结构图与信号流图

1、2-3 2-3 结构图与信号流图结构图与信号流图 引言引言一、结构图的基本单元和等效规则一、结构图的基本单元和等效规则五、闭环系统的传递函数五、闭环系统的传递函数二、信号流图的组成和性质二、信号流图的组成和性质三、信号流图的绘制三、信号流图的绘制四、四、MasonMason公式公式 由单向运算框图和信号流向线组成的描写一般系统中信号传递关系的定量分析图形。何谓结构图何谓信号流图 由单向增益支路和节点运算框图和信号流向线组成的描写线性系统信号流的定量分析图形。 引言引言共同点 都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形，它们表示系统中各变量间的因果关系以及对各变量所进行的运算。结构图信号流图

2、应用范围非线性系统连续系统离散系统混合系统线性时不变纯线性系统纯离散系统人工计算稍烦直接简明SIMULINK直接对应图形编程无对应关系两种图比较两种图比较1、结构图的基本单元、结构图的基本单元（1）信号线带箭头的直线（2）引出点（或测量点）u(t),U(s)信号引出或测量位置一、结构图的基本单元和等效规则一、结构图的基本单元和等效规则u(t),U(s)u(t),U(s)箭头表示信号的流向同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同在直线旁标注信号的时间函数或象函数（3）比较点（或综合点）表示对两个以上信号进行加减运算（4）框图（或环节）方框表示对信号进行的数学变换 u(t),U(s) r(t),

3、R(s) u(t) r(t) R(s) U(s) G(s)G(s)u(t)U(s)c(t)C(s)C(s)=G(S)*U(S) “”表示相加；“”表示相减“”可忽略不写方框内写入元部件或系统的传递函数(1) 分别列写各元部件的运动方程，并在零初始条件下 进行Laplace变换。绘制系统结构图基本步骤：(2) 根据各元部件在系统中的工作关系，确定其输入量和 输出量，并按照各自的运动方程化出每个元部件的方 框图。(3) 用信号线按信号流向依次将各元部件的方框连接起来。例1：画出下列RC网络的方块图。若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为刚才

4、中间变量为i,u1,i2，现在改为，现在改为I,I1,I2)rucu1C2C1R2R1I2II从右到左列方程：从右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc 这个结构与前一个不一样，这个结构与前一个不一样，选择不同的选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。的输入输出关系是不会变的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI绘图绘图1)(1)()()(21221122121sCRC

5、RCRsCCRRsususGrc22212121111)()()()()(1)()()()()()(sCsIsYRsYsUsIsCsIsIsURsUsUsI从左向右列方程组从左向右列方程组将上页方程改写如下相乘的形式：将上页方程改写如下相乘的形式：绘图：绘图：U(s)为输入，画在最左边。为输入，画在最左边。11211122221 ( )( )( )1 ( )( )( )1( )( )( )1( )( )U sU sI sRI sIsU ssCU sY sIsRIsY ssC绘图：绘图：U(s)为输入，画在最左边。为输入，画在最左边。这个例子不是由微分方程组这个例子不是由微分方程组代数方程代数方

6、程组组结构图，而是直接列写结构图，而是直接列写s域中的代数方域中的代数方程，画出了结构图。程，画出了结构图。如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示。 图图2 2- -2 22 2 带带隔隔离离放放大大器器的的两两级级R RC C网网络络隔离放大器1R2R1Cru2Ccu（a）K K11R21R11sC21sC)(sUr)(sUc2 2、 结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化(1) (1) 串联串联R(s)G1(s)U(s)G2(s)C(s)U(s)=G1(s).R(s) G(s)=G1 (s) .G2

7、(s)R(s)G(s)C(s)结论：N个方框串联的等效传递函数等于N个传递函数之乘积。C(s)=G2(s).U(s)整理C(s)=G1 (s) .G2 (s) .R(s)(2) (2) 并联并联有C1(s)=G1(s).R(s) G(s)=G1 (s) G2 (s)R(s)G(s)C(s)结论：N个方框并联的等效传递函数等于N个传递函数之代数和。 G1 (s)C(s)G2 (s)(sRC1(s)C2(s)C2(s)=G2(s).R(s)整理C(s)=G1 (s) G2 (s) .R(s)(3) (3) 反馈反馈)()(1)()(sHsGsGsF有C (s)=G (s)*E(s) 结论：闭环传递

8、函数 “+”正反馈 “-” 负反馈 G (s)C(s)H (s)(sR)(sE)(sBB(s)=H(s)*C(s) E(s)=R(s) B(s)整理有：R(s)C(s)( )F s)()(1)()()()()(sHsGsGsRsFsRsC(4)(4) 比较点的移动比较点的移动)()()()(sQsGsRsC)()()(1)()(sGsQsGsRsC)()()()(sGsQsRsC( )R s( )Q s( )G s( )C s( )G s( )R s( )Q s( )G s( )C s( )G s( )R s( )G s( )Q s( )C s( )R s( )Q s( )C s( )G s1

9、( )G s1( )G s(1) 比较点前移比较点前移（2) 比较点后移比较点后移)()()()()(sGsQsGsRsC(1) 引出点前移引出点前移（2) 引出点后移引出点后移( )( ) ( )C sR sG s=( )R s( )G s( )C s( )C s( )( ) ( )C sR sG s=( )R s( )G s( )R s( )C s( )( ) ( )C sR sG s=( )( ) ( )C sR sG s=( )R s( )C s( )G s1( )G s( )R s(5)(5) 引出点的移动引出点的移动1( )Hs-( )R s-1( )Gs2( )Gs3( )Gs4

10、( )Gs3( )Hs1( )Hs2( )Hs( )C s例【例【2-14】简化下图，并写出系统的传递函数】简化下图，并写出系统的传递函数1( )Hs-( )R s-1( )Gs2( )Gs3( )Gs4( )Gs3( )Hs1( )Hs( )C s24( )( )HsGs1( )Hs-( )R s-1( )Gs2( )Gs3( )Gs4( )Gs3( )Hs1( )Hs( )C s24( )( )HsGs1( )Hs-( )R s-1( )Gs2( )Gs1( )Hs( )C s24( )( )HsGs34( )Gs3434343( )1G GGsG G H=+1( )Hs-( )R s-1

11、( )Gs2( )Gs1( )Hs( )C s24( )( )HsGs34( )Gs3434343( )1G GGsG G H=+1( )Hs-( )R s1( )Gs1( )Hs( )C s23( )Gs2342323424234343232( )( )( )1( )( )( )/( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )GsGsGsGsGs HsGsGsGsGsGsGs HsGsGs Hs=+=+1( )Hs-( )R s1( )Gs1( )Hs( )C s23( )Gs23423343232( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )GsGsGsGs

12、GsGs HsGsGs Hs=+1231231123423234312341( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )C sGsGssR sGsGs HsGsGsGsGsGsGs HsGsGs HsGsGsGsGs HsF=+=+例【例【2-15】简化下图，并写出系统的传递函数】简化下图，并写出系统的传递函数-( )R s1( )Gs2( )Gs1( )Hs( )C s-( )R s2( )Gs1( )Hs( )C s-1( )Gs21( )Gs11( )Gs比较点前移比较点前移引出点后移引出点

13、后移-( )R s2( )Gs1( )Hs( )C s-1( )Gs21( )Gs11( )Gs-( )R s2( )Gs( )C s1( )Gs11211( )( )( )HsGsGs+1212121( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )C sGsGssR sGsGsGsGs HsF= =+二二、信号流图的组成及性质、信号流图的组成及性质梅森Mason利用图示法描述一个或一组线性代数方程式。由节点和支路组成的一种信号传递网络。(2) 基本单元a节点：代表变量，用小圆圈表示。b支路：代表因果关系的乘法因子，表示两个变量之间的传递方向及增益，用单向线段表示。(1) 起源)

14、(sU)(sICs1Cs/ 1)(sI)(sUxyGxyG(3) (3) 基本性质基本性质 节点代表变量节点代表变量 每个节点变量等于所有流入该节点的信号之代数和。每个节点变量等于所有流入该节点的信号之代数和。 从该节点流出的信号都等于该节点变量。从该节点流出的信号都等于该节点变量。 支路代表因果关系的乘法因子。相当于乘法器，信号流经支路时，被支路代表因果关系的乘法因子。相当于乘法器，信号流经支路时，被 乘以支路增益而变换为另一信号。乘以支路增益而变换为另一信号。 在支路上信号传递是单向的。在支路上信号传递是单向的。 信号流图不是唯一的。信号流图不是唯一的。)()()()(sCSHSRSE)(

15、)()(sGSESC( )( )( )1( ) ( )C sG sR sG s H s=+)()()()()(sCSHSRsGSC)(sR)(sC)(sG)(sH)(sE)(sG1G(s)-H(s)C(s)R(s)E(s)1(4) 典型信号流图42331211fxaxxexxxxx435245xbxxdxcxgx由图得：(5) 常用术语常用术语【源节点】【输入节点】:只有信号输出支路，没有信号输入支路。e1abcdfghC(s)R(s)输入节点输入节点输出节点输出节点混合节点混合节点混合节点混合节点【阱节点】【输出节点】：只有信号输入支路，没有信号输出支路。【混合节点】：既有信号输出支路，又有

16、信号输入支路。【前向通路】：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一 次的通路。前向通路上个支路增益的乘积称为【前向通路总增益】。【回路】【单独回路】：起点和终点在同一节点，而且信号通过每个节点不多于一次的闭合通路。【不接触回路】：回路之间没有公共节点。前向通路前向通路增益1pabc=前向通路前向通路增益2pd=回路1回路1增益1lae=回路2回路2增益2lbf=回路3回路3增益3lg=回路1和回路3回路2和回路354321xxxxx521xxx232xxx343xxx55xx 三、信号流图的绘制三、信号流图的绘制1、 由系统微分方程绘制信号流图：先取拉氏变换，再绘制。 例2-172、

17、由系统结构图绘制信号流图1.结构图的输入处加输入结构图的输入处加输入节点节点,标标“输入变量名输入变量名”.2.方框间的连接线中应加方框间的连接线中应加信号节点信号节点,标标”线输变量名线输变量名”.3.连线分流处应加信号节点连线分流处应加信号节点,标标”线输变量名线输变量名”.4.比较点处应在比较点的信号比较点处应在比较点的信号流出处标加信号节点流出处标加信号节点,标标”比较比较点输出变量名点输出变量名”.5.结构图的输出处加输出结构图的输出处加输出节点节点,标标“输出变量名输出变量名”.(3) 比较点和节点对应关系四、四、梅森公式的推导梅森公式的推导1bdelk1gfhmRCV1V2V3已

18、知信号流图如图所示，所对应的代数方程为以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程RfbVVVkdehglm01101321bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV于是可求得该方程组的系数行列式1011(1)(1)(1)(1)11 ()mlghedkmhgkldlhm kemhmhgkldldlhkemkemdlkehgklmhdlhmke 和 RbgdlmfbdegbRdlfRdebRfRmdefRglbRm)1 ()1 (1012RfbVVVkdehglm01101321根据克莱姆法则得 mkedlhmhgklhkedlmRbgdlmfbdeVC)(1)1 (22于是传

19、递函数为mkedlhmhgklhkedlmbgdlmfbdeRsRsCs)(1)1 ()()()(2 分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。 图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路和、和、和） 1bdelk1gfhmRCV1V2V3gklhkedlmLii所有单独回路增益之和为 两两互不接触回路增益乘积之和为 dlhmhmkeLLkjkj,而值恰好为 mkedlhmhgklhke

20、dlmLLLkjkjii)(11,可见，传递函数的分母取决于信号流图的拓扑结构特征。 mkedlhmhgklhkedlmbgdlmfbdeRsRsCs)(1)1 ()()()(2 如果把中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示 前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1mldR V1 V2 CP3=bg3=11bdelk1gfhmRCV1V2V3mkedlhmhgklhkedlmLLLkjkjii)(11,mkedlhmhgklhked

21、lmbgdlmfbdeRsRsCs)(1)1 ()()()(2故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为 ( )( )/( )/kkksC sR sPnkkkpP11 具有任意条【前向通路前向通路】及任意个【单独回路单独回路】和【不接触不接触回路回路】的复杂信号流图，求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的Mason增益公式为：P：为从源点到阱点的传递函数【总增益】四、梅森增益公式四、梅森增益公式【流图特征式流图特征式 】：1La+ LbLc- LdLeLf.其中n：为从源点到阱点的前向通路总数Pk：为从源点到阱点的第k条前向通路总增益La所有单独回路增益之和。 Lb Lc所有互不接

22、触单独回路中，每次取2个回路的回路增益乘积之和。 Ld Le Lf所有互不接触单独回路中，每次取3个回路的回路增益乘积之和。【流图余因子式流图余因子式 k】：等于流图特征式中除去与第k条前向通路相接触回路增益的余项。（包括回路增益乘积项）（1）对于给定的系统信号流图，流程特征式确定不变。Mason公式说明公式说明（2）对于不同的源节点和阱节点的前向通路和余因子i不同。前向通路个数为前向通路个数为n=2,增益分别为增益分别为abcd , ebfdhdhcgbfabcdcgbfePPpPnkkk1)(1 (122111单独回路单独回路3个，增益分别为个，增益分别为bf , cg , dh两不互接触

23、回路两不互接触回路1个，增益为个，增益为bfdhbfdhdhcgbf 1111 ()Pebfcg 122abcdP例例2-10例例2-11前向通路个数为前向通路个数为n=2,增益分别为增益分别为单独回路单独回路5个，增益分别为个，增益分别为32141242321211GGGGGHGHGGHGG41GG121HGG321GGG232HGG321GGG41GG24HG321412423212141321111GGGGGHGHGGHGGGGGGGpPinii没有不接触回路没有不接触回路,且所有回路均与两条前向通路接触且所有回路均与两条前向通路接触解：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如

24、下： 例例2-122-12：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。11RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo)(suesC1121R1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21图中，有一个前向通道；2221111sCRCRP 有三个回路；sCRsCRsCRLa122211111有两个互不接触回路；221212211111sCCRRsCRsCRLLcb1i（因为三个回路都与前向通道接触。）1)(112122112212111sCRCRCRsCCRRPPkkk传递函数为：1111iueuu2IouI1I11ab11R2

25、1RsC11sC212212112221111111sCCRRsCRsCRsCR讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，总传输将不一样。不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iueuu2IouI1Iab11R21RsC11sC21上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。为什么？11RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo)(suesC1121R 例例2-132-13：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数)

26、()(,)()(sRsEsRsC解：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：+-1G2G3G4G1H2HRECRCE1G2G3G1H2H21HH4G回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：213212311,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211, 1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk求 ：)()(sRsCRCE1G2G3G1H2H21HH4G,3211GGGP 432GGP 前向通道有二，分别为:求 ：)()(sRsERCE1G2G3G1H2H21

27、HH4G（兰线表示）23111, 1HGP 不变。1,221432HHGGP（红线表示）2143231HHGGHGP注意：上面讲 不变，为什么？ 是流图特征式，也就是传递函数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总是不变的，可以试着求一下。注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递函数：一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的

28、结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数 例例2-142-14数数有几个回路和前向通道。RC111117G1G2G3G4G8G5G6G1H2H148211472114321221HGGGGHGGGGHGGGGHG 有四个回路，分别是：14821147211432122,HGGGGHGGGGHGGGGHG它们都是互相接触的。43211GGGGP 47212GGGGP 48213GGGGP 43254GGGGP 47255GGGGP 48256GGGGP 4367GGGP 4868GGGP 472269GGGHGP 有九条前向通道，分别是： 对应的结构图为：-+RC5G6G1G2G3G8G4G

29、7G2H1H为节点RC111117G1G2G3G4G8G5G6G1H2H注意：信号流图与结构图的对应关系；仔细确定前向通道和回路的个数。五、闭环系统的传递函数1212212( )( )( )( )1( )( )( )( )( )1( )( )( )G s G sC sR sG s G s H SG sN sG s G s H S()R s()B s-()E s1()G s()H s2()G s()N s()C s求下图在输入和扰动共同作用下的输出【说明】叠加定理是指总输出等于各输入作用下响应的叠加12( )( )( )( )( )( )( )C sCsC sR sN sR sN s把不同输入输

30、出下的传递函数叠加没有任何意义)(/)(sEsB通常指)(sH否则非单位反馈系统, 1)(sH( )R s( )B s-( )E s1( )Gs( )H s2( )Gs( )N s( )C s( )R s1112G2G1GEH-CE( )C s( )N s几个常用的术语【说明】前向通路传递函数: 反馈通路传递函数:单位反馈系统:)()(21sGsG开环传递函数: 闭环传递函数:)(/ )()(/ )()(sNsCsRsCsC，数，如为输出量的系统传递函以1、 输入信号下的闭环传递函数：令令N(s)=0,N(s)=0,得得)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCs

31、2、 扰动作用下的闭环传递函数：令令R(sR(s)=0,)=0,得得)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCsN( )R s( )B s-( )E s1( )Gs( )H s2( )Gs( )N s( )C s( )R s1112G2G1GEH-CE( )C s( )N s 系统输出只取决于反馈通路传递函数和H(s)和输入信号R(s)。与前向通路传递函数无关,也不受扰动作用的影响.)()()()(1)()()()(212sNsHsGsGsGsNssCN系统在扰动作用下的输出为系统在扰动作用下的输出为系统在有用输入和扰动同时作用下的输出为系统在有用输入和扰动同时作用下的输出为

32、的条件，则和如果满足1)()(1)()()(121sHsGsHsGsG)()()()(1)()()()()(1)()()()()()()(2122121sNsHsGsGsGsRsHsGsGsGsGsNssNssCN)()(1)(sRsHsC特别是当 H(s)=1，即单位反馈时，C(s)R(s),从而近似实现了对输入信号的完全复现，且对扰动具有较强的抑制能力。 ( )R s( )B s-( )E s1( )Gs( )H s2( )Gs( )N s( )C s)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEse)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEsen说明说明: :闭环系统在输入信号和扰动作用时闭环系统在输入信号和扰动作用时,以误差信号以误差信号E(s)作为输出量的传递函数称为误差传递函数作为输出量的传递函数称为误差传递函数.1.各种闭环系统传递函数的分母相同各种闭环系统传递函数的分母相同,是同一个信号流图的特征式是同一个信号流图的特征式.