第三章量子力学初步

1、第三章 量子力学引论波粒二象性不确定关系量子态Schrdinger方程氢原子的量子力学解3.1 量子论的实验依据 经典物理无法解释的实验现象 一、黑体辐射的规律、以太 二、光电效应寻找以太的寻找以太的零结果零结果热辐射的热辐射的紫外灾难紫外灾难物理世界上空的两朵乌云物理世界上空的两朵乌云Lord KelvinLord Kelvin（William ThomsonWilliam Thomson，1824182419071907）历史回顾 十九世纪末期，物理学各个分支的发展都已日臻完善，并不断取得新的成就。 首先在牛顿力学基础上，哈密顿和拉格朗日等人建立起来的分析力学，几乎达到无懈可击的地步，海王

2、星的发现充分表明了牛顿力学是完美无缺的。 其次，通过克劳修斯、玻耳兹曼和吉布斯等人的巨大努力，建立了体系完整而又严密的热力学和统计力学，并且应用越来越广泛。 由安培、法拉第和麦克斯韦等人对电磁现象进行的深入而系统的研究，为电动力学奠定了坚实的基础，特别是由麦克斯韦的电磁场方程组预言了电磁波的存在，随即被赫兹的实验所证实。 后来又把惠更斯和菲涅耳所建立的光学也纳入了电动力学的范畴。开尔文的演讲 Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light （1900） The beauty and clearness

3、of the dynamical theory, which asserts heat and light to be modes of motion, is at present obscured by two clouds. Lord Kelvin The first came into existence with the undulatory theory of light, and was dealt with by Fresnel and Dr. Thomas Young; it involved the question, how could the earth move thr

4、ough an elastic solid, such as essentially is the luminiferous ether? MichelsonMorley The second is the MaxwellBoltzmann doctrine regarding the partition of energy. MaxwellBoltzmann3.1 量子论的实验依据 3.1.1 黑体辐射 1辐射场及其物理参数 2热辐射 3黑体辐射的实验规律热辐射 物体的温度与环境温度有差异时，两者之间将有能量交换，热辐射是能量交换的一种方式。 物体以电磁波的形式向外辐射能量，或吸收辐照到其表

5、面的能量 分子(含有带电粒子)的热运动使物体辐射电磁波。这种辐射与温度有关，称为热辐射。 辐射的电磁波形成一个波场，即辐射场。 辐射场与波长（频率）、温度、方向等有关。 辐射场的物理参数：温度T，波长或频率，辐射场的能量密度，辐射场的谱密度 u（ T ， ），辐射通量，辐射通量的谱密度，辐射照度，辐射照度的谱密度，等辐射场d( , )( , )dTET),(TE辐射谱密度、辐射本领：温度为辐射谱密度、辐射本领：温度为T 时，频率时，频率附近单位频率间隔内的辐射能量，亦称单附近单位频率间隔内的辐射能量，亦称单色辐出度。色辐出度。 辐射通量：温度为辐射通量：温度为T时，频率时，频率附近附近d频率间

6、频率间隔内的辐射能量。隔内的辐射能量。 吸收本领、吸收比：照射到物体上的通量吸收本领、吸收比：照射到物体上的通量 d( , )Td( , )Td( , )( , )d ( , )TATT称为吸收本领或吸收比 其中被物体吸收的通量 物体间的热交换 与外界隔绝的几个物体，起初温度各不相同 假设相互间只能以热辐射的形式交换能量 每一个物体向外辐射能量，也吸收其它物体辐射到其表面的能量 温度低的，辐射小，吸收大；温度高的，辐射大，吸收小 经过一个过程后，所有物体的温度相同，达到热平衡 热平衡时，每一个物体辐射的能量等于其吸收的能量 热平衡状态下，吸收本领大，辐射本领也大 基尔霍夫热辐射定律：热平衡状态

7、下物体的辐射本领与吸收本领成正比，比值只与T，有关。 ),(),(),(TfTATE),(Tf是普适函数，与物质无关 吸收大，辐射也大。 应当通过实验测量),(Tf必须同时测量),(),(TATE和如果让1),(TA则),(),(TETf的物体，称为绝对黑体1),(TA绝对黑体 一个开有小孔的空腔，对射入其中的光几乎可以全部吸收 等效于绝对黑体 即可以得到( , )( , )fTET( , )ET测量空腔开口处的辐射本领光谱仪02004006008001000 1200 1400 1600 1800 20000200040006000800010000E(,T), mW/cm2nm, nm60

8、00K5500K5000K4000K3000K测量黑体辐射的实验装置实验测量的结果02004006008001000 1200 1400 1600 1800 20000200040006000800010000E(,T), mW/cm2nm, nm6000K5500K5000K4000K3000K以频率分布表示的黑体辐射定律0.00E+0005.00E+0141.00E+0151.50E+0152.00E+0150.00E+0002.00E-0094.00E-0096.00E-0098.00E-0091.00E-0081.20E-0081.40E-008E(,T), mW/cm2s, Hz60

9、00K5000K4000K3000K黑体辐射的定律 1、Stefan-Boltzmann定律（1879年、1884年） 2、Wien位移定律（1893年） 3、Rayleigh-Jeans定律（1900年，1905年）StefanJeansWienRayleigh0200400600800 1000 1200 1400 1600 1800 20000200040006000800010000E(,T), mW/cm2nm, nm6000K5500K5000K4000K3000K1、Stefan-Boltzmann定律辐射的总能量，即曲线下的面积与T4成正比40( )( , )dTETT1824

10、5.67032 10W/m KStefan-Boltzmann常数 2、Wien位移定律 曲线的极大值满足 bTm/mTb用于测量温度32.8978 10 mKb02004006008001000 1200 1400 1600 1800 20000200040006000800010000E(,T), mW/cm2nm, nm6000K5500K5000K4000K3000K3、Rayleigh-Jeans定律（1900年，1905年） 绝对黑体空腔内的光以驻波的形式存在 驻波的边界条件0)sin(xxLkxxxLnk/yyyLnk/zzzLnk/)()()(22222222zzyyxxzyx

11、LnLnLnkkkk亦有xLzLyLynznxn每一个，可以有一系列（nx,ny,nz）的取值，代表不同的驻波模式上式可以看作是以n的三个分量nx，ny，nz为直角坐标轴的椭球面222)/()/()/(1cLncLncLnzzyyxx驻波的数目)()()(22222222zzyyxxzyxLnLnLnkkkk22kcc 0 的驻波模式（nx, ny, nz）是第一象限球面内的所有整数点，这些点是其中所有单位体积方格的顶点，顶点数等于其中的单位体积的方格数 圆频率小于的总的模式数为椭球的体积VccLcLcLzyx323613481xnynznxyzVL L L空腔的体积42( , )cETkT2

12、38ddc c41( , )ETkT 而从小孔辐射出的驻波数为 辐射出的能量，即辐射本领为222kTcw单位体积内、频率在+d的驻波数为以波长表示为VcVcn333233831w由于每一驻波有两个自由度23d8dnc即每一个驻波的能量为kT0 的驻波模式数2( )( )d( )ddcc 050001000015000200000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.012E(,T), mJ/cm3nm, nm1000KWeinRayleigh-JeansExp. Data理论与实验紫外灾难与系统误差 短波段，瑞利金斯公式严重偏离实验结果 看起来维恩的结果与实验偏差不大，

13、但这是一种系统偏差，所拟合出的公式完全不同3.1.2 光量子假说 1. 普朗克对黑体辐射的解释 1900年提出，1918年获Nobel奖 空腔中的驻波是一系列的谐振子，只能取一些分立的能量，即00004 ,3 ,2 , 0h0Jsh341063. 60enkTw则一个谐振子处于能态En=n0的几率为002030w一个谐振子的平均能量为000e/ennkTkTnnn000eenkTnnkTnn000eennnnn e1hkThkT黑体的辐射本领为黑体的辐射本领为 222ce1hkTh322e1hkThc00lnenn 01ln1 e 1kT000e1 e 00ee 00e1 ( , )ET长波段

14、长波段 hkT1111e1hkThkTkTh222( , )ETkTc与与Rayleigh-Jeans定律符合定律符合 短波段短波段 1ee1ehkThhkTkT与实验结果一致与实验结果一致 322( , )e1hkThETchkT232222( , )ee1hkThkTEThhcc2. 爱因斯坦光量子与光的波粒二象性 一. 光电效应 在光的照射下，材料的电性质发生变化 1839年，Alexandre Edmond Becquerel注意到在导电液体中的电极，受到光的照射，会产生电流 1873年，英国的电力工程师Willoughby Smith（18281891）也发现硒在光照下会成为电的导体

15、。 现代意义上的光电效应是赫兹在1887年进行电磁波实验过程中发现的。赫兹对光电效应的观察 一对电火花隙放在一个带有玻璃观察窗的暗盒中 放电时，两极间火花的长度变短了，将玻璃板移开之后，电极间的火花又变长了。用石英代替普通玻璃板后，火花的长度则没有缩短。 赫兹认为，紫外辐射会导致电荷在电火花隙间跳跃，即会导致电荷产生光电效应的实验研究装置 二爱因斯坦对光电效应的解释 1905年,爱因斯坦用光量子假设进行了解释 （1）电磁辐射由以光速c 运动的局限于空间某一小范围的光量子（光子）组成，每一个光量子的能量 与辐射频率 的关系为 = h（其中h 是普朗克常数）。 （2）光量子具有“整体性”，一个光子

16、只能整个地被电子吸收或放出。Albert Einstein18791955 1905年用光量子假说解释光电效应普朗克授予爱因斯坦“马克斯-普朗克奖章”，1929年6月28日，柏林 Compton散射（1921年） 散射光中，一部分波长不变，是相干散射；另一部分波长变长，是非相干散射 在不同的角度上，非相干散射的波长改变不同 在同一角度上，不同的元素非相干散射所占的比例不同 上述实验现象称作康普顿效应Arthur Holly Compton189219621921年在实验中证明了X射线的粒子性3. 康普顿效应不同角度的散射不同角度的散射不同元素的散射不同元素的散射相干散射相干散射非相干散射非相干

17、散射chpchpvmp222( v)()()2coshhhhmcccc 202cmhhmc220hm chmcmppvwX射线光子在与电子的碰撞过程中，射线光子在与电子的碰撞过程中，动量和能量是守恒的，弹性散射动量和能量是守恒的，弹性散射22222222v2cosm chhh)(22204202222242hcmcmhhhcm2242v1mcc2422002(1 cos )2()m chm hc202v/ 1mmc202v1mmc240m c2422002(1 cos )2()m chm hc22002(1 cos )2()hm hc 20(1 cos )()hm c0(1 cos )hccm

18、 c0(1 cos )hm c(1 cos )CA0242621. 00cmhCCompton波长，对应于静止电子的波长3.1.3 粒子的波动性 一. de Broglie物质波 1924年，de Broglie将Einstein的光量子概念推广，提出了物质波的概念 所有的波都具有粒子性 所有的粒子都具有波动性 =h /p p=mv/(1-v2/c2)1/2 不能将物质的运动和波的传播分开。Prince Louis-victor de Broglie1892-1987 二. 电子的波动性 1. DavisonGermer实验（1927）电子从晶体表面的反射，呈现波动的衍射特征Clinton J

19、oseph Davisson18811958 Lester Halbert Germer18961971 2.Thomson实验（1927）电子透过晶体薄膜的透射现象 G. P. ThomsonX-Ray在铝箔上的衍射在铝箔上的衍射电子在铝箔上的衍射电子在铝箔上的衍射3.电子的干涉 1950s，德国Tbingen大学的Gottfried Mllenstedt等利用 “电子双棱镜”首先观察到了电子的干涉 约恩逊(Claus Jnsson)实验（1961年） 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验oA05.0kV50m1m3.0Vda基本数据基本数据分子的衍射 3

20、.2 物质的波粒二象性物质的波粒二象性 一、光的波粒二象性一、光的波粒二象性 光子能量：光子能量： = h 光子质量：光子质量：m=h /c2 光子动量：光子动量：p=E/c=h /c=h / 粒子性粒子性 ：一个光子是一个不可：一个光子是一个不可分割的主体分割的主体 波动性：波动性： 具有波的特征，具有波的特征， =h /p 光同时具有波动性和粒子性光同时具有波动性和粒子性 宏观粒子的波动性 如果波长太大，在有限的空间尺度内无法测量物理量的周期性变化 如果波长太小，用现有仪器无法分辨物理量的周期性变化6612v(1 10 kg)(1 10 m/s)1 10Js/mpm 341222/6.63

21、 10Js/(1 10Js/m)10mh p宏观微粒二、量子态波粒二象性的必然结果 1、轨道角动量的量子化 电子可以在其轨道上稳定地存在，而不湮灭或消失，则必须以驻波的形式存在 否则，会由于波的相干叠加而消失 形成驻波的条件：轨道周长是电子波长的整数倍 2r =n =n (h/p)=nh /(m v) m vr = nh /2 角动量P =mvr =nh/2 Bohr模型的第三个假设2、刚性匣子中的粒子 粒子被限制在刚性匣子中运动，不能穿透出来 粒子在其中以驻波的形式存在 匣子壁是驻波的波节 匣子的长度是半波长的整数倍2Lnhp2nhpL222228kpn hEmmL束缚粒子的能量是量子化的如

22、果将匣子等效为核的库仑势场 其中的粒子就是核外电子 电子沿轨道运动一周后回到起点 轨道的周长为匣子长度的2倍22rLLr222222288kn hn hEmLmr204peEr 22222084kpn heEEEmrr能量的最小值d0dEr22223202084n hemrr221min120()44ehram222min2201()13.6eV2 4emcEc 2L2r波粒二象性是量子力学的基础波粒二象性是量子力学的基础波粒二象性是量子力学的基础 波粒二象性是建立在物理实验、特别是光学实验的基础之上的 从波粒二象性出发，可以自然得到物质的量子态 不确定关系、态叠加原理、 Schrdinger

23、方程， 光学是经典物理学向近代物理学（Modern Physics，包括量子论和相对论）过渡和发展的纽带和桥梁3.3 不确定关系 经典粒子：可以同时有确定的位置、速度、动量、能量 经典波：有确定的波长，但总是在空间扩展，没有确定的位置 波粒二象性：不可能同时具有确定的位置和动量。Werner Karl Heisenberg19011976 1925年建立了量子理论第一个数学描述矩阵力学1927年阐述了著名的不确定关系 一、几个典型的例子 1、自由粒子、自由粒子 运动状况不受限制的粒子运动状况不受限制的粒子 可以在空间任意位置出现，即位置是完全无可以在空间任意位置出现，即位置是完全无法确定的法确

24、定的 速度不变，即动量不变，是一个完全确定的速度不变，即动量不变，是一个完全确定的值值 =h /p，波长是完全确定的，即单色波，波长是完全确定的，即单色波 单色波是一个在空间无限长的波列单色波是一个在空间无限长的波列 动量完全确定，则位置完全不确定动量完全确定，则位置完全不确定 2、波包、波包 是非单色波的叠加是非单色波的叠加 在空间是有限长的波列在空间是有限长的波列L2/ 将其视为粒子，该粒子在空间可能出现的区将其视为粒子，该粒子在空间可能出现的区域，即位置的不确定范围域，即位置的不确定范围x=L 动量的不确定范围动量的不确定范围2( / )/phh x p x ph 22h hL=x=2/

25、 3、光的时间相干性，即波包的时间相干性 时刻t，中心频率为 的波包在空间某一点 中心频率对应的能量 E=h =hc/ 波包能量的不确定度为E =hc / 2 波包传播过空间一点的时间为t 2 /(c) 即：粒子的能量在E E /2范围内，且处于该状态的时间为t22hcE thc E th L=x=2/L=x=2/ 4、单缝衍射 衍射后的粒子至少要散布到中央主极大的范围中 /a 粒子通过狭缝才能发生衍射，能通过狭缝的粒子，其空间位置的分布范围，即位置的不确定度x=a 动量的不确定范围xzpxpxxzhhppbxxx ph 二、不确定关系的严格表述 空间位置与动量的不确定关系2xpx2ypy2z

26、pz2tE 能量与时间的不确定关系三、不确定关系的物理含义 1、物质不可能同时具有确定的空、物质不可能同时具有确定的空间位置和动量间位置和动量 位置完全确定的粒子，对应于一个位置完全确定的粒子，对应于一个无限窄的波包无限窄的波包 无限窄的波包是含有各种波长成分无限窄的波包是含有各种波长成分的单色波的叠加，其动量是完全不的单色波的叠加，其动量是完全不确定的确定的 动量完全确定的粒子，对应于动量完全确定，即波长完全确定的单色波 而该单色波在空间的波列无限长，等效为粒子，该粒子在空间位置是完全不确定的 一般的粒子，对应于普通的波包 是有限长的非单色波列 同时有动量的不确定度，以及空间位置的不确定度L

27、=x=2/2、能级的自然宽度 E：粒子在某一状态能量的不确定度：粒子在某一状态能量的不确定度 t ：在这一时间内，粒子的能量不为零，：在这一时间内，粒子的能量不为零，粒子处于这一状态的时间，即该状态的寿粒子处于这一状态的时间，即该状态的寿命命 粒子在某一状态的能量与粒子在该状态的粒子在某一状态的能量与粒子在该状态的寿命是无法同时确定的寿命是无法同时确定的 跃迁是没有中间过程的跃迁是没有中间过程的 原子激发态能级总是有一定分布宽度的原子激发态能级总是有一定分布宽度的 辐射跃迁发出的光波不可能是严格的单色辐射跃迁发出的光波不可能是严格的单色波波E 0t 1E2E2E1E跃迁过程能级和谱线的自然宽度

28、3、束缚粒子的最小平均动能 粒子被限制在粒子被限制在x范围内运动范围内运动2xpx0 xp 22()xxxxpppp22xxpp222xpx2222112228kxEpmmxm x22min8kEm x核外电子rx 222min8kEmr电子不能落入核内三维运动22min38kEm Lx平均动量不确定关系是波粒二象性的必然结果不确定关系是波粒二象性的必然结果 About Heisenbergs uncertainty principle Einstein made the remark God does not play dice. Bohr repliedEinstein, stop tel

29、ling God what to do. -The 1927 Solvay Conference, BelgiumFirst conference participants, 1911, Institut International de Physique Solvay Seated (L-R): W. Nernst, M. Brillouin, E. Solvay, H. Lorentz, E. Warburg, J. Perrin, W. Wien, M. Curie, and H. PoincarStanding (L-R): R. Goldschmidt, M. Planck, H.

30、Rubens, A. Sommerfeld, F. Lindemann, M. de Broglie, M. Knudsen, F. Hasenhrl, G. Hostelet, E. Herzen, J.H. Jeans, E. Rutherford, H. Kamerlingh Onnes, A. Einstein, and P. Langevin A. Piccard, E. Henriot, P. Ehrenfest, Ed. Herzen, Th. De Donder, E. Schrdinger, E. Verschaffelt, W. Pauli, W. Heisenberg,

31、R.H. Fowler, L. BrillouinP. Debye, M. Knudsen, W.L. Bragg, H.A. Kramers, P.A.M. Dirac, A.H. Compton, L. de Broglie, M. Born, N. BohrI. Langmuir, M. Planck, Mme. Curie, H.A. Lorentz, A. Einstein, P. Langevin, Ch. E. Guye, C.T.R. Wilson, O.W. Richardson Fifth conference participants, 1927, Institut In

32、ternational de Physique Solvay 3.4 波函数与Schrdinger方程 一、波粒二象性的物理本质一、波粒二象性的物理本质 1、不能理解为经典意义下的波或粒子、不能理解为经典意义下的波或粒子 经典波：物理量在空间的周期性分布经典波：物理量在空间的周期性分布 经典粒子：具有确定位置、轨迹、速度的经典粒子：具有确定位置、轨迹、速度的实物实物 2、应当理解为：、应当理解为： 粒子性：本身所具有的颗粒性质，或作为粒子性：本身所具有的颗粒性质，或作为一个整体的不可分割性一个整体的不可分割性 波动性：物理量、或状态是可以线性叠加波动性：物理量、或状态是可以线性叠加的的 可以通

33、过具体的实例理解波粒二象性可以通过具体的实例理解波粒二象性二、双缝干涉实验 干涉的结果，使有些地方强度增强，有些地方强度减弱 强度等于光子数、电子数 干涉相长：I=I0+I02I0=4I0，两个光子（或电子）干涉后，变为4个光子（或电子） 干涉相消：I=I0+I02I0=0，两个光子（或电子）干涉后，光子或电子消失了，湮灭了 这是说不通的！ 如果让入射电子数减弱，每次仅有一个电子射出，经过一段时间后，仍能得到稳定的双缝干涉花样。 而此时电子之间没有干涉 所以干涉不是两个电子间相互作用的结果 而是大量电子本身所具有的在空间分布的特性，这种特性是由电子与双缝所决定的 这种分布特性可以用几率描述 电

34、子或光子出现几率大的地方，强度较强；电子或光子出现几率小的地方，强度较弱电子的双缝干涉实验 上述说法是根据光的干涉实验推论到电子的干涉得到的 Richard Phillips Feynman：“你最好不要试着去做这样一个实验，这个实验从未以这种方式做过。” 1970s，意大利博洛尼亚大学，Pier Giorgio Merli等人已经做了这样的实验 1989年，日立公司的Akira Tonomura等人作了更精确的实验 实际测量证明每秒钟只有少于1000个电子入射到双棱镜中，所以不可能有两个或两个以上的电子同时到达接收装置上 因而不存在干涉是两个电子相互作用的结果 三、波函数的统计解释 Born

35、的统计解释 微观体系的波粒二象性，可以用统计的观点理解 用波的表达式描述粒子的行为 波的强度或振幅，反映的是粒子在时刻t、空间点P处出现、或被发现的几率或几率幅 振幅就是几率波幅 这就是波动性的物理含义 则经典意义下的描述波动的函数或复振幅就成了量子意义下描述粒子分布几率的函数-波函数Max Born，1882-1970 Erwin Schrodinger18871961 1926年提出了描述物质波连续时空演化的偏微分方程薛定愕方程，给出了量子论的另一个数学描述波动力学。 对波函数的要求 粒子不能湮灭，即总能在空间某处发现该粒子()0( , )eitt k xx23( , ) d1Vtxx 波

36、函数的归一化条件23( , ) dVtxAx23( , )d1VtxAxA1归一化因子有些波函数不能归一化几率是相对的，都乘以一个因子后，没有变化四、 Schrdinger方程 Schrdinger方程是量子力学的最基本方程 不是经过严格的推导而获得的 是用试探方法找到的 或者说是“猜”到的 自由粒子，或者单色平面波的波函数()()/00( , )eeitiEtt k xp xx(,)xyzxyzxeee(,)xxyyzzkkkkeee(,)xxyyzzppppeee位矢波矢动量()()/00( , )itiEttee k xp xx22hhpk 22hEh ( , ) titx( , ) t

37、ixx()iixx2222( , )( , )xtptxxx()0iteit k x( , ) t x( , )Etx()0iteix k x( , )xkt x( , )xptx( , )xtipx x2( , )xptx2222( , )( , )ytptyxx2222222 ( , ) txyzx222( , )( , )22pttmmxx22( , )( , )2tittm xx( , )( , )tiEttxx2222( , )( , )ztptzxx222 ( , )xyzppptx( , )kEtx自由粒子的Schrdinger方程( , )kEtx自由粒子kEE22( , )(

38、 , )2tittm xxkpEEE( , ) titxEiti p对于处于势场中的粒子，除了动能，还有势能22( , )2Vtm xHamilton算符Hamilton量自由粒子2( , )2pVtmx22( , ) ( , )2Vttm xx力学量算符222kEm ( , )( ) ( )tf txx22d ( )( )( )( ) ( ) ( )d2f tiVf ttm xxxx221d ( )1( )( ) ( )( )d( )2f tiVf ttmxxxx1d ( )( )df tiEf tt/( )iEtf tCe22( ) ( )( )2VEm xxx/( , )( )iEtte

39、xx对于定态势能场定态Schrdinger方程Hamilton方程( , )( )VtVxx分离变量22( , ) ( , )2Vttm xx( , ) titx方程的解五、力学量的算符 对波函数做某一数学运算，即用某一算符作用于波函数，等效于用某一力学量乘以波函数iEti pxipxxpix i pEit22( ) ( )( )2VEm xxx22( )2EVHm x xx( )( )VVxx角动量算符rvzLxyz Lrp)( irLxzyLypzp()yxzLzpxpizxxz ()zyxLxpypixyyx iLzsin1)(sinsin122222L在直角坐标系中()iyzzy 在球

40、坐标系中六、表象与力学量的平均值 (x)为粒子的波函数，|(x)|2表示粒子在x处出现的几率，即粒子的位置值等于x的几率则x的平均值为2|( )| dxxxx( )( )dx xxx 粒子的势能由其位置决定，其势能等于V(x)的几率为|(x)|2 ，则V(x)的平均值为2( )|( )| dVV xxx( )( )dx Vxx( )( )dx xxx( )( )dxxxx( )( )dx Vxx 但粒子的动量为p的几率，却不能直接用(x)描述 要计算动量p的平均值，必须知道关于p的几率分布函数(p) (p)为动量表象下的波函数，表示非单色波中，波长值为=h/p的几率幅 实际就是波长为的单色成分

41、的振幅/( )( )eik xxa2khp/( )eip xp (x)为位置表象下的波函数，表示粒子（即波包）在位置空间的几率幅（复振幅）波包(x)为一系列振幅为(p)的不同波长的单色波叠加的结果/33/21( )( )ed(2)ip xxpp/33/21( )( )ed(2)ip xpxx其Fourier反变换即为动量的波函数( )( )dpp ppp( ) dp pp1/2/(2)( )ed dipxppxp/1/2(e)(2)( )d dipxixpxp1/2/(2)( )()d dipxeixpxp1/2/(2)( )ed ()dipxix ppx1/2/(2)( )edipxxx()

42、dixx dpx3 dppx223d2Tmx3dAAx同理，可以得到如果在坐标表象下，物理量A的算符为AA的平均值为七、本征函数与本征值 Hamilton量 Hamilton算符 Hamilton方程2( , )2pEVtmx22( ) ( )( )2VEm xxx22( , )2Vtm x( )( )HExx能量E的本征值方程( ):xH的本征函数H的本征值:E 对于其它的力学量，也可以列出相应的本征值方程，求得相应的本征函数和本征值vpvp22uL uL iLzzzL uL usin1)(sinsin122222Li p动量角动量其中v是动量p的本征函数其中u是角动量L的本征函数后面将证明

43、u同时也是Lz的本征函数3.5 态与态叠加原理 双缝干涉实验 研究通过缝而到达接收屏的光子的状态 光子只能通过其中一个狭缝到达接收屏 用统计语言描述，通过狭缝1的光子在接收屏上有一个分布函数，即波函数，记为1；光强分布为I1= |1|1| 也可以说，通过狭缝1的光子的状态为1；通过狭缝2的光子的状态为2； 大量光子，它们的状态要么为1 ；要么为2 1 、2是光子的本征态 则所有光子的状态用函数=1 2描述121212而，总状态是两个本征态的叠加状态不确定12、是描述光子状态的函数，即波函数对双缝干涉而言，光子可以用描述波函数描述的是整个系统中光子的状态 大量光子的总状态是上述两种状态的叠加 =

44、1+2 从几率分布的角度看，一个光子的状态可以表示为=1+2 即在每个光子经过狭缝前，无法确定它将通过哪一个狭缝 或者说，各有一半的几率通过其中的一个狭缝1221212|()()I22121221| 1221 12、：光子的本征态干涉实际上是一个光子的两个本征态之间的干涉态叠加原理干涉项偏振态III0I2cosI每次半个光子每次半个光子通过偏振片？通过偏振片？cossin2sin偏振态2cos本征态混合态（合成态） 玻尔：如果谁在量子面前不感到震惊，他玻尔：如果谁在量子面前不感到震惊，他就不懂得现代物理学；同样如果谁不为此就不懂得现代物理学；同样如果谁不为此理论感到困惑，他也不是一个好的物理学

45、理论感到困惑，他也不是一个好的物理学家。家。 3.6 定态Schrdinger方程问题 定态Schrdinger方程问题，就是求解势能不随时间改变条件下的Schrdinger方程( )( )HExx22( ) ( )( )2VEm xxx222d( ) ( )( )2dV xxExm x在一维条件下就是求解Hamilton方程求解微分方程，需要利用一定的边界条件求出波函数的表达式和 E的数值1、一维简谐振子 势能221)(kxxV)(xVx2222d( )1( )( )2d2xkxxExmx, x令待定2222224d20dmEmk 142mk令222d0d 211mk22222mEEmEk2

46、12( )( )ennH有解时当,12 n222222d2d2kEm km212( )( )ennH多项式Hermit: )(nH22d( )( 1) eednnnnH , 2 , 1 , 0n12 n1()2nEn)(xVx11( )HA00( )HA222( )(1 2)HA333( )(32)HA2444( )(3 124)HA3555( )(15204)HA2E012E零点能零点能 ()=A1e-1/22n=1n=3n=0()=A0e-1/22n=2n=5n=4偶函数偶宇称奇函数奇宇称谐振子的几率分布 20()21() 22() 23() 24()25()2、一维无限深势阱 如图，中，

47、势能为0； 、中，势能为0VVV2a2ax)(xVHamilton方程222d( )( )( )2dxVxExmx222d( )2 ()( )0dxm VExx222mEk 222d( )( )0dxkxxkxBkxAxsincos)(0V222d20dmExI区中IIIIIIE:动能0V222222d( )2 ()d( )( )( )0ddxm VExxxxx ( )eexxxCD0 e000 exxDC 0边界条件0)2()2(aakxBkxAxsincos)(02sin2cos02sin2cosakBakAakBakA非零解条件02sin2cos2sin2cosakakakak0sin2

48、cos2sin2kaakakankaxnBaxnAxsincos)(22222222manmkEII、III区中axnBaxnAxsincos)(2ax2sin2cos)2(nBnAa00) 1(0) 1(0ABABBAnn偶奇2sin2cos)2(nBnAa00) 1(0) 1(0ABABBAnn偶奇偶数奇数，naxnBnaxnAx,sincos)(aA2aB22/2/2222/2/2cosdcosd12aaaan xn xaAxAxAaa归一化2sin,n xnaa偶数2cosn xnaa， 奇数xxx( )x( )x2a2a2a2a2n 4n 6n 1n 3n 7n 偶宇称奇宇称003、

49、有限深势阱 如图所示 由前面的结果可得到 在势阱中0V0VV 2a2ax)(xV在势阱外，仅讨论EV02222d( )( )0dxkxx2022)(2EVmk2122mEk 2212d( )( )0dxkxx11( )cossinIxAk xBk x22( )e/2k xIIxBxa 23( )e/2k xIIIxBxa 1111( )eeik xik xIxABIIIII 在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度，粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动 但按照量子力学的观点，势阱之外的波函数并不等于零 说明粒子可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域0Vxx22( )ek xIIxB23

50、( )ek xIIIxB1111( )eeik xik xIxAB0VIIIIIIIIII 边界条件 1、波函数是连续的 2、波函数的一阶微商是连续的 归一化条件（不是必需的）22( )( )aaIIIxxxx22( )( )aaIIIIxxxx22d( )d( )ddIIIaaxxxxxx22d( )d( )ddIIIIaaxxxxxx22( )ek xIIxB23( )ek xIIIxB1111( )eeik xik xIxAB0V0VV 2a2ax)(xV4、方势垒 方势垒如图所示0V0VV 1xx)(xV0V2xV222d( )2 ()( )0dxm VExx0V2212d0dkx11

51、11( )eeik xik xIxAB2212mEk EVV02222d( )( )0dxkxx2022)(2EVmk2222( )eek xk xIIxAB13( )ik xIIIxA eIIIIIIIVIII区II区0VI区V ( )0IVxIV区11( )eeik xik xIxAB22II( )eek xk xxCD1( )eik xIIIxF边界条件1xx( )x2x11()()IIIxx22()()IIIIIxx11()()IIIxx22()()IIIIIxx(0)0I粒子从I区经过势垒进入III区，称作势垒贯穿或隧道效应可以计算出粒子流量，用几率流密度表示dd()()22ddii

52、Jmmxx ( )0IVxIIIIIIIV 粒子从I区经过势垒进入III区的穿透率可以如下计算2222|ikxikxFeFTAeA042()022200016 ()e1sh (2)4 ()am VEE VETVVaE VE022()eDm VE 仅需计算向右运动的粒子，即入射波或透射波即可2222|ikxikxBeBRAeA042()02016 ()eam VEE VEV1xx( ) x2xIIIIIIIVD3.7 单电子原子的波函数 库仑势20( )4ZeV rr 222024ZeHmr 22222222111()(sin)sinsinrrrrrr ( , , )( ) ( , )rR r

53、Y 22202()04mZeEr 222024ZeEmr 22222220dd2()(sin)0ddsinsin4RRYRYmrZerYERYrrr222222201 dd2111()(sin)dd4sinsinRmrZeYYrER rrrY 分离变量分离变量球坐标系球坐标系xyzr222201 dd2()dd4RmrZerER rrr222111(sin)sinsinYYY222201 dd2()()0dd4RmrZerER rrr( , )( )( )Y 22211dd11d(sin)sinddsind222sindd1 d(sin)sinddd 2sindd(sin)sindd221 d

54、d22d0d ( )eiA(2 )( ) (2 )eeii 21iem( )imAe2222200| dd21imAeAA12A1( )e2imm221 dd0, 1, 2,m 221dd(sin)()0sinddsinm (1)l l|lm且( )(cos )mlmlBPl为整数,1, 1,0,1,1,lmllll 对于每一个 ，| |222|21d( )(1)(1)2 !dmlmmlmllPuuulu缔合Legendre函数( , )( )( )lmlmmY (|)!(21)/4 (|)!lmNlmllm归一化因子2sindd(sin)sinddm只有当上述方程有解其中(cos )miml

55、mlN Pe222111(sin)sinsinlmlmlmYYY2222211(sin)(1)sinsinlmlmYl lY( , )( )( )lmlmmY 球谐函数(1)l l222201 dd2()()(1)0dd4RmrZerEl lR rrr2222201 dd2(1)()()0dd4RmZel lrERrrrrr( )( )rR rr22|Zm Er20242|mZenE222d( )1(1)0, ( )0d4nl lE 有222d( )1(1)0, ( )0d4nl lE 有参量代换该方程总有解，能量E可以取任意正值，非量子化212( )e( )llnlnln lRCL缔合Lag

56、uerre多项式212110()!( )( 1)(1)!(21)! !kn llkn lknlLnlklkk 1,2,3n 只有,0,1,21n ln且对于每一个( , , )( )( )( )nlmnllmmrRr n，l，m是量子数，为本征态的标志132312(1)!()2 ()!nlZnlCnan nl 222d( )1(1) ( )0d4nl l 有解201224nZmeZrrnna 对解的讨论( , , )( )( )( )nlmnllmmrRr xyzr2dsin d d dnlmnlmnlmnlmVrr , ,rV 在（）处体积元d 内发现电子的几率2200sin dd dnlm

57、nlmrr drrr在球壳（壳层）内发现电子的几率xyzr2dnlnlR R rr20d sin d dnlmnlmrr sin d dnlmnlmYY , 在角度（）内发现电子的几率xyz几个径向波函数Rnl的计算132312(1)!()2 ()!nlZnlCnan nl 212110()!( )( 1)(1)!(21)! !kn llkn lknlLnlklkk 212( )e( )llnlnln lRCL12nZrna133221031121 (0 1)!12()()2(1 0)!2ZZCaa 202 0 111 00(1 0)!( )( 1)1(1 0 1)!(2 0 1)! !kkk

58、Lkkk 1330222101112( )()e12() e2ZraZZRaa 133222031122(0 1)!1()()22 2(20)!4 2ZZCaa 22212 0 112 00(20)!2!2!( )( 1)2(2)(20 1)!(2 0 1)! !1!1!0!0!2!1!kkkLkkk 13302222011111( )()e2(2)() (2)e4 22 2ZraZZZrRaaa133222131122(1 1)!1()()22 2(2 1)!2 3! 6ZZCaa 2202 1 112 10(2 1)!3!( )( 1)6(2 1 1)!(2 1 1)! !0!3!1!kk

59、kLkkk 133322222211111111( )()e6()e() ()e2 3! 62 62 6ZraZZZZrRaaaa1313332222230311123(0 1)!211()( ) 2()()32 3(30)!33627 3ZZZCaaa 223 0 113 00(30)!( )( 1)(30 1)!(2 0 1)! !kkkLkkk 1332230222301112( )()e3!(33)() (33)e2227 39 3ZraZZRaa222223!3!3!3!(33)2!1!0!1!2!1!0!3!2!2) 1() e3273 3ZraZZrZr

60、aaa133221112() 1 182() e81 3ZraZZrZraaa13332223131123(1 1)!21()( )()32 3(3 1)!312 4!ZZCaa 22212 1 113 10(3 1)!4!4!( )( 1)4!(4)(3 1 1)!(2 1 1)! !1!3!0!0!4!1!kkkLkkk 3322231121( )( )()e4!(4)312 4!ZRa133322222111114() (4)e() 6() e9 627 6ZraZZZrZraaaa13332223231123(2 1)!21()( )()32 3(32)!312 55!ZZCaa 22