凸函数及其在证明不等式中的应用

1、内江师范学院本科毕业论文M闺”邙礼疾HJTCHEIJiaHGTEACHERSCOLL日GE；本科毕业论文题目凸函数及其在证明不等式中的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师吴开腾评阅教师班级2004级2班姓名冀学本学号学0402410642008年内江师范学院本科毕业论文目录摘要IAbstractI1弓I言12凸函数的等价定义12.1 凸函数三种定义的等价性的讨论22.1.1 定义1二定义222.1.2 定义1二定义342.2 判定定理与JESEM等式43.性质54凸函数在不等式证明中的应用74.1 利用凸函数定义证明不等式74.2 利用凸函数性质证明不等式8结束语11参考文献1

2、1致谢12内江师范学院本科毕业论文摘要首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性.接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式.然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用.凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性.因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用.在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的重要不等式.并得到了几种常用凸函数的形式.关键词凸函数，凸性不等式，jensen不等式Abstr

3、actFirsthasgiventheconvexfunctionthreemodeldefinition,hasanalyzedbetweenthemtherelations,andhasprovenbetweenthreekindofdefinitionequivalence.ThenhasgivenaconvexfunctiondeterminationtheoremaswellastheJeseninequality.Thendiscussedconvexfunctionseveralcommonlyusednature,hasdemonstratedtheconvexfunction

4、ininequalityproofapplicationthroughthesamplequestion.Theconvexfunctionhastheimportantfundamentalresearchvalueandtheactualwidespreadapplication,theuseconvexfunctionnatureproofinequality;Veryeasytoprovetheinequalitytheaccuracy.Therefore,thecorrectunderstandingconvexfunction'sdefinition,thenaturean

5、dtheapplication,carryonthepromotiontotherelatedacademicquestiontostudythepivotalfunction.Intheinequalityprovedthattheapplicationandexplainswithexamplestheproblemsolvingmentalityandthecertificatemethod,finallyhasprovenseveralcommonimportantinequalities.Andobtainedseveralkindofcommonlyusedconvexfuncti

6、onforms.KeywordsConvexfunction,convexityinequality,jenseninequality内江师范学院本科毕业论文1引言凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用.例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸

7、函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用.凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要.凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究.本文就凸函数的性质介绍了几条常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用.2凸函数的等价定义定义11若函数f(x)对于区间(a,b)内的任意ox2以及九三(0,1)，包有fkx1+(1九)x2k九f(x1)+(1九)f(x2),则称f(x)为区间(a,b)上的凸函数.其几何意义

8、为：凸函数曲线y=f(x)上任意两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)间的割线总在曲线之上.定义2若函数f(x)在区间(a,b)内连续，对于区间(a,b)内的任意x1,x2,恒有f(xl_X2).il|f(x1)f(x2)l,22则称f(x)为区间(a,b)上的凸函数.其几何意义为：凸函数曲线y=f(x)上任意两点(%,f(%),(乂2,f(x2)间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上.定义3若函数f(x)在区间(a,b)内可微，且对于区间(a,b)内的任意x及,恒有f(x)至f(%)+f'(x0)(x-%),则称f(x)为区间(a,b)上的凸函数.内江师范学院本科毕业

9、论文其几何意义为：凸函数曲线y=f(x)上任一点处的切线，总在曲线之下.以上三种定义中，定义3要求y=f(x)在(a,b)内是可导的，定义2要求f(x)在(a,b)上是连续的.而定义1对函数y=f(x)则没有明显地要求.实际上可以证明在定义1中，函数y=f(x)在(a,b)上是连续的.而定义1和定义2两个定义是否要求函数y=f(x)是可导的，则没有提出.如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的.2.1 凸函数三种定义的等价性的讨论2.1.1 定义1二定义2证明定义1n定义3,取九=，由定义1推得定义2.2定义2n定义1首先，论证f(x0寸于任意的x1,x2w(a,b)及有理数人正(0,1)

10、,不等式f九x1+(1一九)x2jW九f(x1)+(1九)f(x2.成立.事实上，对于此有理数九总可以表示为有穷二进位小数，即c.ag,a22na»2'an_0.a1a2an-n2?其中司=0或1,(i=1,2,，n-1);an=1.由于1-九也是有理数.所以也可以表示为有穷二进位小数，即1-0bbb-b125b2"也2bn1一一0.b1b2bn-_n2n,由于九十(1九)=1,有0=0或1,(i=1,2，n-1);bn=1,于是fb%+匕乂2kajf(%)+bjf(x2)(i=1,2,，n1).所以fI-.x1-1)x2=f；a12nl+a22n“+an=2+a0

11、+b12n二+b22n+丁2+1-f2nx12nx2内江师范学院本科毕业论文，1，fa1x1b1x2-fn_2n_2.a22:;+anb22+bn-一尸nN二一子nX22-2-(a1x1+nX2)+a22nna32n工an2anb22n/-b322ndX-bn2bnnJX2一1aifXibfX22fa22T.,anb22nnbn27X12x211112IIa1fX1b1fX2-2*-|la2fx1b2fX222f'2n，+一+an21+bn2X1+2x2<-L11一2|a1fX1-b1fX2-22艮fX1.b2fX2!一2anfX1bnfX2fanX1bnX22111三211a1

12、fX1b1fx22fX1b2fX2FfnfX1bnfX21一一2IlanfX1bnfX2&2na22n-2a_2an工bZ"1b22-2bn_24工=2TX1pfX2-fX117fX2卜面再论证f(x)对九为无理数时定义1也成立.事实上，对任意无理数儿三(0,1),存在有理数列%u(0,1)dnT%(nT8),所以Knx1+(1%)x2t九x1+(1)x2(nT如由于f(x代(a,b)内连续，所以f|L；-X1-1-'X2二flim.nX,1-'X2=nmf%X1+(1-九)X2j州区£一1r(1-?jf(X2)=fX11-fX2综上即知，定义1与定

13、义2等价.内江师范学院本科毕业论文2.1.2定义1已定义3证明定义1n定义3:对(a,b)内任意的及x,若xo<x,则取h>0,使%+h<x.于是，可以得至IfXoh-fXofx-fXo?hx-x0上式中令hT0,由于f(x)可微，所以有f'(x0产f(x)-f(X。),即x-xof(x之(f0)x+<砥x-)ox若x<x。,则取h>0,使x<x+h<x。，同理可证.定义3二定义1:对于区间(a,b)内的任意ox?(不妨设xi<x2)以及九w(0,1),令X<x<x?,则有x1x=(1九X"x2)?2x=,式x

14、2x),由泰勒公式，得f(x)=(f)x'(efK1-成fxx2)=f(x)+f也止-x),其中x1<曰1<x<仇<x2,于是-fx11-fx2=fF"1-x21-x2-X：if%-fF再进一步由f'(%)>f'(目)，所以儿f(x)+(1九)f(x2户f,"+(1九区即fKx1+(1一九)x2E九f(x)才(1一九)f(x),2最后，由等价的传递性即知定义2与定义3也是等价的.2.2判定定理与Jesen不等式判定定理2设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸函数的充要条件是f"(x)之0,xWI.用定义直

15、接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的.但用该判定定理来判断一个光滑函数是否凸，则是相当简便的.在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式.在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.定理(Jensen不等式)网设函数f:(a,bpR.f在(a,b)上处处二次可微，且内江师范学院本科毕业论文f"(x)>0(对任意xw(a,b),则f(x)为(a,b)上的凸函数，即对任意mwN,xkw(a,b)及m箍>0

16、,z七=1成立如下不等式k4(1)mmf(Z限Xk)<Zkf(Xk),k4k该不等式称为Jensen不等式，该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情况.可以说，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen不等式来体现的，因为每个凸函数都有一个Jensen不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用.利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路.注：由定理，经简单计算知下列函数在其定义域上都是凸函数，从而fj(x)(i=1,2,3)都11酒足不等式(1).(a)f1(x)=(x>0,a>0),(b)f2(x)=(0<x<c),(c)a

17、xc-xf3(x)=(0<x<c).凸函数及其性质在解题中有着十分广泛的应用，下面试举数例c-x述之.3.性质利用函数的凸性来证明不等式，是一种重要的方法，通常需要构造适当的凸函数，再运用函数的凸性的定义及几个等价论断，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明.函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了.性质14设函数f(x卜g(x)

18、在区间I为凸函数，则f(x)+g(x)在区间I也为凸函数.证明：卡为？2wI,V九三(0,1)因函数f(x)、g(x在区间I为凸函数，从而f(KXi+(1九%)<Af(Xi)十(1九)fj2),且gKx1+(1少2户九g(x1)+(1-%)g(x2)于是有f，x15%g-x1-x2"fXigx11-1fx2gx2因此f(x)+g(x祢区间I为凸函数.内江师范学院本科毕业论文性质2设函数f(x卜g(x)在区间I为凸函数，则maxf(x),g(x)在区间I为凸函数.证明vx1,x2wI,w(0,1),因函数f(x)、g(x)在区间I为凸函数从而有f(九为+(1九)x2WKf(x片(

19、1一九)f(x),2且g(九X+(1九*2A九g(xi)+(1九)g(x2).令F(x)=maxf(x),g(x),则Fx11-x2=max：fx11-x2,gx11-x2-maxifx11-fx21gxi1-gx2;<九maxf(x1),g(x1'+(1九)maxf(x2g(x2'=7F(x1)+(1-K)F(x2).因此，F(x)=maxf(x)g(x?在区间I为凸函数.性质35设函数f(x卜9门)在区间储力)为递增的非负凸函数，则f(x)g(x)在区间(a,b必凸函数.证明%乂2w(a,b),设x1<x2,因fxbx()为非负凸函数，由定理3知Vxw(a,b)

20、,f(xbg(x"点x连续,且),x1x20<f(-2)<(2(g%gx2)一2因此f(x)g(x渲区间(a,b)连续，13f(x'g(x)递增,从而ILf又2-fx)gx2-gX:-11/x1gxfx2gx?)-fxgx2fx?gx1-0f()g(x1x2、<：2-fx2fxgx2g为22fxgxfx2gx2fxgx2fx2gx1二fx2gx2fxg为内江师范学院本科毕业论文由定义知f(xjg(x祚区间(a,b)为凸函数.当然凸函数的性质还远不止施工述几条，这里就不一一列举.4凸函数在不等式证明中的应用4.1利用凸函数定义证明不等式a：；b例1求证：对任意

21、实数a,b,有e2<(ea+eb).证明设f(x)=ex，则f"x)Xw(廿f),故fX件'为)上的凸函数.从1而对x1=a,x2=b,九=,由te乂有2r111r1rf。1+(1-/255f(xi)+(1./(x2),ab1即e2<1(ea+eb).21.a例2设0<x<1,0<a<1,则有(1+x)(1-xa)<1-x.证明设f(x)=(1+x1,X1-xa)(0<x<1),那么1 -afx=1-a1x1-xa1x-axfx)；二a1-a1x”1-xa-a1-a1x“xa,-a1-a1x“xa1-aa-?-aa-11x

22、xa=a1-a1x“1C：1。xa11xxa，x"1xi(1x2xa-a4a-1=-a(1-a*1+x)(1-x尸a(1-a(1+x)(x-1),于是0ex<1,0ca<1时，f"(x)>0.由严格凸函数的定义，其中九=x,x1=1,x2=0得f(x)=fxg+(1x)/<xgf(1)+(1x)gf(0),1-a即(1+x)(1-x)<1-x.例36若f(x)为(a,b)内的凸函数,x亡(a,b),i=1,2，n,求证内江师范学院本科毕业论文qxnn1.f()<-Zf(Xi>nnij1证明对n=2,x=1，不等式是显然的，设对n-1

23、不等式成立，则因为2x1x2q"n-1x1x2"1=+xn,nnn-1n这里九=",».方),由定义有nn-1nn，'x/'、xif(-)<n1f(J-nnn-1、1,1，)+f(xn)=£f缶),0+8+，.+a例4若日iw(0,n),i=1,2，n则sin-2n之g'sindsin%sin/.n,证明令f)=In(sinq),eiw(0尸)，i=1,2,，n.由于f”拒产sec2d>0则f(x)为(0,n)上的严格凸函数，所以由例3的不等式有1n.1n一ln(sin£4)七一一£ln(

24、sin),nid门口'1-2'".1即ln(sin-一2n1 .)之一ln(sinWsinasin%),由e>1得nO,+8+十也，,-sin之sin81sin日2sin8n,n,上式等号仅在4=日2=成立.4.2利用凸函数性质证明不等式例5证明不等式：.x<i+x'xxx2+x2#"'+x2-Mgxn<x上员<412迎)2,nn其中x>0,i=1,2，n.证明考虑对数函数f(x)=lnx(一，.1一x>0),因为f(x)=-一2<0,故函数f(x)=lnx是x上凸函数，由上凸函数的性质，即得lnxx

25、2x°-1lnx11nx2,lnxn=lnnx1x2xn,nn由对数性质，即证明了94M22xn(2)内江师范学院本科毕业论文又考虑函数g(x)=_x2(x>0),所以g"(x)=-2<0.故g(x)=-2也是上凸函数,上凸函数的性质，得22(Xx2xn2_x-x2_()nn222xx2x2x1x2-xn(),nn因此Xix2Xn222,x1x2xn12一(),n(3)综合(2),(3)整个命题证明结束.例6设%,%土匀为正数，且0tl+a2+£n=1.求证:121212(-1f(-2fGnV1：2、(1n)2n证明考虑函数f(x)=X,因为f&quo

26、t;(x)=2.0,所以f(x)=X是下凸函数，x1=a1'>,xn-ana1由下凸函数的性质，则有an(现1)2(a2-)2(an-)2aia2anaia2一.a。.一/a1-n(an)2(4)11112(1q+1)2,naa2a0由柯西不等式：Ca2)(vb2)-Ca：h2)2现a2anaa?an1112二()a1a2an-n,Aa2an_1112于是有(一+)之n2,并代入(4)式即得aa2an内江师范学院本科毕业论文2(1n)2一)n,1、2,1、2,1、(11)(：2一)Gn)证毕.例77在AABC中，求证sinA+sinB+sinCW33.2证明考虑函数y=sinx(

27、0<x<n),因为y=sinx<0(0<x<n)，所以y=sinx在(0,冗)内是上凸函数，由上凸函数的性质有sinAsinBsinC.sin3ABC由于A+B+C=n.故sinA+sinB+sinCW33.2例8网设2由wr+,i=1,2,，n,zaibii=1i12aiabi1n、a.2ynna证明记s=£ai则工亘=1,取f(x)=i1i=1s,x1x0,易知f"(x)>0,有判定定理知bnnf(x)为凸函数，取xi由于£ai=£b=s.故由性质得ai1i1n_2nvaivai11ss£=s£

28、'sn=n-;-=一yaihys1x1%?x1八92i=1si1s1nnnq例9设a,bi>0,i=1,2,，n,有工ah<庐a：庐bq,其中P>0,q>0,i1_i=1_i=1pq：1：2:n证明令f(x产xP,p>1,x>0,因为f"(x)=Pp1)px2>0由判定定理知f(x)=x,p>1,x>0,在(0,收)上是严格凸函数，由Jensen不等式得到nnnn(Zixi)p<Z%xip,今设u1,u2,，un为非负实数且Zui#0,在上述表达式中以ui/zuiyyi1ii1nnn代替,得到(ZuiX)pWqxip

29、)ui尸.i1i1i110内江师范学院本科毕业论文11一,一.n由题设一+-=1知q=p/(p1)令4=匕，不妨设工h=0,代入上式使得pqy1nn.-nq不等式£ab<£ap'iZb：1.i1i坦i坦nnin特别地，取p=q=2时得就到柯西不等式£aibi<归2归bi2.i41i1i1综上所述，在不等式的证明中，巧妙地应用凸函数的定义及性质，就可使一些较复杂的不等式迎刃而解.结束语通过研究凸函数的几种定义，分析它们之间的关系，证明了给出三种典型定义之间的等价性.给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式.然后讨论了凸函数的几条常用性质，接着通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用.凸函数的应用领域非常广泛，主要是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙，简练，通过对上述问题的证明，我们认识到利用凸函数的定义、等价定义、性质及