数学分析1-期末考试试卷(B卷)

1、数学分析1期末考试试卷(B卷)一、填空题(本题共 5个小题，每小题4分，满分20分)11、设 X0 1,Xn 1 ，则 lim Xn。1 Xnn2、(归结原则)设f(x)在Uo(%;)内有定义，lim f(x)存在的充要条X X0件是：(C) f 0且f (a) 0.(D) f (a)0且f (a) 0.3、若 f( x) f(x) ( x则f(x)在(0,)内有()。)，在(内 f (x) 0, f (x) 0,(A) f (x) 0, f (x) 0。(B) f (x) 0, f (x) 0。(C) f (x) 0, f (x) 0。(D) f (x) 0, f (x) 0。4、设f(x)

2、的导数在x a处连续，又limS 1,则()。x a x a(A) x a是f(x)的极小值。(B) x a是f(x)的极大(C) (a, f (a)是曲线y f (x)的拐点(D) x a不是f(x)的极值21 / 15点，(a, f (a)也不是曲线y f(x)的拐点5、下述命题正确的是()(A)设f (x)和g(x)在x0处不连续，则f (x)g(x)在x0处也不连续;(B)设 g(x)在 Xo处连续，f (Xo) 0,则 lim f (x)g(x) 0 ; x Xo(C)设存在 0 ,使当x (Xo,Xo)时，f (x) g(x),弁设lim f (x) a, x (Xo,Xo)时，f

3、 (x) g(x) O0 lim g(x) b,则必有 a b ;x Xo7/(D)设 lim f(x) x x0a, lim g(x) b , a x x三、计算题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）11、求xm0sin x 1 8sxx2、x求 lim 一x 0 1sin x 1 ,1 x23、给定 p 个正数 a1,a2,L ,ap,求 lim an an L a； n1. asinx b4、设 y ,arcsin （其中 a b 0）,求 y。a2 b2a bsinx1 x 25、求不xx 2dx6、求不定积分xsinx .3dx cos x四、证明下列各题（本题共 3个小题，每

4、小题6分，满分18分）1、试用语言证明极限则X2 4；2、证明方程xn px q 0（n为正整数，p、q为实数），当n为奇数时最多 有三个实根。3、试用拉格朗日中值定理证明：当 X 0时ln(1 x) x11五、(本题8分)设£仪)在(,)上二阶导数连续，f(0) 0x 0 g(x) xa x 0(1)确定a,使g(x)在(-,+ )上连续；(2)证明对以上确定的a,g(x)在(-,+ )上有连续的一阶导函数六、 (本题 4 分)设f(x)在a,)上连续，且lim f (x) A存在，证明f(x)在a,)上有 x界。答案一、填空题(本题共 5个小题，每小题4分，满分20分)1、设 9

5、 i,xm则 limxn AJ 。1 xnn22、(归结原则)设f(x)在Uo(%;)内有定义，lim f(x)存在的充要条 x x0件是：对任何含于U0(x°)且以xo为极限的数列xn，极限pmf(x)都存在且相等。3、设 y ln(x Ji x2),则 dy 不丝 。 .1 x4、当x 时，函数f(x) x2x取得极小值。In 25、 已知f(x)的一个原函数是8s , 则 xcosx cxf (x)dx sin x 2 C 。x二、单项选择题(本题共 5个小题，每小题4分，满分20分)1、设 f(x) 2x 3x 2 ,则当 x 0 时(B )。(A) f(x)与x是等价无穷小

6、。(B) f(x)与x是同阶但非等价无穷小。(C) f(x)为x的高阶无穷小量。(D) f(x)为x的低阶无穷小2、设函数f(x)在点x a处可导，则函数£仁)在乂 a处不可导的充 分条件是(C )。(A)f 0且f (a)0.(B)f (a)0且f(a)0.(C)f (a)0且f (a)0.(D)f (a)0且f(a)0.3、若 f( x) f(x) ( x ，在(内 f(x) 0, f (x) 0, 则 f (x)(0,)内有(C )o(A)f (x)0, f (x)0。(B)f (x)0, f (x)0。(C)f (x)0, f (x)0。(D)f (x)0, f (x)0。4

7、、设f(x)的导数在x a处连续，又iim”x)1,则(B )。x a x a(A) x a是f(x)的极小值。(B) x a是f(x)的极大值。(C) (a, f (a)是曲线y f(x)的拐点。(D) x a不是f(x)的极值 点，(a, f (a)也不是曲线y f(x)的拐点。5、下述命题正确的是(D )(A)设f (x)和g(x)在x0处不连续，则f (x)g(x)在x0处也不连续;(B)设 g(x)在 x0 处连续，f(x0) 0,则 lim f (x)g(x) 0 ;X x0(C)设存在 0 ,使当x (Xo,Xo)时，f (x) g(x),弁设lim f(x) a, x X0li

8、m g(x) b,则必有 a b ； x X0(D)设 lim f (x) x Xoa, lim g(x) b aX Xob ,则存在 0 ,x (Xo,Xo)时，f (x)g(x)。三、计算题（本题共6个小题,每小题5分，满分30分）1、解:limx 0sin x 11cosx分）Qlxm01 cosx分）lxm0sin xxsinxln( ) x1cosxlim(5分)2、解：limx 0sin x11 x2sin xln( )xxcosx sin x2xsin xlimexx 0 x3、给定p个正数a1，a2,L,ap,求 limn nlim解：设ajmax1 j p1a1，a2,L ,

9、ap分）aj(an)na； an1sinxlimln()ax 01 cosx x ecosx xsin x cosxcosx)na1na23x2lim(0n ap,则由迫敛性可知:nap11pan n pnajsin x)(4(5分)(4分）4、设解:limnna2nL ap1n max1 j pasin x b =arcsin 一 b2 a bsin x1,a2 b2d&L ap(其中a b 0),求y(5acosx(a bsinx) (asinx b)bcosx1 asin x b 2a bsin x2(a bsin x)cosxa bsinx cosxLLLLLLLLLLLLLL

10、LLLLLx 2dxx 2 15、求不je积分x解：令tx匚|，则有2(t2t2,dx8t-dt,L L L L2t2 11xx 2dxx 24t2(122t2) 1 t2dtIn(x 2)/(x 2)1 (x 2)/(x 2)CL L L L Lx 22arctanx 2LLLLLLLLLLL6、求不定积分xsinx .3 dx cos xxsin x ,解：dxcos xxd( cosx)3cos x2cos xxd(21 /22.、-(xsec x sec xdx)1 /2-(xsec x tanx) CLL (5分)四、证明下列各题(本题共3个小题,每小题6分，满分18分)1、试用语言

11、证明极限lim x24；证明:考察x2 42，不妨设1,x 2|x(3分)所以,0,取min 1,，当 0V5时,则有，所以 lim x2 4。L L L LLLLLLLLL (6 分)2、证明方程xnpx0(n为正整数，p、q为实数)，当n为奇数时最多证明：设 f (x)px q,若方程有四个根，即存在x1，x2 ,x3,x4使得 f (x1)区，x3,x3, x4(x2)93) f%)0.因函数 f(x)在区间 x，x2,上都满足罗尔微分中值定理条件，故必存在三点1使得x1 , x2f乂2 , x3fx3 , x0LL L (3 分)即有卫,n由1错误的。3知上式是不能成立的，所以假设原方

12、程有四个根是LLLLLLLLLLLLLLLLLL(6分)3、试用拉格朗日中值定理证明：当 x 0时0 ln(111. -1o x) x证明：令 f(x) ln(1 t),则函数在0 ,X上连续，在（0, X）内可导。由拉氏定理知,ln(1 x) ln(1 0)(0,x)(3分）1,ln(1 x)xxln(1 x) x1 x五、ln(1 x)1L LLLLLLLLLL (6 分)（本题8分）设£3在（,）上二阶导数连续,f(0) 0(3)(4)解:f(x) g(x) xa确定a,使g（x）在（-,+ ）上连续;证明对以上确定的a,g（x）在（-,+）上有连续的一阶导函数。(1Qlxm&

13、#176;g(x) lxm0 乎)a f (0)L L Llim9x 0 x3 f(0)LLLLLLLLLLLL (3分)(2)xf (x) f (x)0 叼，g (x) 2x0时,g (0)lim。x 0g(x) g(0)lxm0f(x)limx2x oxf (x)f(0)2xQ lim gx 0(x)xf (x) f (x)2xxf (x) f(x)g (x)2x1-f (0)2f(f (0)lim -xx 0 x1 ,2 f (0)lim f (x) xf (x) f (x) x 02x(x 0)(x 0)f (0)2g (x)8分)六、(本题4分)设f(x)在a,)上连续，且lim f (x) A存在，证明f(x)在a,)上有 x界。证：Qf(x)在a,上连续，且Jim f(x) A,即给定 1, M 0,当x>M时，(x)|<1 ，以因f在口上连续。故存在最大值 M与最小值n%现取 M max| A| 1,|M |,|m|。则有(x)| M .故 f(x) 在 a, 上 有界。4分)15 / 153、设 y ln(X v1 X2),则 dy 。4、当x 时，函数f(X)X2* * * X取得极小值。5、已知f(X)的一个原函数是cos,则Xf(X)dX。