第三章 扭转

1、F3-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例F3-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图F3-3 纯剪切纯剪切F3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力F3-5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形F3-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算F3-7 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形F3-8 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念F3-9 薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件的自由扭转 nPMer/minkWmN9549P 转轴上输入或输出功率转轴上输入或输出功率n 转轴转速转轴转速此时的外力偶矩此时的外力偶矩Me亦称为亦称为转矩转矩从动轮从动

2、轮主动轮主动轮从动轮从动轮e2e1e3Me1Me2Me3Me4Me5Me1Me2Me3面对截面面对截面，逆时针转的扭矩为正，顺时针转的扭矩，逆时针转的扭矩为正，顺时针转的扭矩为负为负.同一截面两侧的扭矩大小相等，符号相同同一截面两侧的扭矩大小相等，符号相同.T视线视线Me4Me5T视线视线取假想截面左边的单取假想截面左边的单元体为研究对象：元体为研究对象： 0)(321轴MMMTmeeeiF面对截面，顺时针转的外力偶在截面上产生正的面对截面，顺时针转的外力偶在截面上产生正的扭矩，逆时针转的外力偶在截面上产生负的扭矩扭矩，逆时针转的外力偶在截面上产生负的扭矩.扭矩的大小等于外力偶矩的大小扭矩的大

3、小等于外力偶矩的大小.截面上总的扭矩等于截面一侧单元体上所有外力截面上总的扭矩等于截面一侧单元体上所有外力偶单独作用时在截面上产生的扭矩的代数和偶单独作用时在截面上产生的扭矩的代数和.)()(321MMMTeeeMe1Me2Me3T视线视线以横坐标表示截面位置，纵坐标表示各截面扭矩大小，以横坐标表示截面位置，纵坐标表示各截面扭矩大小，并按适当比例绘制出的二维图形并按适当比例绘制出的二维图形.注意：注意：扭矩图中需标明相应截面上扭矩大小和符号扭矩图中需标明相应截面上扭矩大小和符号mN6366mN5 .4774mN159154e3e2e1e MMMM /kwer min9 549pMnm=k xx

4、o【例【例2】图示杆受均布力偶矩】图示杆受均布力偶矩 m=k x 作用，作用，试画出杆的扭矩图试画出杆的扭矩图.Tx22kxm=kx2)()(0)()()(20 xkkxdxxTmdxxdTxTmdxxdTxTxbTTbaabbb O RttRT22TMeMe右右左左上上下下MOzxydxdzdy右右左左上上下下0)(00右上右左上下dxFdyFmFFFFFFSSizSSiySSixFdxFdyFFFFFSSSSSS右上右左上下右左下上 e e P P s s b b O O右右左左上上下下dxdydz dx微单元体微单元体dxdydz扭转应变能扭转应变能应变能密度应变能密度由虎克定律知由虎克

5、定律知 故故 剪切应变能密度剪切应变能密度MeMe2dxdydzVd212dxdydzdxdydzdVVdvGGv22圆轴扭转前的横截面，变形后仍保持为平面，形状、大圆轴扭转前的横截面，变形后仍保持为平面，形状、大小不变、半径仍保持为直线，横截面就象刚性平面一样小不变、半径仍保持为直线，横截面就象刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度绕轴线旋转了一个角度.从受扭圆轴上同轴截出半径为从受扭圆轴上同轴截出半径为的的微段微段dx，设微段右端面相对左端面，设微段右端面相对左端面转动角度为转动角度为d，其端面上承受的扭其端面上承受的扭矩为矩为T，母线，母线AB旋转角度为旋转角度为 OdTTdxBAB因因故令令

6、单位长度扭转角单位长度扭转角，对同一截面为常数对同一截面为常数则则ddxBBdxddxd即受扭圆轴上任意点的切应变与该点的半径成正比即受扭圆轴上任意点的切应变与该点的半径成正比.当当=R时，得时，得max=R .即横截面上周边各点的切应变最大即横截面上周边各点的切应变最大.圆轴处于比例极限内，由虎克定律知圆轴处于比例极限内，由虎克定律知G即受扭圆轴横截面上的任意一点的切即受扭圆轴横截面上的任意一点的切应力与该点的半径成正比应力与该点的半径成正比.当当=R时，得时，得max=GR .即横截面上周边各点的切应力最大即横截面上周边各点的切应力最大.TmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmaxmax

7、G TdA =2 d微元面积微元面积dA上的微扭矩上的微扭矩dT为：为： 对其积分得到整个截面上的扭矩为：对其积分得到整个截面上的扭矩为： 令令圆截面的圆截面的极惯性矩极惯性矩，它是，它是一个与圆面积有关的几何量一个与圆面积有关的几何量故故于是于是单位长度扭转角单位长度扭转角抗扭刚度抗扭刚度 TdROdTAdATdATdTAPdAI2IGTPIGTPIGPAdAAdAG2将将代入虎克定律得：代入虎克定律得： 任意半径任意半径上的切应力上的切应力 令令=R， 得横截面边缘处最大切应力：得横截面边缘处最大切应力： 令令抗扭截面模量抗扭截面模量 则则w对于空心圆轴：对于空心圆轴： 其中其中 ，d、D

8、为横为横截面内径和外径截面内径和外径.w对于实心圆轴：对于实心圆轴： ITPITRPmaxRIWPttWTmaxAPdAI2)1 (2 . 043DWtDdD.IP410D.Wt320)2(2dA2232Ddd)(3244dD)1 (1 . 044D)()()()(xIxGxTdxxdP若圆轴在标距为若圆轴在标距为l的两横截面间的两横截面间G、IP、T为常数，为常数，则相对扭转角：则相对扭转角： 单位为弧度单位为弧度(rad) 单位为度单位为度 ()xPdttItGtTx0)()()()(IGTlP180IGTlP若圆轴的若圆轴的G(x)、IP (x) 、T (x)为横截面位置为横截面位置x的

9、连的连续函数，则相对扭转角：续函数，则相对扭转角： 若圆轴在第若圆轴在第i段标距段标距li内内Gi、IPi、Ti为常数，为常数，则相对扭转角：则相对扭转角： niPiiiiIGlT1单位为弧度单位为弧度(rad) 1801niPiiiiIGlT单位为度单位为度 ()w塑性材料如低碳钢在受扭过塑性材料如低碳钢在受扭过程中先屈服，如继续增大载荷，程中先屈服，如继续增大载荷，试件将沿横截面破坏试件将沿横截面破坏. w脆性材料如铸铁等在受扭过脆性材料如铸铁等在受扭过程中，变形始终很小，试件沿程中，变形始终很小，试件沿与轴线成与轴线成45的螺旋面破坏的螺旋面破坏. u s u b构件扭转时，产生过大塑性

10、变形或断裂时横截构件扭转时，产生过大塑性变形或断裂时横截面上的切应力称为剪切极限应力面上的切应力称为剪切极限应力.用用 u表示表示.轴能安全工作时横截面上的最大切应力轴能安全工作时横截面上的最大切应力.nu n安全系数安全系数 许用切应力许用切应力, )(| )(|maxmaxxWxTt和拉压强度条件一样，解决强度计算的三类问题和拉压强度条件一样，解决强度计算的三类问题.强度条件强度条件 )(| )(|maxmaxxWxTt| )(|)(xTxWt)(| )(|xWxTt 180)()(| )(|maxmaxxIxGxTPmax轴单位长度最大扭转角轴单位长度最大扭转角(/m).轴单位长度许用扭

11、转角轴单位长度许用扭转角(/m).和强度条件一样，可解决刚度计算的三类问题和强度条件一样，可解决刚度计算的三类问题 . 180)()(| )(|maxmaxxIxGxTP 180)(| )(|)(xGxTxIP 180)()(| )(|xIxGxTP对于要求同时满足强度条件和刚度条件的轴，截面的设计尺寸对于要求同时满足强度条件和刚度条件的轴，截面的设计尺寸应取由强度条件和刚度条件确定的两个尺寸中的最大值作为结应取由强度条件和刚度条件确定的两个尺寸中的最大值作为结果，许可载荷则取由强度条件和刚度条件确定的两个载荷中的果，许可载荷则取由强度条件和刚度条件确定的两个载荷中的最小值作为结果最小值作为结

12、果.【例【例3 3】空心传动轴的内外径为空心传动轴的内外径为D = 2d = 50 mm，lAB=100mm，lBC=250mm.转速转速n= 300 r/min，B轮输入功轮输入功率率 PB = 22 kW，A、C轮输出功率轮输出功率PA = 10 kW，PC = 12 kW.轴的许用切应力轴的许用切应力=80MPa，许用单位长度扭转角，许用单位长度扭转角=1/m，G = 80GPa.ABClABlBCMeAMeBBMeC1) 画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；2) 校核轴的强度和刚度；校核轴的强度和刚度；3) 求端面的相对扭转角求端面的相对扭转角AC.【解】【解】1)轮上的外力偶矩轮上的外力偶矩

13、mN3183001095499549nPMAeAmN700MeBmN382MeC2)画扭矩图画扭矩图 ABC318Nm382Nm+3) 校核轴的强度和刚度校核轴的强度和刚度 )(1 2 . 043maxmaxmaxDdDTWTt180)(1 1 . 018044maxmaxmaxDdDGTIGTP4) 计算端面的相对扭转角计算端面的相对扭转角 180)(IGlTIGlTPBCBCPABABBCABACMPa3 .16)5 . 0(1 )05. 0(2 . 038243m47. 0)5 . 0(1 )05. 0(1081 . 0180382441008. 0180)5 . 0(1 )05. 0(

14、1081 . 0)25. 03821 . 0318(4410lxdxdD【例【例4】图示有锥度的实心圆直杆长度为】图示有锥度的实心圆直杆长度为l，两端直径分，两端直径分别为别为D和和d，沿轴线承受集度为，沿轴线承受集度为m的均布力偶矩，轴材料的均布力偶矩，轴材料的剪切弹性模量为的剪切弹性模量为G.【解】【解】1）求）求x截面的扭矩截面的扭矩mdxm0)()()(xTmdxxdTxTmdxxdT)(lxmdxxT)()(lxm2）求）求x截面的极惯性矩截面的极惯性矩lxdDDlxd)()(32)()(4xdxIPlxdDDl4432)(x截面的直径截面的直径x截面极惯性矩截面极惯性矩写出轴上任一

15、点写出轴上任一点(x, ) )的切应力的切应力 (x, ) ) 及及x截面的扭转角截面的扭转角T(x)+d T(x)T(x)3）求）求 (x,)点的应力点的应力)()(),(xIxTxP)()(3244xdDDllxmlxPdttItGtTx0)()()()(4）求）求x截面的扭转角截面的扭转角xdttdDDlltGml044)()(32)()(323)(23)(3163324xdDDlxdDdlDlDldlDldDGmlAB【例【例5】设圆轴有】设圆轴有A、B两个凸缘，在力偶矩两个凸缘，在力偶矩Me作用下发生作用下发生变形变形.此时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解此时把一个薄壁圆筒

16、与轴的凸缘焊接在一起，然后解除除Me.设轴和筒的抗扭刚度分别为设轴和筒的抗扭刚度分别为G1IP1和和G2IP2，求轴内和，求轴内和筒内的扭矩筒内的扭矩.lMeMeAB【解】【解】1）焊接前，设在力偶矩）焊接前，设在力偶矩Me作用下，作用下，圆轴圆轴A凸缘相对于凸缘相对于B凸缘的扭转角为凸缘的扭转角为IGlMPe115）求解）求解3）焊接并解除）焊接并解除Me后，圆轴后，圆轴A凸缘和圆凸缘和圆筒左端相对于圆轴筒左端相对于圆轴B凸缘扭转角满足凸缘扭转角满足21IGlTP1111IGIGMIGTTPPeP2211222112T1T2aa2）焊接并解除）焊接并解除Me后，圆轴后，圆轴和圆筒上扭矩的代数

17、和为零和圆筒上扭矩的代数和为零021TTIGlTP22224）物理方程）物理方程4）求解）求解2）变形协调方程）变形协调方程021IGLTP11111）力平衡方程）力平衡方程021MTTeIGIGMGITPPeP22111111IGIGMGITPPeP2211222221Me【例【例6】抗扭刚度为】抗扭刚度为G1IP1的实心圆轴的实心圆轴1，套在抗扭刚度为，套在抗扭刚度为G2IP2的空心圆轴的空心圆轴2内，组成受扭圆轴内，组成受扭圆轴.设扭转时二者无相对设扭转时二者无相对滑动，求施加的外力偶矩为滑动，求施加的外力偶矩为Me时，横截面上的切应力时，横截面上的切应力.T2T13）物理方程）物理方程

18、IGLTP2222DdD/2TFSF当螺旋角当螺旋角小于小于5时时, ,可近似地认为簧丝横截面可近似地认为簧丝横截面与弹簧轴线在同一平面内，称为与弹簧轴线在同一平面内，称为密圈螺旋弹簧密圈螺旋弹簧弹簧轴线弹簧轴线簧丝横截面簧丝横截面当当簧丝直径簧丝直径d远小于弹簧直径远小于弹簧直径D时，时，可忽略簧丝可忽略簧丝曲率影响，用直杆公式计算曲率影响，用直杆公式计算. .FFS2FDT d1d2maxw与剪力与剪力FS对应的切应力对应的切应力1按实用计算公式，可认为按实用计算公式，可认为1在横截面上均匀分布，故在横截面上均匀分布，故w与扭矩与扭矩T对应的最大切应力对应的最大切应力2maxw横截面上切应

19、力的最大值横截面上切应力的最大值max当当d远小于远小于D时，可不考虑剪力影响，时，可不考虑剪力影响，故由扭矩引起的最大切应力为故由扭矩引起的最大切应力为TFsdFAFS214dFDWTt3max28max21maxdFDdF3284) 12(83DddFDdFD3max8由于弹簧丝是曲杆，当弹簧曲率较大即由于弹簧丝是曲杆，当弹簧曲率较大即d与与D的比值不的比值不太小时，按上式计算的切应力最大值存在较大误差；太小时，按上式计算的切应力最大值存在较大误差；同时，假定剪力引起的切应力在横截面上均匀分布，同时，假定剪力引起的切应力在横截面上均匀分布，这也存在误差这也存在误差.考虑上述两个因素得到切考

20、虑上述两个因素得到切应力最大值修正公式为应力最大值修正公式为dFDk3max8曲度系数曲度系数弹簧指数弹簧指数ccck615. 04414其中其中dDc 而而w簧丝的强度条件簧丝的强度条件maxDF外力外力F作的功为作的功为2FW OFFITPGv22因单位体积因单位体积的应变能为的应变能为簧丝横截面上半径簧丝横截面上半径为为处的切应力为处的切应力为弹簧应变能弹簧应变能VdVvV设弹簧的有效圈数为设弹簧的有效圈数为n，则其长度，则其长度l=nD.dGnDF4324dGnDFF43242dGnDF438dGnRF4364其中其中R=D/2为为弹簧半径弹簧半径.弹簧应变能弹簧应变能AldAv208

21、22222128ddDndGDFdFD416dGDF82222128 TdA=2 ddd/2OAnRdGC3464令CF则弹簧刚度弹簧刚度当要求弹簧具备较好的减振和缓冲作用，即要求当要求弹簧具备较好的减振和缓冲作用，即要求其具备较大变形和较柔软时，需降低其刚度其具备较大变形和较柔软时，需降低其刚度C.为此，可采取如下措施：为此，可采取如下措施：w减小簧丝直径减小簧丝直径d；w增大弹簧半径增大弹簧半径R；w增大弹簧圈数增大弹簧圈数n.w降低材料的剪切弹性模量降低材料的剪切弹性模量G；【例【例7】某弹簧平均半径】某弹簧平均半径R=59.5mm ，有效圈数，有效圈数n= 5，簧，簧丝直径丝直径d=1

22、4mm.材料的许用应力材料的许用应力 =350MPa，材料剪切，材料剪切弹性模量弹性模量G=80GPa.弹簧工作时总变形（含预压变形）弹簧工作时总变形（含预压变形）=55mm，校核弹簧强度，校核弹簧强度.【解】【解】1）求弹簧所受的压力）求弹簧所受的压力FCF nRdG3464055. 05)0595. 0(64)014. 0(1080349N25102）求弹簧的曲度系数）求弹簧的曲度系数k因弹簧指数因弹簧指数c = D/d= 2R/d= 259.5/14=8.5故弹簧的曲度系数故弹簧的曲度系数k =(4c-1)/(4c-4)+0.615/c=1.173）校核弹簧强度）校核弹簧强度dFDk3m

23、ax8)014. 0()0595. 02(2510817. 13MPa325纵向线和周向线变成空间曲线纵向线和周向线变成空间曲线.纯扭转试验纯扭转试验变形后横截面不再保持为平面，发生了变形后横截面不再保持为平面，发生了翘曲翘曲.平截面假定对非圆截面杆件不再适用平截面假定对非圆截面杆件不再适用.杆件扭转时横截面翘曲不受限制，任意杆件扭转时横截面翘曲不受限制，任意截面的翘曲程度完全相同截面的翘曲程度完全相同.横截面上只有切应力横截面上只有切应力.杆件扭转时横截面翘曲受到限制，截面杆件扭转时横截面翘曲受到限制，截面的翘曲程度不同的翘曲程度不同.横截面上既有正应力也有切应力横截面上既有正应力也有切应力

24、.hbmax1T由弹性力学知，切应力最大由弹性力学知，切应力最大值发生在长边的中点，即：值发生在长边的中点，即：bhT2max系数系数与与h/b有关，可查表求得有关，可查表求得. .短边中点的切应力短边中点的切应力1是短边上的最大切应力，即：是短边上的最大切应力，即：max1系数系数与与h/b有关有关，可查表求得，可查表求得.1maxIGTltbhGIGt3其中其中抗扭刚度抗扭刚度系数系数 与与h/b有关有关，可查表求得，可查表求得.当当h/b10时，截面变为狭长矩形，时，截面变为狭长矩形， 1/3 .32maxhT)3(3hGTlhT切应力在凸角处迅速降为零切应力在凸角处迅速降为零.壁厚远小

25、于横截面其他两个尺寸（高和宽）的杆件壁厚远小于横截面其他两个尺寸（高和宽）的杆件.杆件的截面中线是一条不封闭的折线或曲线杆件的截面中线是一条不封闭的折线或曲线.杆件的截面中线是一条封闭的折线或曲线杆件的截面中线是一条封闭的折线或曲线.开口薄壁杆件横截面可视为开口薄壁杆件横截面可视为由若干个狭长矩形构成由若干个狭长矩形构成.自由扭转时，假设横截面自由扭转时，假设横截面各组成部分扭转角相同各组成部分扭转角相同.i(i=1,2,n)设整个横截面扭转角为设整个横截面扭转角为 ，第，第i部分截面扭转角为部分截面扭转角为 i，则：，则：设整个横截面上扭矩为设整个横截面上扭矩为T ，第，第i部分截面上扭矩为部分截面上扭矩为T i，则：，则：TTi(*)3(3lhGTiiiilhGTiiii) 3(333iihlGT33iithI令令IGTlt扭转角扭转角) 3(3iiiihGlT因因因组成截面的各狭