数量积向量积混合积ppt课件

1、1/281机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束第二节第二节 数量积向量积混合积数量积向量积混合积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积三、小结三、小结 思考题思考题2/282机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 cos|sFW 启示启示 cos|baba 实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, , 结果是一个数量结果是一个数量. .定义定义1 1、定义、定义sFW ab ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.

2、.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积量在这向量的方向上的投影的乘积. .一、两向量的数量积一、两向量的数量积3/283机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2 2、两个性质：、两个性质：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 4/284机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束交换律：交换律：;ab

3、ba 分配律：分配律：;)(cbcacba ),()()(bababa ).()()(baba 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：3 3、运算法则、运算法则结合律：结合律：:为为数数若若 :, 为为数数若若 例例1 1 试用向量证明三角形的余弦定理。试用向量证明三角形的余弦定理。证证 设在设在ABCABC中中,BCA=,|BC|=a,|CA|=b,BCA=,|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c,|AB|=c,要证要证:c2= a2+b2-2abcos .:c2= a2+b2-2abcos .ABC abc,baccABbCAaCB 则则有有记记)(|2babaccc 从从而而

4、babbaa 2babbaa 2).,cos(|2|22 bababa.cos2222 abbac 5/285机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式4 4、坐标表示式、坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 6/2

5、86机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为 ba0 zzyyxxbababa解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 7/287机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(8/288机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束|FOQM sin

6、|FOP 实例实例LFPQO 1 1、定义、定义定义定义 sin|bac 向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”. .二、两向量的向量积二、两向量的向量积9/289机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba2 2、两个性质、两个性质证证)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| bababa/ba/或或0 3 3、运算法则、运算法则向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2 2分配律：分配律：.)(cbcacba （

7、3 3假设假设 为为数数: : ).()()(bababa 10/2810机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式4 4、坐标表示式、坐标表示式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba 11/2811机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

8、返回返回 结束结束ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000, 0 yxaa补充补充例如，例如，abbac 12/2812机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj13/2813机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABCABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21

9、BDS | AC|521225BD . 5| BD14/2814机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 15/2815机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、两向量的数量积一、两向量的数量积1 1、定义、定义2 2、两个性质、两个性质3 3、运算法则、运算法则4 4、坐标表式示、坐标表式示二、两向量的向量积二、两向量的向量积1 1、定义、定义2 2、两个性质、两个性质3 3、运算法则、运算法则4 4、坐标表式示、坐标表式示三、小结三、小结数量积数量积向量积向量积（结果是数量）（结果是数量）（结果是向量）（结果是向量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）思考题思考题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(