3.2.4立体几何中的向量方法ppt课件

1、3.2.43.2.4立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法夹角问题夹角问题夹角问题：夹角问题：lamb(1) , l m的夹角为 ，coscos, ab则 lamb 夹角问题：夹角问题：(2) , l的夹角为 ，sincos, a u 则uu cos(-cos(- )= cos )= cos 2 2u c co os s( (+ + ) )= = c co os s 2 2 ula la 夹角问题：夹角问题：(3) , 的夹角为 ，u v 则coscos =cos =cos u v 夹角问题：夹角问题：(3) , 的夹角为 ，u v 则coscos =cos =cos u v 0111111

2、111111 , 90Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例:中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点 、 ，求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F传统几何做法：xyz(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D11(,0,1),2AF 11 1(, 1)2 2D B 11cos,AF BD 1111|AFBDAFBD A1AB1BC1C1D1F3030=.=.1010所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF30100111111111111 90 , ABCBCAABCABCABCBCCACC

3、ABACDFAFD B例：Rt中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点 、 ，求与所成的角的余弦值.111CCCCA CB CC 解：设，以点 为原点，以向量、 、为单位正交基底，建立空间直角坐标系O-xyz如图:则 练习练习 空间四边形空间四边形ABCD中，中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB与与CD成成600角，求角，求AD与与BC所成的角大小所成的角大小.1AB 解 设ADABBCCD 2222 222ADABBCCDABBCBC CDAB CD 1 1 100 14 2AD ()1ADBCABBCCDBC cos,1/ 2AD BC 例： 的棱长为 1.111.B

4、CAB C求与平面所成的角的正弦值解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.11(010)则，- ， ，BC B 11 平面AB C的一个法向量为D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F,2,PBEFPBDFEFDCPBD

5、已知由（ ）可知故是二面角的平面角。) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因为0131)1 ,() 1, 1 , 1 (kkkkkkk所以31k所以ABCDPEFXYZ1 1 2()3 3 3F，(3) 解 建立空间直角坐标系，设DC=1.)323131(，的坐标为点F)21,21, 0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为60 ,60.EFDCPB D所以即二面角 的大小为

6、 112(,)333FD 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一个法向量为的一个法向量为解2如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.1 1(0, )2 2DE 平面平面PBD的一个法向量为的一个法向量为G11( ,0)22CG 1cos,1/2DE GC cos1/ 2, 60 例例4 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是

7、是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. (3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F解3设DC=1., 2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。练习练习 的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系.A1xD1B1ADBCC1yz平面平面PBD1的一个法向量为的一个法向量为1(0,1,1)DA 平面平面CBD1的一个法向量为的一个法向量为1(1,0,1)DC 11cos,1/2DA DC cos1/ 2, 120 10 .BD二 面 角 A-C的 大 小 为 12的棱长为 1.1.BD求二面角A-C的大小解解2A1D1B1ADBCC1作业P1126距离问题：距离问题：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 那那么么222121212()()()ABxxyyzz距离问题：距离问题：asin, dAPAP a (2) 点点