合作性学习-变分法1

1、变分法简介变分法简介在前面的章节中，我们学习了分离变量法，积分变换法，和在前面的章节中，我们学习了分离变量法，积分变换法，和格林函数法。这些事规定了边界条件，能够严格求解的方法。格林函数法。这些事规定了边界条件，能够严格求解的方法。我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法。从推导严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法。从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带数学

2、物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似的近似 变分法变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，变分问题即是变分问题即是求泛函的极值问题求泛函的极值问题把定解问题转化为把定解问题转化为变分问题，再求变分问题的解变分问题，再求变分问题的解近似解变分法有限差分法模拟法变分法的优点变分法的优点: (2) 变分法易于变分法易于实现数学的统一化实现数学的统一化因为一般而言，因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题尤数学物理方程的

3、定解问题都可以转化为变分问题尤其是前面介施图姆刘维尔本征值问题可转化为变分其是前面介施图姆刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施图姆刘维尔型本征值问题的问题，变分法提供了施图姆刘维尔型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明；本征函数系的完备性等结论的证明；(1) 变分法在物理上可以归纳定律因为几乎所有的变分法在物理上可以归纳定律因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；自然定律都能用变分原理的形式予以表达；(3) 变分法变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，是解数学物理定解问题常用的近似方法，其其基本思想基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题是把数学物理定解问题

4、转化为变分问题由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨的是里茨 （Ritz）法）法 由于里茨法中的试探函数的由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；机的展，又迅速发展了一种有限元法； (4) 变分法的应用变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用等高技术领域都有十分广泛的应用变分问

5、题变分问题 变分法变分法就是求泛函极值的方法就是求泛函极值的方法变分问题变分问题即是求即是求泛函的极值问题泛函的极值问题泛函泛函 变分法研究的对象是变分法研究的对象是泛函泛函，泛函是函数概念的推广，泛函是函数概念的推广为了说明泛函概念先看一个例题：为了说明泛函概念先看一个例题：变分问题 考虑著名的考虑著名的最速降线落径问题最速降线落径问题。如图一所示，。如图一所示， 已知已知A和和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从这条曲线无摩擦地从A滑到滑

6、到B时，所需的时间时，所需的时间T最小最小 y x A B(x,y) 图 19.1 图一图一yxAB(x,y)图 19.1我们知道，此时质点的我们知道，此时质点的速度是速度是 d2dsgyt因此从因此从 A滑到滑到B所需的所需的时间为时间为21+ddd22BAtBBtAAysTtxgygy即为即为21+ ( )d2BAyT y xxgy yxT( )y x( )y x ( )T y x式中式中 代表对代表对求一阶导数求一阶导数 我们称上述的我们称上述的为为的的泛函泛函，而称，而称为可取的函数类，为泛函为可取的函数类，为泛函的的定义域定义域。简单地说，。简单地说，泛函就是函数的函数泛函就是函数的

7、函数（不是复合函数（不是复合函数的那种含义）类似于高等代数的映射。的那种含义）类似于高等代数的映射。一般来说，设一般来说，设C是是函数的集合函数的集合，B是是实数或复数的集合实数或复数的集合， 如果对于如果对于C的任一元素的任一元素 ( )y x在在B中都有一个元素中都有一个元素J与之对应，与之对应， J( )y x ( )JJ y x则称则称为为的的泛函泛函，记为，记为 必须注意，必须注意，泛函不同于通常讲的函数泛函不同于通常讲的函数决定决定通常函数值的因素是自变量的通常函数值的因素是自变量的取值取值，而决定泛函的值，而决定泛函的值的因素则是函数的的因素则是函数的取形取形如上面例子中的泛函如

8、上面例子中的泛函T的变化的变化是由函数是由函数 ( )y xx本身的变化（即从本身的变化（即从A到到B的不同曲线）的不同曲线）值，也不取决值，也不取决所引起的它的值既不取决于某一个所引起的它的值既不取决于某一个于某一个于某一个 yyx值，而是取决于整个集合值，而是取决于整个集合C中中与与的函数关系的函数关系 泛函的核泛函的核 泛函通常以泛函通常以积分形式积分形式出现，比如上面描述的最速降线出现，比如上面描述的最速降线落径问题更为一般而又典型的泛函定义为落径问题更为一般而又典型的泛函定义为 ( )( , ,)dbaJ y xF x y yx不取决于不取决于X的值的的值的变化，而是取决变化，而是取

9、决于于y与与x的函数关的函数关系系其中其中 ( , ,)F x y y称为称为泛函的核泛函的核泛函的极值泛函的极值变分法变分法对于不同的自变量函数对于不同的自变量函数 ( )y x，与此相应的泛函，与此相应的泛函 ( )J y x也有不同的数值找出一个确定的自变量函数也有不同的数值找出一个确定的自变量函数 ( )y x，使泛函，使泛函 ( )J y x 具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值统称为值统称为泛函的极值泛函的极值引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变 ( )J y x为泛函

10、为泛函的极小值问题物理学中常见的有光学的极小值问题物理学中常见的有光学中的中的费马费马(Fermat)原理原理，分析力学中的，分析力学中的哈密顿哈密顿(Hamiton)原理原理等，都是泛函的极值问题等，都是泛函的极值问题变分法变分法：所谓的变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法就是求泛函极值的方法研究泛函极值问题的方法可以归为两类：研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一、一、直接法直接法， 把变分问题转化为直接求普通的多元函数的极值问题，如把变分问题转化为直接求普通的多元函数的极值问题，如Ritz方法就是直接法方法就是直接法二、二、 间接法，间接法，把变分问题转化为解微分方程（欧拉方程）把变

11、分问题转化为解微分方程（欧拉方程）变分变分 如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为 ( );y x并定义与函数曲线并定义与函数曲线 ( )y x邻近的曲线（或略为变形的邻近的曲线（或略为变形的曲线）作为比较曲线，记为曲线）作为比较曲线，记为( , )( )( )y xy xx其中其中 是一个小参数；是一个小参数； ( )x是一个具有二阶导数的任意是一个具有二阶导数的任意选定函数，规定选定函数，规定 它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛函在极值处连续在研究泛函极值时，通常将函在极值处连续在研究泛函极

12、值时，通常将 ( )x固定，固定，而令而令变化，这样规定的变化，这样规定的好处好处在于：建立了由参数在于：建立了由参数 到泛函到泛函 ( )J y x值之间的对应关系，因此泛函值之间的对应关系，因此泛函 ( )J y x就成为了参数就成为了参数 的普通函数原来泛函的极值问题就成为的普通函数原来泛函的极值问题就成为普通函数对普通函数对 的求极值的问题同时，函数曲线的求极值的问题同时，函数曲线 ( )y x的的变分定义变分定义为为0( , )|( )dyy xx因此可得因此可得 ( )dyx这里这里 ,y代表对代表对x求一阶导数求一阶导数 所以所以 ddyyx即变分和微分可以交换次序即变分和微分可

13、以交换次序 泛函的变分（由此正式进入变分）泛函的变分（由此正式进入变分）()dbaFFJyyxyy在极值曲线在极值曲线 ( )y x附近，附近，泛函泛函 ( )J y x的增量的增量，定义为，定义为 ( , ) ( )JJ y xJ y x 依照上述约定，当依照上述约定，当 0时，泛函增量时，泛函增量 J的线性的线性主要部分定义为主要部分定义为泛函的变分泛函的变分，记为，记为 0|dJJ 在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用因同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用因此，通常称泛

14、函极值问题为此，通常称泛函极值问题为变分问题变分问题；称求泛函极值的称求泛函极值的方法为变分法方法为变分法 泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的因为它泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的因为它与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导数的阶数等相关另外，在求泛函极值时，有的还要加数的阶数等相关另外，在求泛函极值时，有的还要加约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等泛函的极值泛函的极值d()0dFFyxy上式为（上式为（Lagrange）方程，简称为）方程，简称为E-L方程方程 此即泛函取极值的必要条件

15、即泛函此即泛函取极值的必要条件即泛函 J的极值函数的极值函数 ( )y x必须是满足泛函的变分必须是满足泛函的变分 0J的函数类的函数类 ( )y x因此，因此， 一、泛函的极值的必要条件一、泛函的极值的必要条件欧拉拉格朗日方程欧拉拉格朗日方程 把泛函的极值问题称为变分问题把泛函的极值问题称为变分问题 注明注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值,但对但对于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往于实际问题中，当泛函具有明

16、确的物理涵义，极值的存在性往往间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问题的，只要解出题的，只要解出E-L方程，就可以得到方程，就可以得到泛函的极值泛函的极值E-L方程除了上面给出的形式之外方程除了上面给出的形式之外，另外还有四种特殊情况：另外还有四种特殊情况：(1) F不显含不显含 x( ,),FF y y且且 0Fx因为因为ddd()()()dddFFFFFFFyyyxyxyxyyxy若若 0,y E-L方程等价于方程等价于 FFycy(2) F不依赖于不依赖于 y( ,),FF x y且且 0Fy则则E-L方程化为方程

17、化为d()0, dFFcxyy(3) F不依赖于不依赖于 y( , ),FF x y且且 0Fy则则E-L方程化为方程化为0Fy由此可见由此可见 F仅为仅为 x的函数的函数 (4) F关于关于 y是线性的：是线性的： ( , ,)( , )( , )F x y yf x yg x y y则则E-L方程化为方程化为0fgyx 对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：2. 泛函表示为多个函数的积分形式泛函表示为多个函数的积分形式1122 ( )( ,)

18、dbnnaJ y xF x y y yyyyx|0, |=0 (1,2, )ix aix byyin则与此泛函极值问题相应的则与此泛函极值问题相应的E-L方程为方程为d()0 (1,2, )diiFFinyxy3. 泛函的积分形式中含有高阶导数泛函的积分形式中含有高阶导数( ) ( )( , ,)dbnaJ y xF x y y yyx(1)( )( )( )0ny ay ay a(1)( )( )( )0ny by by b与此泛函极值问题相应的与此泛函极值问题相应的E-L方程为方程为22( )ddd()()( 1)()0dddnnnnFFFFyxyxyxy 4.泛函的积分形式中含有多元函数泛函的积分形式中含有多元函数( , )u x y, x y设设为为的二元函数，则的二元函数，则22111212( , , ,)d d( , )(, )( ,)( ,)0 xyxyxyJF x y u u ux yu x yu xyu x yu x y 二、泛函的条件极值问题二、泛函的条件极值问题 在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件的限制，其中最常见和重要的一种是以的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制积分形式表示的限制条件条件( , ,)dbaG x y yxl 与此泛函极值问题相应的与此泛函极值