x 2 ,因为f 1 ln1 1 21 0f 2 ln2 2 2 ln2>ln10,所以存在 x 1

7、,2使方程帆工+工一二三0成立，即命题p为真命题；又因为x 3时，有23此时23 32，所以命题q为假命题，则 q为真，故正确答案为 c.【考点】函数零点、常用逻辑用语8.如图中共顶点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1, e2, e3,e4,其大小关系为（ODB e2<e1<e3<e4D. e2<e1 <e4<e3根据双曲线开口越大离心率越大得到1 < e4 V e3A . e1<e2<e3<e4C. e1<e2<e4<e3【解析】【详解】根据椭圆越扁离心率越大可得到0V e v e2V 1，可得到 e1< e2

8、< e4< e34,故选C.9 .已知x 0, y0 ,且 x2 3xy2 0 ,则2x y的最小值是（B.C.2.2D.103【解析】由题意，根据x23xy 20,2 x22士，代入2x3x利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案由题意，可知x0,y0,且 x2 3xy2 x23x ，则 2x y 2x2 x25x2 23x25x x当且仅当5x 2,即x U10等号成立，即2x y最小值是2而,故选A.x53【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题，其中解答中根据题设条件，代入化简,根据“一正、二定、三相等”，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分 析问题和

9、解答问题的能力，属于中档试题.10 .已知半径为r的圆m与x轴交于E,F两点，圆心 M到y轴的距离为d .若d EF ,并规定当圆M与x轴相切时EF 0,则圆心M的轨迹为()A .直线B.圆C.椭圆D.抛物线【答案】C【解析】设圆心M (x, y),利用圆的弦长公式，得出x 2,一y2 ,即可得到圆心 M 的轨迹，得到答案.【详解】如图所示，设圆心 M(x, y),则圆心M到y轴的距离为d |x ,由圆的弦长公式，可得 EF| 2 ,'r2 d22 ,'r2 y2 ,因为d |EF , 即x 2再 y2 ,整理得 x2 4y2 4r2 ,22即J g 1 ,即圆心M的轨迹为椭圆

10、.4r2 r2故选：C.【点睛】本题主要考查了轨迹的判定与求解，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，合理利用圆的弦长公式列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力11 .下列几个命题：是不等式ax2 bx c 0的解集为R的充要条件;4ac 0设函数y f x的定义域为r,则函数f x与f x的图象关于y轴对称;若函数y Asin xA 0为奇函数，则k ,k Z；已知x2 _0,，贝U y cosx 的最小值为2J2 ；2cosx'其中不正确的有()B.C. 2个D. 3个0的解集为R推不出a 0 b2 4ac【解析】 对于，当a = b = 0, c 0时，不等式ax2 bx

11、 c,故错误；对于，两个函数图象上的横坐标为相反数时，纵坐0标恒相等，故正确；对于，根据 x 0, y 0可推出 k ,k Z ,故正确；对2于，设cosx t,根据对勾函数t t ，的单调性可求出最小值为3,故错误.【详解】对于，当a = b = 0, c 0时，不等式ax2 bx c 0的解集也为R,故错误；对于，设函数y f x的定义域为R ,因为函数y f x与y f x的图象上横坐标为相反数的点的纵坐标相等，所以函数f x与f x的图象关于y轴对称，故正确；对于，若函数 y Asin x A 0为奇函数，则Asin( x ) Asin( x )对 x R 恒成立，令 x 0,得 As

12、in Asin ，即 2Asin 0,又 A 0 ,所以 sin 0 ,所以k , k Z,此时y Asin( x k ) Asin x (k Z)为奇函数，故正确；2"一对于，设cosx t,因为x 0,),所以t (0,1,此时t t 在(0,1上为递减2t函数，所以当t 1,即x 0时，ymin12 3,故错误.故选：c.【点睛】本题考查了判断命题的真假，考查了充要条件，考查了函数的对称性，考查了由函数的奇偶性求参数，考查了根据对勾函数的单调性求最值，属于中档题x2 y212 .已知F1, F2分别为椭圆 F = 1(a b 0)的左、右焦点，点 P是椭圆上位于 a b第二象限

13、内的点，延长 PFi交椭圆于点Q,若PF2 PQ ,且PF2PQ ,则椭圆的离心率为()A.厩 0 B. 72 1C.近亚 D. 2 72【答案】A【解析】由题意可得占PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|=t,运用椭圆的定义可得|PFi|= 2a-t,再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率.【详解】解：PF2LPQ且|PF2|=|PQ|,可得 PQF 2为等腰直角三角形，设 |PF2|=t,则 |QF2|= ",由椭圆的定义可得|PFi|=2a-t,2t 、2t 4a则 t= 2 ( 2 -) a,在直角三角形PF1F2中，可得 t2+ (2a-t) 2= 4c2,4

14、(6-472)a2+ (12- 872)a2=4c2,化为 c2= ( 9- 6 丘)a2,可得e= c= 466.a故选A.【点睛】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及运算求解能力.、填空题13 .过点A 3, 1且在X轴和y轴上的截距相等的直线方程是【答案】x 3y 0或X y 2 0【解析】 当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距都为0,也相等；当直线在x轴和y轴上 的截距不为0时，可设截距式，代入坐标即可求解.1当直线经过原点时，在x轴和y轴上的截距都为0,也相等，此时直线的斜率k ，则直3线方程为-1代入A 3, 1可得 a当直线

15、在x轴和y轴上的截距不为 0时,设直线方程为 -a，一一 x y ,1，解得a2,则直线方程为- 2 1,即x综上可知，直线方程为乂3丫0或*丫2 0故答案为：x 3y 0或x y 2 0本题考查了直线的截距式方程的应用，注意讨论截距等于 0的情况，属于基础题.y 1 0y 1 0 ,则z 2x 3y的最小值是3【考点】线性规划x14.已知实数满足xx【答案】6【解析】 试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图 ABC内部(含边界)，作直线l0:2x 3y 0,平移直线I。，当直线I0过点B(3,4)时，z 2x 3y取得最小值 6.15.倾斜角为一的直线过抛物线y242x的焦点F ,交抛物线

16、于 A、B两点，则|AB| 【答案】41【解析】由抛物线y2 2x得焦点F -,0 ,再求得直线的方程， 将直线的方程与抛物 2线的方程联立得出交点的坐标的关系Xi X2 3,再由抛物线的定义可求得线段的长【详解】2L 1 C由抛物线y 2x得焦点F ,0 , .倾斜角为一的直线过焦点F的方程为：241 2y x -,与抛物线y22x联立得x2 3x 1 0 ,43,由抛物线的定义得令 Ax1，y1, Bx2,y2,则xx?12，x1 x2 1 4 ,1|AF | x1 -,|BF | x2211 | AB | xx222故答案为：4.【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系，关键

17、在于运用抛物线的定义转化了求线段的长的关系，属于基础题 .2216 .设双曲线xr 4 1 a 0,b 0的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于 P、 a2b2Q两点，如果 4PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e .【答案】2 .a2【解析】 设右准线l交x轴于点N ,0 ,由 PQF是直角三角形得知PNF是以c点N为直角顶点的等腰直角三角形，然后得出PN |FN| ,可计算出双曲线的离心率e的值.【详解】a2设右准线l交x轴于点N 一,0 ,c由题意可知，点 P、Q关于x轴对称,设右准线l交渐近线y bx于点P ,ab ac c2b_ a ab交渐近线y bx于点Q ，一， ac c PQ

18、F是以点f为直角顶点的等腰直角三角形,根据双曲线的对称性知,PNF是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,2222cmi-M 口口 ab a a ab c a b,PNFN ,即 一 c 一，即一 一，a b,c c c c c贝 U c Va2b2 72a 因此，双曲线的离心率为 e c .2 .a故答案为：2.【点睛】本题考查双曲线准线相关的几何性质，充分考查三角形的几何特征是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题17.已知直线l的倾斜角是直线y石x 1的倾斜角的 1,且l过点P J3, 1 .(1)求l的方程；(2)若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3,

19、求直线m的方程.【答案】(1)岳 y 4 0; (2) 73x y 2 0或 V3x y 10 0.【解析】(1)先求得直线y J3x 1的倾斜角，由此求得直线l的倾斜角和斜率，进而 求得直线l的方程.(2)设出直线m的方程，根据点P到直线m的距离列方程，由此求解出直线 m的方程.【详解】(1)二.直线的方程为yJ3x 1, k B倾斜角 120 ,由题知所求直线的倾斜角为 60 ,即斜率为邪,直线i经过点73, i ,所求直线l方程为y 1 33 x 33 ,即辰 y 4 0;(2) 直线m与l平行，可设直线m的方程为J3x y c 0眄 73 1c i 3,( 3)212即 4 c 6 ,

20、c 2 或 c 10所求直线 m的方程为 J3x y 2 0或V3xy10 0【点睛】本小题主要考查直线的斜率和倾斜角，考查两直线平行，考查点到直线距离公式，属于 基础题.2218.已知双曲线占 A 1(a 0,b 0)的虚轴长为276,且离心率为33 . a b求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点 F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A,B,求 |AB|.【答案】亡亡1 ； (2)163.365【解析】(1)由题意可得e c 73, b Jc2 a2 76,解方程可得a, b, c, a可得所求双曲线的方程；(2)设经过双曲线右焦点 F2且倾斜角为30c的直线的方程为y Y

21、3(x 3)，联立双3曲线方程，可得 x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.【详解】22(1)双曲线C:与 4 1(a 0,b 0)的虚轴长为2灰,离心率为 J3, a bc 3a 解得 a 73, b 祁，c 3,b .622双曲线的方程为 1.362(2)由(1)知双曲线32F2且倾上 1的右焦点为F2(3,0),设经过双曲线右焦点 6斜角为30。的直线的方程为（x 3）, A（X1,y） 3B（x2,y2）,2匕1:,得 5x23 /0、"-（x 3）36x 27 0,其中，X1X2275，|AB| .1-k2 |x1 x211+116/35本题考查双曲线的方程

22、和性质,考查直线和双曲线的位置关系,考查方程思想和运算能力，属于基础题.2219 .已知圆M与圆N : x 3 y 1关于直线l ： y x对称.(I )求圆 M的标准方程；(n)若A点的坐标为1,73 ,。为坐标原点，点B为圆M上的动点，求占AOB面 积的取值范围.221 5【答案】（I） x y 31;（n） 一,一22 2【解析】(I)利用点关于线对称得到圆心坐标，写方程即可；(n)三角形底边 OA不变，只需要计算圆 M上的动点B到直线OA的距离的取值范围即可得解.【详解】.2解：(I)圆N: x 3y2 1的圆心N 3,0关于直线y x的对称点为M 0,3 ,2半径不变 圆M的标准万程

23、为：x2y 31 ;(n)OA JT_3 2,且直线OA的方程为：y J3x,点M 0,3到直线OA:y J3x的距离为：d 0 22又丁点B为圆M上的动点，半径为1,1 5点B到直线OA的距离h的取值范围为：一,一，2 21Saob 510A h h,SAOBAOB面积的取值范围为【点睛】本题考查了圆的方程和圆上动点到定直线距离的范围，属于中档题20 .如图，在 P ABC 中，PA 平面 ABC, PA 2 J3 , CA CB AB 2, D为棱AB的中点，点E在PA上.(1)若 AE EP,求证：PB平面 CDE;(2)求证：平面 PAB 平面CDE ;(3)若二面角B CD E的大小

24、为120。，求异面直线 PC与DE所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)78【解析】(1)易知口£是 PAB的中位线，可得 DEPB,结合线面平行的判定定理，可证明PB平面CDE;(2)由PA 底面ABC ,可得PA CD ,由CA CB ,可知AB CD ,从而可证 明CD 平面PAB ,再结合CD 平面CDE ,可证明平面PAB 平面CDE ；(3)易知二面角A CD E的大小为60 ,结合(2)可知CD 平面PAB,可知ADE即为二面角A CD E的平面角，可求出 AE J3 ,即E为棱PA的中点,可得DEPB,于是 BPC即为异面直线PC与DE所成

25、的角，求出cos BPC即可.【详解】(1)由AE EP ,可知E为棱PA的中点，又因为D为棱AB的中点，所以在 PAB中，DEPB,因为PB 平面CDE , DE 平面CDE , 所以PB/平面CDE .(2)因为PA 底面ABC , CD 平面ABC ,所以PA CD , 在 ABC中，CA CB, D为AB的中点，所以 AB CD, 又因为PAC1AB A, PA 平面PAB, AB平面PAB,所以CD 平面PAB 又因为CD 平面CDE ,所以平面PAB 平面CDE .(3)由题意知，二面角 A CD E的大小为60 ,由(2)的证明可知，CD 平面PAB ,又因为DE 平面PAB ,

26、所以DE CD ,又AB CD ,所以 ADE即为二面角 A CD E的平面角，所以 ADE 60 ,因为PA 底面ABC, AB平面ABC,所以PA AB,，一，1在 ADE 中，AD -AB 1, EAD 90 , ADE 60 ,所以 AE 73. 2因为PA 273,所以E为棱PA的中点，故DEPB,于是 BPC即为异面直线 PC与DE所成的角.易知 PABW PAC ,故 PB PC 2ED 4 , BC 2,在 PBC中，由余弦定理知,cos BPC42 42 22所以异面直线PC与DE所成角的余弦值为 7 .8本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查二面角及线面角的知识，

27、考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题21 .在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，动点 P与两个定点 M (1, 0), N (4,10)的距离之比为一 . 2(I )求动点P的轨迹W的方程；(n)若直线l： y= kx+3与曲线 W交于A, B两点，在曲线 W上是否存在一点 Q,使 得OQ OA OB ,若存在，求出此时直线 l的斜率；若不存在，说明理由.22【答案】 解：（I）动点P的轨迹W的万程为x y 4, （n）见解析.【解析】（I）设动点P的坐标为（x, v）,再由M和N的坐标，利用两点间的距离公1式分别表不出|PM|及|PN|,由距离之比为 1列出关系式，整理后即

28、可得到动点P轨迹W2的方程；（n）由第一问得到的 w轨迹方程为圆心（0, 0）,半径为2的圆，且直线I与圆交于 两个，求出不等式的解集得到k的范围，假设存在 q点，使得OQ OA OB ,又a和B在圆上，利用由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，根据菱形的对角线互相平分且垂直，得到OQ与AB互相垂直且平分，可得出原点到直线I的距离Q,使得 OQ OA OB .等于|OQ|的一半，即为半径的一半，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，经检验符合 k的范围，故存在点PM 1PN 2【详解】解：（I）设点P坐标为（x, y）,依题意得:又 M （1, 0）,

29、N （4, 0）,2.X12 y2 x 4 2 V：化简彳导:x2 + y2=4,则动点P轨迹W方程为x2+y2=4；（n）二直线I: y=kx+3与曲线W交于A,B两点，且W轨迹为圆心为（0,0）,半径 r = 2的圆, 3,5 5，圆心到直线I的距离d ,2 < r = 2,即k2>一,.1 k24解得：k>好或k< 遮,22假设存在点Q点，使得OQ OA OB,由A, B在圆上，且OQ OA OB ,利用向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，OQ与AB互相垂直且平分，八一八13，原点O到直线I: y = kx+3的距离为d -|OQ|= 1即j彳1,2V1 k2解得：k= ±2,2,经验证满足条件,则存在点Q,使得OQ OA OB .此题考查了直线与圆相交的性质，动点的轨迹方程，圆的标准方程，点到直线的距离公 式，直线与圆的位置关系，菱形的判定与性质，以及向量在几何中的运用，是一道综合 性较强的试题.2222