虚功原理微分形式的变分原理ppt课件

1、7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 受有理想约束受有理想约束、 定常约束定常约束的力学系统的力学系统, 坚持坚持静静平平衡的必要衡的必要充分充分条件是作用于该系统的全部自动力条件是作用于该系统的全部自动力的虚功之和为零的虚功之和为零. 01iniirF在直角坐标系中在直角坐标系中, , 上式写成上式写成 0)(1iiziiyiniixzFyFxF7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 当力学系统相对惯性系处于当力学系统相对惯性系处于 静静 平衡时平衡时, , 0RiiFFni,.,2 , 10)(iRiirFFni,.2 , 10

2、11iniRiiniirFrF必要条件的证明：必要条件的证明： 对理想约束对理想约束0001iniirF7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 假设系统的自动力虚功之和为零假设系统的自动力虚功之和为零, ,充分条件的证明：充分条件的证明： 01iniirF对于受有理想约束的系统对于受有理想约束的系统 011iniRiiniirFrF力学系统的约束是定常的力学系统的约束是定常的, , 各质点的无限小实位移各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合必与其中一组虚位移重合, , 故系统的自动力和约束故系统的自动力和约束力的实功之和也满足上式力的实功之和也满足上式 0dd

3、11iniRiiniirFrF根据质点系的动能定理根据质点系的动能定理 0ddd11iniRiiniirFrFT常常量量T阐明系统开场时静止阐明系统开场时静止, , 以后就会一直坚持静止以后就会一直坚持静止 7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 几点阐明：几点阐明： (1) 普适性普适性. (2) 在变动中寻觅平衡的条件在变动中寻觅平衡的条件. 例如单摆例如单摆 gmrgmr,0时时0 rgm,0时时0 rgm置置的的位位置置为为单单摆摆的的平平衡衡位位0(3) 与牛顿力学不同与牛顿力学不同, 分析力学的方法不是将留意力分析力学的方法不是将留意力放在区分内力和外

4、力上放在区分内力和外力上, 而是放在区分自动力和约而是放在区分自动力和约束力上束力上. 7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 如下图提升重物的安装如下图提升重物的安装 , ,以把手端点的弧坐标以把手端点的弧坐标s s为广义坐标为广义坐标, , 设重物距地面高度为设重物距地面高度为h, 根据虚功原理根据虚功原理 0hWsFshWF假设知道假设知道h和和s的函数关系的函数关系, 经过上式经过上式, 就可求出就可求出 F(4) 虚功原理中所说的自动力所做虚功之和为零虚功原理中所说的自动力所做虚功之和为零, 是是对恣意的虚位移而言的对恣意的虚位移而言的, 而不是针对特殊

5、的虚位移而不是针对特殊的虚位移 .由于虚功原理的方程中不出现约束力由于虚功原理的方程中不出现约束力, , 因此不能由因此不能由虚功原理求出约束力虚功原理求出约束力, , 但是但是, , 经过释放约束或用不经过释放约束或用不定乘子法定乘子法, , 可以求出约束力可以求出约束力 7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 01iniirF0)(,1iiziiyiniixzFyFxF或或据虚功原理据虚功原理,有有为了得到广义平衡方程为了得到广义平衡方程, , 需求将虚功原理化为以需求将虚功原理化为以广义坐标表述的方式广义坐标表述的方式. . 01qQs展开后写成展开后写成

6、02211 ssqQqQqQ01q若若相相互互独独立立q0,.,2sqq011qQ01Q在完好系中在完好系中, , 7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 0,1q若若同同理理相相互互独独立立q0,.,31sqqq022qQ02Q推出推出,0Qs , 2 , 1 广义平衡方程广义平衡方程 虚功原理又可表达为虚功原理又可表达为: : 对于受完好的、定常的、对于受完好的、定常的、理想约束的力学系统理想约束的力学系统, , 坚持静平衡的必要充分条坚持静平衡的必要充分条件是一切的广义力都为零件是一切的广义力都为零. . 对于自动力均为有权利的有势系对于自动力均为有权利的有

7、势系, , 有有qVQ所以所以, ,广义平衡方程成为广义平衡方程成为 0qVs , 2 , 1 01qqVs代入虚功原理中代入虚功原理中, ,有有0,V即即7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 例题例题3 如下图如下图, 匀质杆匀质杆OA, 质量为质量为m1, 长为长为l1, 能在能在竖直平面内绕固定的光滑铰链竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动转动, 此杆的此杆的 A端端用光滑铰链与另一根质量为用光滑铰链与另一根质量为m2,长为长为l2的匀质杆的匀质杆 AB相连相连. 在在 B端有一程度作用力端有一程度作用力 .求处于静平衡时求处于静平衡时, 两两杆与铅垂线的夹

8、角杆与铅垂线的夹角1和和 2.FAl1Bl2FOxy121、判别约束类型、判别约束类型能否完好约束能否完好约束?能否理想约束能否理想约束?2、判别自在度、判别自在度224s2211,qq个个变变量量两两点点的的位位置置，、4BA21,lABlOA7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 PR质量为质量为m的小环的小环P被限制在一个被限制在一个半径为半径为R的光滑大圆环上的光滑大圆环上,大圆大圆环绕过大环中心的铅垂轴以环绕过大环中心的铅垂轴以的角速度均匀转动的角速度均匀转动,以小环为系以小环为系统统,试确定其自在度试确定其自在度.质点在球坐标系中用质点在球坐标系中用r

9、,描描画画Rr 0t非定常约束非定常约束1 s3、分析受力、分析受力(自动力自动力)ABFOxy12gm1111, yxCgm2222, yxCFgmgm,217-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 4、由虚功原理、由虚功原理032211rFrgmrgm5、建立坐标系、建立坐标系(必需是静止坐标系必需是静止坐标系)xx032211xFygmygm6、转化成广义坐标、转化成广义坐标111cos2ly 22112cos2coslly22113sinsinllx1111sin2ly2221112sin2sinlly2221113coscosllxy7-3 7-3 虚功原

10、理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 1112111sinsin21coslgmgmF0sin21cos22222lgmF广义力广义力广义力广义力互相独立互相独立和和由于由于210sin21cos0sinsin21cos2222111gmFgmgmF广义平衡方程广义平衡方程 7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 可求出系统处于静平衡时可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程所满足的方程: gmFgmmF221212tan22tan所以所以 gmFgmmF221212arctan22arctan7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的

11、变分原理 法二法二 先求出广义力先求出广义力,再写出平衡方程再写出平衡方程s=2, 所以有2个广义力 1iiiqrFQ32 , 1FFgmFgmF32211,其其中中2211,qq1111rgmQgm212r13rF111ygm122ygm13xF11112111cossinsin21Flglmglm02211322112111sinsincos2coscos2llxllyly7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 2211322112111sinsincos2coscos2llxllyly232222112rFrgmrgmQ23222211xFygmygm222

12、22cossin21Flglm0虚功原理主要用于求解：虚功原理主要用于求解：(1)(1)系统的静平衡位置；系统的静平衡位置； (2)(2)维持系统平衡时作用于系统上的自动力之间维持系统平衡时作用于系统上的自动力之间的关系的关系. .7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 运用虚功原了解题的主要步骤是：运用虚功原了解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型明确系统的约束类型, 看能否满足虚功原理所要看能否满足虚功原理所要求的条件；求的条件；(2)正确判别系统的自在度正确判别系统的自在度, 选择适宜的广义坐标；选择适宜的广义坐标；(3)分析并图示系统遭到的自动力；分析

13、并图示系统遭到的自动力；(4)经过坐标变换方程经过坐标变换方程, 将虚功原理化成将虚功原理化成 01SqQ的方式的方式, , 进而得出广义平衡方程进而得出广义平衡方程 , 0Q., 2 , 1s对有势系对有势系, 求出系统的势能求出系统的势能V 后，可经过后，可经过 0/qVs , 2 , 1得广义平衡方程得广义平衡方程; ; (5)求解广义平衡方程求解广义平衡方程. 7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 1 1、利用释放约束的方法求约束力、利用释放约束的方法求约束力 例题例题4 试求例题试求例题3中中O处的约束力处的约束力.4s241321,qqyqxqNFF

14、gmgm,21主主动动力力为为代入虚功原理代入虚功原理, ,得得032211xFygmygmyFxFyxNNgmmFFFNyNx21可解出约束力可解出约束力: : 7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 2、不定乘子法、不定乘子法.(拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) 先设系统由先设系统由1个质点组成个质点组成, 受受1个完好约束个完好约束 0,zyxf用用3个直角坐标作为描画系统位置的变量个直角坐标作为描画系统位置的变量. 于是当系统于是当系统平衡时平衡时, 应满足虚功原理应满足虚功原理 0zFyFxFzyx得得出出的的它它们们满满足足由由约约束束方方程程不不是是相

15、相互互独独立立的的但但式式中中,zyx0zzfyyfxxf乘待定常数乘待定常数( (不定乘子不定乘子) ) ，与前式相加，与前式相加, , 得得 0)()()(zzfFyyfFxxfFzyx7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 .,依依然然不不独独立立zyx0)()()(zzfFyyfFxxfFzyx.,独独立立则则不不独独立立假假定定zyx即即的的系系数数为为值值使使适适当当选选取取, 0 x0zfFz0),(000,zyxfzfFyfFxfFzyx则则,),(,0),(,定常数定常数和待和待可求出平衡位置可求出平衡位置联立求解联立求解与约束方程与约束方程已知

16、已知主动力主动力zyxzyxfF称为不定乘子,又称拉格朗日乘子日乘子. . 这种方法称为不定乘子法这种方法称为不定乘子法. . 不定乘子不定乘子是一个与约束力有关的量是一个与约束力有关的量. 7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 将约束都释放将约束都释放, , 并将约束力视为自动力并将约束力视为自动力, , 虚功原理成为虚功原理成为0)()()(zFFyFFxFFRzzRyyRxx.,相相互互独独立立zyx即即 000RzzRyyRxxFFFFFF可知可知xfFRxyfFRyzfFRz想象质点被约束在一个光滑曲面上想象质点被约束在一个光滑曲面上, ,其约束力为其

17、约束力为 kFjFiFFRzRyRxRkzfjyfixf即即 fFR阐明约束力沿曲面的法线方向，阐明约束力沿曲面的法线方向， .的的比比例例系系数数与与是是约约束束力力fFR7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 普通性讨论普通性讨论设一力学系统由设一力学系统由n个质点组成个质点组成,遭到遭到 k个完好约束的限制个完好约束的限制 0,iiizyxfk, 2 , 1那么那么3n个坐标中有个坐标中有 k个是不独立的个是不独立的. 系统平衡时系统平衡时, 应满应满足虚功原理足虚功原理 01niiiziiyiixzFyFxF,3不不是是相相互互独独立立的的个个式式中中的的

18、iiizyxn它们满足它们满足k个由完好约束给出的方程个由完好约束给出的方程: 01niiiiiiizzfyyfxxfk, 2 , 17-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 inikiixxxfF11ikiiyyyfF101ikiizzzfF000., 2 , 1ni与与k个约束方程联立求解个约束方程联立求解, k个个与平衡位置坐标便与平衡位置坐标便可同时求出可同时求出. 称为不定乘子称为不定乘子, 又称拉格朗日乘子又称拉格朗日乘子. 这种方法称为不定乘子法这种方法称为不定乘子法. 将将k个完好约束都释放个完好约束都释放, 并将约束力都视为自动力并将约束力都视为自动力, 虚功原理成为虚功原理成为 01iRiziziRiyiyiniRixixzFFyFFxFF7-3 7-3 虚功原理微分方式的变分原理虚功原理微分方式的变分原理 3n个坐标变分变成完全独立的了, 所以 000RizizRiyiyRixixFFFFFFni, 2 , 1kiRizkiRiykiRixzfFyfFxfF111ni, 2 , 1000111kiizkiiykii