几种常见的放缩法证明不等式的方法

1、Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse几种常见的放缩法证明不等式的方法放缩后转化为等比数列。例1.2bn满足：bi之1,bn=bn(n2)bn+3(1)用数学归纳法证明：bn之nTn解：(1)略111+,+3b13b23b31+3bn，、一1,求证：TnJ2(2),bn13=bn(bn-n)2(bn3)又.bn-n二bn+3>2(bn+3),n-N迭乘得：bn3_2nd(bi3)_2nd1bn3111Tn<+222324点评：把握“bn+3”这一特征对“bn书=bn2(n2)bn+3”进行变形，然后去掉一个正

2、项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法,似乎是不可能的，为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加1例2.数列an,an=(-1)一，其刖n项和为snn求证：s2n:一21112n-12n解：s2n=1一一.2341，bn的刖n项和为Tn2n(2n-1)-1111当n22时，bn<12n(2n-2)4n-1n.1s2n-Tn-_211111111111(-)(-).(-)12304344564n-1n712104n2点评：本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始

3、放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。b例3.已知函数f(x)=ax+c(a>0)的图象在(1,f(1)处的切线方程为x(1)用a表示出b,c(2)若f(x)之lnx在1,y)上恒成立，求a的取值范围,、111n(3)证明：1.：-ln(n1)23n2(n1)解：(1)(2)略.1一(3)由(II)知：当a至一时，有f(x)至lnx(x父1)2人1,11、令a=一,有f(x)=(x-一)之lnx(x21).22x一，.11且当x.1时，(x-)lnx.2x令x=kH,有ln5<1=-上”1-'),kk2kk12kk1111、即ln(k1)Tnk:(一),k=1,2,3

4、,n.2kk1将上述n个不等式依次相加得11ln(n1):2(212(n1)'整理得111.123nln(n1)n2(n1)点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系,然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。放缩后迭乘n124an)(nN*).,1。，=1,an1=“(14a16求a2,a3(2)令bn=、/1+24an,求数列bn的通项公式(3)已知1f(n)=6an+-3an,求证：f(1)f(2)f(3).f(n)>-2解：（1）(2)略由(2

5、)得an=2(1)n34-f(n)1-十4n(2)n21;n2n-241、1)414114(1-1331一1二1n241 21144n41I41.14n14f(n)11f(1)f(2).1I1+工4n1114n二1.14n122点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加，求n项乘时用迭乘。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfurStudien,Forschung,zuko

6、mmerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'etudeetlarechercheuniquementddesfinspersonnelles;pasddesfinscommerciales.tojibkoAJiajiioAeakpTOpwenojib3ymai旦ca6yqeHH豆c,neaob团oji>kheiHcnojib3OBaTbCHbKOMMepnecKHx“ejiax.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfurdenpers?nlichenfdieiStUorschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'etudeetlarechercheuniquementddesfinspersonnelles;pasddesfinscommerciales.t