初中数学几何变换之平移

1、几何变换之平移,/平移的性质：1 .经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等.2 .平移前后，所对应的图形全等.模块平行多边形和平移的构造1 .平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理.平移沿平行四边形的某条边进行.2 .平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要

2、视具体情况（特别是所要证明的结论）而定.这种平移方式经常用来对分散图形进行集中.例1AB和BC.如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于如图所示，将4PAB平移至4QDC的位置，易证DQAP,CQBP,则四边形DPCQ恰好是一个以AP、BP、CP、DP为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD的两条邻边.例2如图2-1,四边形EFGH中，若12,则3必然等于4.请运用结论证明下述问题：如图2-2,在平行四边形ABCD中取一点P,使得56,求证：78.【分析】此题为信息题，难点在于如何理

3、解已知条件，经观察我们发现，若1和2,位置为时，可得出3和4相等（本质为四点共圆），图（2）中，5与6关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决.而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5与6成又形，我们可有如下四种方法.分别过点B、P作BKIIAP,PKIIAB,交于点K,连接CK.BK/AP,PK/AB,BKAP,PKAB,5BKP,7BPK.ABCD,ABIICD,.PKIICD,，四边形PKCD为平行四边形，PDPKCDCK,ADBCADPABCK,8BCK6,BPKBCK,78【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的

4、快乐.如图，以ABC的边AB、AC、方形ACGF、正方形BCMN.以DGCMNABDE、正BC为一边，分别向三角形的外侧作正方形EF、DN、GM为边能否构成三角形？为什么?E遑解析过点E作PEIIDN,过点N作PN/DE,PE与PN交于点P,连结PM、PF.PEIIDN,DEIIPN,DEPN,PEDNABIIDE,PNIIDE,ABIIPN,BCIIMN, ABCPNM,ABDEPN,BCNM,.ABCQPNM ACPMFG,ACBPMN,，AC/FG/PM,，四边形FGMP是平行四边形， MGPF.PEF就是以EF、DN、GM的长为边的三角形.【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展4PEF

5、的面积为4ABC的3倍.例4如图所示，一个六边形的六个内角都是120,连续四边的长依次是1、3、3、2,则该六边形的周长是多少？（方法1）:如图所示，由于六边形的内角都是120,易知CDIIAF,ABIIED,BCIIFE.把BC、DE、FA分别平移至AC1、CE1、EA1,可得等边A，1E1,其边长CiElCEiCCiDEBA1.在此基础上可求得EF、AF的长，进而求得六边形的周长：EFAAAC1C1ABC1312,AFAE四日E1E1CD134,故六边形的周长是13322415.（方法2）：如图所示，将六边形补全为等边4PQR.易得PQR的边长为1337,贝UEF7322,FA7124,故

6、六边形的周长是13322415.在六边形ABCDEF中，ABIIDE,BC/EF,CD/AF,对边之差BCEFEDABAFCD0.求证：六边形ABCDEF的各内角均相等.得到PQR.平移线段DE到CR,平移线段BC到AQ,平移线段FA到EP,如图所示,易知PQAQAPBCEF,RQRCQCEDAB,PRPEREAFCD.由于BCEFEDABAFPQRQPR,即4PQR是等边三角形,PQRQRPRPQ60.故DEFDERREFQRPRPQ6060120CDECRE180QRP18060120.同理，DCBCBABAFAFE120,六边形ABCDEF的各内角均相等.例6如图所示，在六边形ABCDE

7、F中，AB/ED,AFIICD,BCIIFE,ABED,AFCD,BCFE,又知对角线FDBD,FD24厘米，BD18厘米.请你回答：六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？BBGACCFFFEDAABDBCBDEFD均为平行四边形TFEDDDBAFAAEDFBDFBCDFAACE的面积与4BDF的面积相记六边形ABCDEF的面积为如图，将平移至B在DDB、D设凸六边形ABCDEF的三组对边分别平行.求证F分别沿CD、EFS,ABDF1将4DEF平移到BAG的位置；将BCD平移到4GAF的位置，则长方形BDFG的面积等于六边形ABCDEF的面积.易知长方形BDFG的面积等于2418432(平方

8、厘米)，六边形ABCDEF的面积是432平方厘米.ABDEEFBC的面积为T.因四边形FABF、BCDB1F，则F在BBD在FF上SAbdf-(ST)2E2(ST)FCBCB同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形ACE,则有AC|ABDE|,CE|CDFA|,EA|EFBC|.1因而ACE的面积也为T,于是也有saace-(ST),故SaBDFSAACE-2如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像.但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关

9、条件使问题得到解决.如图所示，两条长度为1的线段AB和CD相交于O点，且AOC60,求证:考虑将AC、BD和AB集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系.作CBIIAB且CB=AB,则四边形ABBC是平行四边形，从而ACBB.在4BBD中可得BBBDBD,（当AC/BD时，BBBDBD）,即ACBDBD.由于CDABCB1,BCDAOC60,所以BCD是等边三角形，故BD1,所以ACBD1.如图，4ABC中，ABAC,D、E是AB、AC上的点且ADCE.求证：2DEBC一1方法一：通过构造平行四边形把detbc平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）方法二：通过构造平行四

10、边形平移DE,使得DE和BC共顶点.下面写出方法二的解析：(如下图2)过点B作BF/DE,且BFDE,连接EF、FC./DAE/CEF,AEBDEF又ADECAADEECF,DECF，BFCFBC即2DEBC,当且仅当DE为ABC的中位线时，取到等号.另外，此题还可以如图1,3,4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形.AAAA图1F图2玄例10酚已知：4ABC.AC上的点，若ADAE,请你写出此图中的另(1)如果ABAC,D、E是AB、组相等的线段；(2)如果ABAC,D、E是数量关系，并证明你的结论.AB、AC上的点，若BDCE,请你确定DE与BC的C(1

11、)DBEC；(2)结论：BCDE.过E点作EFIIAB,截取EF结NF.DBEF,又DBEN平分CEF,FENDBCEF的平分线EN交BC于N,连EC,EFECCEN.,EN为公共边，ENF叁匕BDEF是平行四边形.DE在4ENF和4ENC中，EFEC,FENCENNFNC.DBIIEF,DBEF,.四边形在4BFN中，BNFNBF,即BNCNDE,所以BCDE.复习巩固模块一平行多边形和平移的构造已知：矩形ABCD内有定点M,试证:2_2AMCM透解析过点B、点M分另I作AM、AB的平行线，交于点E,连接CE,ME,BC交ME于点F.AB/EM,AM/BEAMBE,ABEM.ABCD,ABI

12、ICDEM/CD,EMCDECDM为平行四边形，CEDMEMBC.2222222 BMBFFM,CEEFCF,_22_2222CMCFFM,BEBFEF.2_2_2_23 AMCMBMDM.C向直线AK引垂线，两垂线相交于PFEBMcBADACD如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交.由点B向直线DK引垂线，由点MKAD.解析如图，过点K作KP/AB,且KPAB.连接PB,PC,KM.PKIIBA,PKBA，四边形PKAB为平行四边形BP/KA又CFAK.CFPB又在矩形ABCD中，ABIICD,ABCDPK/CD,PKCD.四边形PKDC为平行四边形PC/KD又BEKD,BEPCM为PBC的重心4 PMBC又ABBC,AB/PK,PKABP,K,M三点共线且KMBC又AD/BC,KMAD.模块二共端点的平移构造解析LiL2如图A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直.）A(1)(2)(3)(4)设河宽为d,作ACLi且ACd;连接CB交L2于N点；作M