高中数学(人教版)傅里叶级数第一课时课件.

1、第七讲第七讲 傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数一、三角级数一、三角级数二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数傅里叶级数傅里叶级数一、三角级数一、三角级数二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数简单的周期运动简单的周期运动)sin(tAy复杂的周期运动复杂的周期运动)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt)sincos(210 xnbxnaannk三角级数三角级数引言引言( A：振幅：振幅 ：角

2、频率：角频率：初相：初相 ) 傅里叶级数傅里叶级数一、三角级数一、三角级数二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数傅里叶级数傅里叶级数一、三角级数一、三角级数二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数简单的周期运动简单的周期运动)sin(tAy复杂的周期运动复杂的周期运动)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函数周期函数研究问题研究问题)(xf在什么条件下能展开为三角级数在什么条件下能展开为三角级数;)(xf的展开式在什么范围内成立

3、的展开式在什么范围内成立;)(xf的展开式是否唯一的展开式是否唯一;)(xf的展开式如何确定的展开式如何确定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角频率：角频率：初相：初相 ) 简单的周期运动简单的周期运动)sin(tAy复杂的周期运动复杂的周期运动)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函数周期函数研究问题研究问题)(xf在什么条件下能展开为三角级数在什么条件下能展开为三角级数;)(xf的展开式在什么范围内成立的展开式在什么范围内成立;)(xf的展开式是否唯一的展开式是否唯一;)(xf的展开式如何确定的展开式如何确定.？ ？( A：振幅：振

4、幅 ：角频率：角频率：初相：初相 ) 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 则有则有),1,0(dcos)(1 nxnxxfan),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn定理定理l注注,1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx在在-,上正交上正交 ,上的积分等于上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在-,组成三角级数的三角函数系组成三角级数的三角函数系简单的周期运动简单的周期运动)sin(tA

5、y复杂的周期运动复杂的周期运动)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函数周期函数研究问题研究问题)(xf在什么条件下能展开为三角级数在什么条件下能展开为三角级数;)(xf的展开式在什么范围内成立的展开式在什么范围内成立;)(xf的展开式是否唯一的展开式是否唯一;)(xf的展开式如何确定的展开式如何确定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角频率：角频率：初相：初相 ) 简单的周期运动简单的周期运动)sin(tAy复杂的周期运动复杂的周期运动)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函

6、数周期函数研究问题研究问题)(xf在什么条件下能展开为三角级数在什么条件下能展开为三角级数;)(xf的展开式在什么范围内成立的展开式在什么范围内成立;)(xf的展开式是否唯一的展开式是否唯一;)(xf的展开式如何确定的展开式如何确定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角频率：角频率：初相：初相 ) 简单的周期运动简单的周期运动)sin(tAy复杂的周期运动复杂的周期运动)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函数周期函数研究问题研究问题)(xf在什么条件下能展开为三角级数在什么条件下能展开为三角级数;)(xf的展开式在什么范围内成立的展开式

7、在什么范围内成立;)(xf的展开式是否唯一的展开式是否唯一;)(xf的展开式如何确定的展开式如何确定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角频率：角频率：初相：初相 ) 10sincos2)(nnnxnbxnaaxf的傅的傅里里叶系数叶系数 ;由公式由公式 确定的确定的nnba ,称为函数称为函数f(x),1,0(dcos)(1 nxnxxfan),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn定义定义以以f (x)的傅里叶系数为系数的三角级数的傅里叶系数为系数的三角级数 称为称为f(x)的的傅傅里里叶级数叶级数 . cossinnnnaanxbnx 012记作：记作： ( ) cossinnnnaf xa

8、nxbnx012 若等式若等式成立，则称成立，则称式为式为f(x)的的傅里叶展开式傅里叶展开式设设 f (x) 是周期为是周期为2 的周期函数，的周期函数， 如果它满足如果它满足:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内至多只有有限个极值点在一个周期内至多只有有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 并且并且当当x 为为f (x)的间断点时的间断点时,级数收敛于级数收敛于 当当x 为为f (x)的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于);(xf).()(21 xfxf设设 f (x) 是周期为是周

9、期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为), 0,10,1)(xxxf将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. oyx11u例例11( )cosd(0,1,)naf xnx xn),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn和函数的图形和函数的图形 oyx11傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近f (x)的情况的情况),2,0,( xx77sin x99sinx33sinsin4)(xxxf55sin xf (x)的傅里叶展开式的傅里叶展开式xoy 0,00,)(xxxxf将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 2332上的表达式为上的表达式为

10、), 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 u例例2)(xf周期延拓周期延拓傅傅里里叶展开叶展开在在, 上有定上有定义义)(xF周期为周期为2在在),( 内内)()(xfxF )(xf在在, 上的傅里叶展开式上的傅里叶展开式展开思路展开思路u例例3展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数, 其中其中E 是正的常数是正的常数 .将函数将函数,2sin)( ttEtutOu 22 E傅里叶级数傅里叶级数一、三角级数一、三角级数二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数傅里叶级数傅里叶级数一、三角级数一、三角级数二、函数

11、展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数 对周期为对周期为 2 的奇函数的奇函数 f (x) ,对周期为对周期为2 的偶函数的偶函数 f (x) , ),2,1,0( dcos)(20 nxnxxfan),3,2,1( 0 nbn),2,1,0( 0 nan 0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn其傅其傅里里叶系数为叶系数为其傅其傅里里叶系数为叶系数为此时其傅里叶此时其傅里叶级数为只含有正弦项的级数为只含有正弦项的正弦级数正弦级数.此时此时其傅里叶级数为只含有常数项和余弦项的

12、其傅里叶级数为只含有常数项和余弦项的余弦级数余弦级数. u例例4 yxo将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数.是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,)(xf它在它在), 上的表达式为上的表达式为xxf )(设设u例例5将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数.是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,)(xf它在它在), 上的表达式为上的表达式为|)(xxf 设设oyx22 )(xf奇延拓奇延拓傅傅里里叶展开叶展开在在, 0上有定义上有定义)(xF在在, 0(上上)()(xfxF 展开思路展开思路定义在定义在,( 上上,在在),( 上为上为奇函数奇函数)(xf的正弦级数的正弦级数展开式展开式(偶延拓偶延拓)(偶函数偶函数)(余弦函数余弦函数)u例例6分别展开成正弦级数和余弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数.将函数将函数 )(xfxcos20 x02 xxyO22 )(x