受迫振动中振幅和频率的讨论

1、关于受迫振动中振幅和频率的讨论现在学习的是第一页，共43页关于受迫振动的微分方程关于受迫振动的微分方程 振子的受力情况：振子的受力情况： 回复力、阻力、策动力回复力、阻力、策动力 回复力：回复力： 阻力：阻力：Fkx= -回复dxfdtm= -阻现在学习的是第二页，共43页策动力的讨论策动力的讨论 一般情况下策动力需要周期性变化，因此，我一般情况下策动力需要周期性变化，因此，我们可以用弦类函数去表示策动力们可以用弦类函数去表示策动力 同时策动力一般是有稳定的最大值同时策动力一般是有稳定的最大值 我们看到在受迫振动中，策动力成为振子运动我们看到在受迫振动中，策动力成为振子运动的主要因素。所以策动

2、力的方向应该与位移方的主要因素。所以策动力的方向应该与位移方向相同。向相同。12cossi nFFtFt=W+W策动现在学习的是第三页，共43页几处要点几处要点 使用余弦函数与正弦函数叠加，是为了使策动使用余弦函数与正弦函数叠加，是为了使策动力能取到不同的相位。力能取到不同的相位。 余弦函数与正弦函数周期相同，是为了使策动余弦函数与正弦函数周期相同，是为了使策动力的最大值在任意一个周期内都为一个定值。力的最大值在任意一个周期内都为一个定值。 在余弦函数与正弦函数周期一致的情况下，在余弦函数与正弦函数周期一致的情况下，策动力可以使用辅助角公式变为一个弦类策动力可以使用辅助角公式变为一个弦类函数。

3、函数。现在学习的是第四页，共43页微分方程微分方程2122cossi nd xdxmkxFtFtdtdtm= -+W+W2122cossi nFFd xdxkxttm dtmmmdtm+=W+W这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程现在学习的是第五页，共43页为了简化运算，我们做参数替换为了简化运算，我们做参数替换2mmg=令2kmw=1212,FFffmm=221222cossi nd xdxxftftdtdtgw+=W+W方程变为以下形式方程变为以下形式现在学习的是第六页，共43页对应的齐次方程为对应的齐次方程为22220d xdxxdtdtgw+=设方程

4、的一个解为：设方程的一个解为：txel=代入齐次方程代入齐次方程2220ttteeellllglw+=22(2)0tellglw+=现在学习的是第七页，共43页0telQ2220lglw+=221lggw= -得222lggw= -+-这就是这个二阶齐次线性常系数微分方程的特征这就是这个二阶齐次线性常系数微分方程的特征方程。我们用一元二次方程的求根公式求解方程方程。我们用一元二次方程的求根公式求解方程。现在学习的是第八页，共43页讨论根的情况讨论根的情况方程的两个特解为：22()1txeggw-=22()2txeggw-+-=但是，上述两个解都不含有任意常数，但是，上述两个解都不含有任意常数，

5、所以它们都不是方程的通解。所以它们都不是方程的通解。我们可以利用常数变易法去讨论我们可以利用常数变易法去讨论在上述方程的解中在上述方程的解中，1均为常数，但均为常数，但是前两者由方程给定，只有是前两者由方程给定，只有“1”是我们是我们的假设。的假设。现在学习的是第九页，共43页所以，我们可以把所以，我们可以把“1”，变为一个与自变量，变为一个与自变量t有关的变常数有关的变常数C(t).( ),txC tel=令并代入方程，得2222( )( )( )( )( )2 ( )( )0tttttttdC tdC te C teedtdtd C tdC tee C tedtdte C tlllllll

6、lllg lw+=现在学习的是第十页，共43页对方程进行整理，可以得到：对方程进行整理，可以得到：2222( )( )2()(2) ( )0td C tdC tedtdtC tlgllglw+=222lglw+这里出现了222= 0lglw+显然，22( )( )2()0td C tdC tedtdtlgl+=现在学习的是第十一页，共43页+0时，使用积分因子法对方程进行处理时，使用积分因子法对方程进行处理(2 ),telg+方程两边同时乘以得到22()2( )( )2()0td C tdC tedtdtglgl+=22()2()2( )( )2()0ttd C tdC teedtdtglgl

7、gl+=2()( )()0tdC tdedtdtgl+=现在学习的是第十二页，共43页两边积分，得到：两边积分，得到：2()1( )tdC teCdtgl+=再次积分，得到：再次积分，得到：2()1( )tdC tC edtgl-+=2()12( )2()tC eC tCglgl-+=+-+现在学习的是第十三页，共43页221lggw= -222lggw= -+-代入代入C(t),得：得：22211222( )2tC eCtCgwgw-=+-22212222( )2tC eCtCgwgw-=+-现在学习的是第十四页，共43页可以看到：可以看到：11222222CCgwgw-，也是任意常数111

8、12222,22CCCCgwgw=-令222112( )tCtC eCgw-=+222212( )tCtC eCgw-=+现在学习的是第十五页，共43页221lggw= -222lggw= -+-( )txC tel=代入，得22222()112()ttxC eCegwggw-=+2222()()112ttxC eC eggwggw-+-=+22222()212()ttxC eCegwggw-+-=+2222()()212ttxC eC eggwggw-+-=+现在学习的是第十六页，共43页可以看到，两者是等价的可以看到，两者是等价的因此，解可以合并为：因此，解可以合并为：2222()()12

9、ttxC eC eggwggw-+-=+12CC其中，为任意常数，在动力学之中,两个常数与运动有关。同时，同时，与与的大小关系也会对方程的形式的大小关系也会对方程的形式产生影响产生影响现在学习的是第十七页，共43页1212,l lll那么均为实数，且2222()()12ttxC eC eggwggw-+-=+通解为12,CC为两个与振子运动有关的常数22()gw如果过度衰减12,CC至于究竟等于什么，我们会在求解非齐次方程之后说明现在学习的是第十八页，共43页22gw如果（阻尼振动）12,l l那么均为复数，221ilgwg= -222ilgwg= -+-2222()()12ttxC eC e

10、ggwggw-+-=+2222()()12i ti txC eC egwggwg-+-=+现在学习的是第十九页，共43页经过整理，可得：经过整理，可得：222212()itittxeC eC ewgwgg-=+cossi nieibbb=有欧拉公式2222122222 (cossi n)(cossi n)txeCtitCtitgwgwgwgwg-=-+-+-22122221 ()cos()si ntxeCCtiCCtgwgwg-=+-+-现在学习的是第二十页，共43页12CC其中，为任意常数，在动力学之中,两个常数与运动有关。221222(cossi n)txeCtCtgwgwg-=-+-11

11、2221+,()CCCCiCC=-令现在学习的是第二十一页，共43页22=()gw如果临界衰减12llg= -那么2222( )( )2()(2) ( )0td C tdC tedtdtC tlgllglw+=方程22( )0d C tdt=变为现在学习的是第二十二页，共43页进行两次积分，得到：进行两次积分，得到：12( )C tC xC=+12CC其中，为任意常数，在动力学之中,两个常数与运动有关。12()=()ttxC teeC xClg-=+以上为齐次方程的通解情况以上为齐次方程的通解情况现在学习的是第二十三页，共43页接下来我们求非齐次方程的特解：接下来我们求非齐次方程的特解：221

12、222cossi nd xdxxftftdtdtgw+=W+Wcossi nieibbb=有欧拉公式cos2iieebbb-+=可以得到si n2iieeibbb-=现在学习的是第二十四页，共43页222122()()22i ti ti ti td xdxxdtdtffeeeeigwW- WW- W+=+-根据解的叠加原理，待求的非齐次方程的根据解的叠加原理，待求的非齐次方程的通解，为下列两个非齐次方程的通解之和通解，为下列两个非齐次方程的通解之和。现在学习的是第二十五页，共43页221222()22i tffd xdxxedtidtgwW+=+221222()22i tffd xdxxedt

13、idtgw- W+=-利用待定系数法求解两个微分方程利用待定系数法求解两个微分方程现在学习的是第二十六页，共43页221222()22i tffd xdxxedtidtgwW+=+1( )i tmxPteW=设方程的特解为( )mPttm是一个关于 的次多项式1( )i tmxPteW=代入原方程，得到：现在学习的是第二十七页，共43页222212( )( )( )( )+ 2 ( )( )()22i ti ti tmmi ti ti tmmmi ti tmdPtdPtei ei edtdtd PtdPtei ePtedtdtffePteigwWWWWWWWW- W+ W+ W+W+=+222

14、212( )( )2()(2)( )()22i tmmi tmd PtdPteidtdtffiPteiggwWW+ W+ - W+W +=+现在学习的是第二十八页，共43页显然我们可以看到：显然我们可以看到：22020iiggw+ W - W+W +且0m=得到11( )mPtabi=+22( )( )0,0mmd PtdPtdtdt=221211(2)()=22ffiabiigw -W+W +现在学习的是第二十九页，共43页2222111121 ()2 ()2=22abbffa iiwgwg- W-W+- W+W-221222()22i tffd xdxxedtidtgw- W+=-同理，我

15、们对方程：同理，我们对方程：现在学习的是第三十页，共43页2( )i tnxPte- W=设方程的特解为( )nPttn是一个关于 的 次多项式2( )i tnxPte- W=代入原方程，得到：222212( )( )( )( )+ 2 ( )( )()22i ti ti tnni ti ti tnnni ti tndPtdPtei ei edtdtd PtdPtei ePtedtdtffePteigw- W- W- W- W- W- W- W- W- W- W- W+- W+=-现在学习的是第三十一页，共43页222212( )( )2()(2)( )()22i tnni tnd PtdPt

16、eidtdtffiPteiggw- W- W+- W+ - W-W +=+22020iiggw- W - W -W +且0n=得到22( )nPtab i=+22( )( )0,0nnd PtdPtdtdt=现在学习的是第三十二页，共43页221222(2)()=22ffiab iigw -W -W +-2222222122 ()2 ()2=22abbffa iiwgwg- W+W+- W-W+两个复数相等的条件是它们的实部和两个复数相等的条件是它们的实部和虚部分别相等虚部分别相等现在学习的是第三十三页，共43页得到方程组：得到方程组：22111()2=2fabwg- W-W22211()2=

17、2fbawg- W+W-22122()2=2fabwg- W+W22222()2=2fbawg- W-W现在学习的是第三十四页，共43页2212122 22()2=2 ()(2) ffawgwg- W-W- W+W2212122 222()=2 ()(2) ffbgwwgW+- W- W+W2212222 22()2=2 ()(2) ffawgwg- W-W- W+W2212222 222()=2 ()(2) ffbgwwgW+- W- W+W现在学习的是第三十五页，共43页2212121222 22()2+=,0()(2)ffaaaawgwg- W-W-=- W+W2212211222 22

18、2()=,0()(2)ffbbbbgwwgW+- W-+=- W+W现在学习的是第三十六页，共43页12xxx=+%1122()()i ti txeabieab iW- W=+%1122(cossi n)()(cossi n)()xtit abitit ab i=W+W+W-W+%12211212()cos()si n ()si n()cosxaatbbti aatbbt=+W+-W+-W+W%现在学习的是第三十七页，共43页221222 22221222 22()2cos()(2)2()si n()(2)ffxtfftwgwggwwg- W-W=W- W+WW+- W+W- W+W%这就是非齐次方程的特解。这就是非齐次方程的特解。现在学习的是第三十八页，共43页2222()()12ttxC eC eggwggw-+-=+三种通解：12()txeC xCg-=+2212