随机事件与样本空间课件

1、 大学数学大学数学 概率论与数理统计概率论与数理统计授课教师：彭秀平授课教师：彭秀平 平时成绩计算方法：平时成绩计算方法：【100-100（缺课加缺作业次数）（缺课加缺作业次数）/本课程总本课程总上课次数加总作业次数上课次数加总作业次数】 30% 注：注：1.作业采用每次抽查作业采用每次抽查1/3的方式确定，缺课次的方式确定，缺课次数采取上课时签到或者点名的方式确定。数采取上课时签到或者点名的方式确定。2.因病（以医院证明为准）或因公（以学校因病（以医院证明为准）或因公（以学校有关部门证明为准）缺作业或缺课不扣平时有关部门证明为准）缺作业或缺课不扣平时成绩成绩. 第 1 章 随随 机机 事事

2、件件 及及 其其 概概 率率一、一、 随机现象随机现象 二、二、 随机试验随机试验 1.1 1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间五、小结五、小结三、样本空间三、样本空间 样本点样本点四、随机事件的概念四、随机事件的概念在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳从东方升起太阳从东方升起”,1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象 预备知识：预备知识：随机现象随机现象 在一定条件下可能出现

3、也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”. 实例实例2 “用

4、同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果: “弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.实例实例4 “从一批含有正从一批含有正品和次品的产品中任意抽品和次品的产品中任意抽取一个产品取一个产品”.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 “过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯”.实例实例6 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命” 可长可可长可短短.2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性, 但在大量重复

5、试验或观察中但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现这种结果的出现具有一定的具有一定的统计规律性统计规律性 , 概率论就是研究随机现概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述. 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可

6、能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.1.1.1 随机试验随机试验说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的 “调查调查”、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币

7、抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;1.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.2.“从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面，反面反面;(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机

8、试验故为随机试验.3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人车人 数数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. 1.1.2 1.1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件定义定义1.11.1 对于随机试验对于随机试验E E，它的每一个可它的每一个可能结果称为能结果称为样本点样本点，由一个样本点组成的，由一个样本点组成的单点集称为单点集称为基本事件基本事件。所有样本点构成的。所有样本点构成的集合称为集合称为E E 的的样本空间或必然事件样本空间或必然事件，用 或S

9、 S表示表示我们规定不含任何元素的空集为不可能事件我们规定不含任何元素的空集为不可能事件，用用 表示。表示。随机事件：随机事件： 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S的子集的子集(或某些样本点的集合），称为或某些样本点的集合），称为 E 的随机事件的随机事件, 简称事件简称事件.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出出现现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 写出掷骰子试验的样本点写出掷骰子试验的样本点, , 样本空间样本

10、空间, , 基本事件基本事件, , 事件事件AA出现偶数出现偶数, , 事件事件BB出现奇数出现奇数 i; 6, 1,ii,654321 S解：解：用用 表示掷骰子出现的点数为表示掷骰子出现的点数为 基本事件基本事件 ; 6 , 2 , 1, iAii ;,642 A.,531 B例例1 1事件是样本点的集合，所以时间的关系和运算，事件是样本点的集合，所以时间的关系和运算，本质上与集合的关系与运算基本类似。本质上与集合的关系与运算基本类似。1.1.3 1.1.3 事件的关系与运算事件的关系与运算1. 事件的包含与相等事件的包含与相等发生。发生。将导致将导致发生必发生必，事件，事件事件事件包含包

11、含，则称事件，则称事件若若BAABBA ABS相相等等。与与事事件件，则则称称事事件件，即即且且若若BABAABBA2. 事件的和事件的和 (或并或并)“事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生”这一事件称为这一事件称为A与与B的的和（或并）事件，记为和（或并）事件，记为.BxAxxBA或或.发发生生发发生生或或者者至至少少一一个个发发生生与与发发生生事事件件BABABA注：注：ABS1211,109119 , 7538，则则”，示示“点点数数之之和和大大于于表表“点点数数之之和和为为奇奇数数”，表表示示观观察察点点数数之之和和”， BABA为“投掷两个骰子，为“投掷两个骰子，例：设例：设

12、E.1211109753， BA的的，为为可可列列个个事事件件和和事事件件；而而称称nkkAAAA211的的，个个事事件件称称为为nnkknAAAnAAAA21121 和事件。和事件。1211,109119 , 753，例例，在在上上例例中中， BA.11, 9 BA则则3. 事件的积事件的积 (或交或交)“事件事件A与与B同时发生同时发生”这一事件称为这一事件称为A与与B的积的积（或交）事件，记为（或交）事件，记为.BxAxxBA且且的的，个事件个事件称为称为nnkknAAAnAAAA21121的的，为为可可列列个个事事件件积积事事件件；而而称称nkkAAAA211积事件。积事件。.发生发生

13、发生且发生且同时发生同时发生与与发生发生事件事件BABABAABS4. 事件的差事件的差“事件事件A发生，而发生，而B不发生不发生”这一事件称为这一事件称为A与与B的的差事件，记为差事件，记为.BxAxxBA且且.不不发发生生发发生生但但发发生生事事件件BABAABS1211,109119 , 753，例例，在在上上例例中中， BA.,753BA则则5. 事件的互不相容（互斥）事件的互不相容（互斥），若若 BA即事件即事件A与与B不能同时发生，则称不能同时发生，则称A与与B是互不相容的，或互斥的。（如下图）是互不相容的，或互斥的。（如下图）ABS例：例：在投掷骰子的试验中，在投掷骰子的试验中，

14、若若A表示表示“得得1或或2”，B表表示示“得得5或或6”，则，则A与与B为为互斥事件。互斥事件。在同一试验中，基本事件在同一试验中，基本事件是两两互不相容的。是两两互不相容的。6. 对立（或逆）事件对立（或逆）事件事件（或逆事件）。事件（或逆事件）。为对立为对立与与，则称事件，则称事件且且若若BABASBA 个个发发生生。有有一一个个发发生生，且且仅仅有有一一为为对对立立事事件件，则则其其中中必必与与在在一一次次试试验验中中，若若BA。的的对对立立事事件件记记为为事事件件AAASA例：例：在投掷骰子的试验中，若在投掷骰子的试验中，若A表示表示“得得1，2”，B表示表示“得得3，4，5或或6”

15、，则，则A与与B为为对立事件。对立事件。注意注意“互斥互斥”与与“对立对立”的联系与区别：的联系与区别： BASBABA对对立立事事件件与与 BABA为为互互斥斥事事件件与与。即即AB 事件运算符合集合运算的规律：事件运算符合集合运算的规律：；， AASAA；，ASASSA；，AAAAAA均均为为事事件件，则则、设设CBAABBAABBA，交换律交换律)()()()(CBACBACBACBA，结合律结合律)()()()()()(CBCACBACBCACBA，分配律分配律ABAAABAA)()(，吸收律吸收律BABABABA_，对偶律对偶律对偶律的推广：对偶律的推广：nkknkknkknkkAA

16、AA1111_,.,1_11_1kkkkkkkkAAAABABA差与积运算的关系差与积运算的关系例例1.1（P5）例例1.2设设A，B，C为为3个事件，试用个事件，试用A，B，C表示表示下列各事件：下列各事件：个个事事件件都都发发生生”；表表示示“311A)(不不发发生生”；，发发生生，但但表表示示“CBAA22)(”；个个事事件件中中恰恰有有一一个个发发生生表表示示“333A)(生生”；个个事事件件中中至至少少有有两两个个发发表表示示“ 344A)(生生”；个个事事件件中中至至多多有有一一个个发发表表示示“355A)(解解;)(CBAA11CBAA22)()(CBA;CBA;)(CBACBA

17、CBAA33;)(ABCBCACBACABA44;)(CBACBACBACBAA55问：问：A6为为“A，B，C至少一个发生至少一个发生”， A6 =？;CBAA6答答：例例1.3设设A，B，C，D依次表示开关依次表示开关a, b, c, d闭合的事件，闭合的事件，E表示灯亮。试用表示灯亮。试用A，B，C，D表示表示E。abcd解解因为当因为当a, b同时闭合，或者当同时闭合，或者当c, d至少一个闭合至少一个闭合时，电路被接通，灯就会亮，所以时，电路被接通，灯就会亮，所以.)(DCBAE 小结小结随机现象的特征随机现象的特征:1条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2. 随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的. (1) 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;(2) 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, 并且能事并且能事 先明确试验的所有