正弦定理和余弦定理教案

1、正弦定理和余弦定理知 识 梳 理1正弦定理和余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A b2a2c22accos B c2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin Ccos A；cos B；cos C解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两

2、角2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)Sbcsin Aabsin Cacsin B.辨 析 感 悟1三角形中关系的判断(1)在ABC中，sin Asin B的充分不必要条件是AB. (×)(2)(教材练习改编)在ABC中，a，b，B45°，则A60°或120°.()2解三角形(3)在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B.()(4)(教材习题改编)在ABC中，a5，c4，cos A，则

3、b6.()3三角形形状的判断(5)在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则此三角形是钝角三角形()(6)在ABC中，若b2c2a2，则此三角形是锐角三角形(×)感悟·提升1一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B，如(1)2判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于 (

4、)A. B. C. D.(2)(2014·杭州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，c4，B45°，则sin C_.解析(1)在ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin Bsin B，B为ABC的内角，sin B0.sin A.又ABC为锐角三角形，A，A.(2)由余弦定理，得b2a2c22accos B1328×25，即b5.所以sin C.答案(1)A(2)规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断【训练1】

5、 (1)在ABC中，a2，c2，A60°，则C()A30° B45° C45°或135° D60°(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30° B60° C120° D150°解析(1)由正弦定理，得，解得：sin C，又ca，所以C60°，所以C45°.(2)sin C2sin B，由正弦定理，得c2b，cos A，又A为三角形的内角，A30°.答案(1)B(2)A考点二判断三角形的形状【例2】

6、(2014·临沂一模)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状解(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A，A60°.(2)ABC180°，BC180°60°120°.由sin Bsin C，得sin Bsin(120°B)，sin Bsin 120°cos Bcos 120°sin B

7、.sin Bcos B，即sin(B30°)1.0°<B<120°，30°<B30°<150°.B30°90°，B60°.ABC60°，ABC为等边三角形【训练2】 (1)(2013·山东省实验中学诊断)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是()A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形(2)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形

8、C等腰三角形 D等腰或直角三角形解析(1)由2c22a22b2ab，得a2b2c2ab，所以cos C0，所以90°C180°，即ABC为钝角三角形(2)由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2 Bsin Acos Bsin2 Acos Asin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角，故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形答案(1)A(2)D考点三与三角形面积

9、有关的问题【例3】 (2013·新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值审题路线(1)abcos Ccsin Bsin Asin(BC)求出角B.(2)由得出a2与c2的关系式利用基本不等式求ac的最大值即可解(1)由已知及正弦定理，得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理，得4a

10、2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.【训练3】 (2013·湖北卷)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值解(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由S bcsin Abc·bc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理，得a2b2c22bccos A251

11、62021，故a.又由正弦定理，得sin Bsin Csin A·sin Asin2A×.解三角形问题【典例】 (12分)(2013·山东卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值规范解答(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3， (6分)(2)在ABC中，sin B， (7分)由正弦定理得sin A. (9分)因为ac，所以A为锐角，所以cos A. (10分)因此sin(AB)

12、sin Acos Bcos Asin B. (12分)【自主体验】已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，casin Cccos A.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解(1)由casin Cccos A及正弦定理，得sin Asin Ccos A·sin Csin C0，由于sin C0，所以sin，又0<A<，所以<A<，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28，解得bc2.基础巩固题组一、选择题1(2013·绍兴模拟)在ABC中，若a2c2b2ab，则C()A

13、30° B45° C60° D120°解析由a2c2b2ab，得cos C，所以C30°.答案A2(2014·合肥模拟)在ABC中，A60°，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B. C2 D2解析S×AB·ACsin 60°×2×AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22AB·ACcos 60°3，所以BC.答案B3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22 B.1 C22 D.1解析由正弦定理

14、及已知条件得c2，又sin Asin(BC)××.从而SABCbcsin A×2×2×1.答案B4ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B2A，a1，b，则c()A2 B2 C. D1解析由，得，所以，故cos A，又A(0，)，所以A，B，C，c2.答案B5(2013·陕西卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不确定解析由正弦定理及已知条件可知sin Bcos Ccos Bsin Csin2 A，即si

15、n(BC)sin2 A，而BCA，所以sin(BC)sin A，所以sin2 Asin A，又0A，sin A0，sin A1，即A.答案A二、填空题6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b2，sin Bcos B，则角A的大小为_解析由题意知，sin Bcos B，所以sin，所以B，根据正弦定理可知，可得，所以sin A，又ab，故A.答案7(2014·惠州模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos B·tan B，sin B，B或.答案或8

16、(2013·烟台一模)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a1，b2，cos C，则sin B等于_解析由余弦定理，得c2a2b22abcos C4，即c2.由cos C得sin C.由正弦定理，得sin B×(或者因为c2，所以bc2，即三角形为等腰三角形，所以sin Bsin C)答案三、解答题9(2014·宜山质检)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且acbcos C.(1)求角B的大小；(2)若SABC，b，求ac的值解(1)由正弦定理，得sin Asin Csin Bcos C，又因为A(BC)，所以sin Asin(BC)

17、，可得sin Bcos Ccos Bsin Csin Csin Bcos C，即cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为SABC，所以acsin，所以ac4，由余弦定理可知b2a2c2ac，所以(ac)2b23ac131225，即ac5.10(2013·北京卷)在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值解(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理，得，所以，故cos A.(2)由(1)知cos A，所以sin A.又因为B2A，所以cos B2cos2A1，所以sin B.在ABC中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos A

18、sin B.所以c5.能力提升题组一、选择题1(2014·温岭中学模拟)在锐角ABC中，若BC2，sin A，则·的最大值为()A. B. C1 D3解析由余弦定理，得a2b2c22bc×4，由基本不等式可得4bc，即bc3，所以·bccos Abc1.答案C2(2013·青岛一中调研)在ABC中，三边长a，b，c满足a3b3c3，那么ABC的形状为()A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上均有可能解析由题意可知ca，cb，即角C最大，所以a3b3a·a2b·b2ca2cb2，即c3ca2cb2，所以c2a2b2.根据余弦定理，得cos C0，所以0C，即三角形为锐角三角形答案A二、填空题3(2013·浙江卷)在ABC中，C90°，M是BC的中点若sinBAM，则sinBAC_.解析如图，令BAM，BAC，故|CM|AM|sin()，M为BC的中点，|BM|AM|sin()在AMB中，由正弦定理知，即，sin ，cos ，cos ·sin cos cos2，整理得12sin cos cos2，所以1，解得tan ，故sin .答案三、解答题4(2013·长沙模拟)在ABC中，边