全等三角形之截长补短法

1、创作时间：二零二一年六月三十日例题1之南宫帮珍创作创作时间：二零二一年六月三十日如图所示，在RtzABC中，ZC=90,BC=AC,AD平分/BAC交BC于D,求证：AB=AC+CD考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：利用已知条件，求得/B=/E,/2=/1,AD=AD,得出ABDAED(AAS),AE=AB.;AE=AC+CE=AC+CDJAB=AC+CD解答：在证法一：如答图所示，延长AC,至UE使CE=CD,连接DEE./ACB=90,AC=BC,CE=CD,./B=/CAB=45,/E=/CDE=45,./Bu/E.AD平分/BAC,/1=/2在ABD和AED中，/B=/

2、E,/2=/1,AD=AD,ABDAED(AAS).AE=ABAE=AC+CE=AC+CD,AB=AC+CD证法二：如答图所示，在AB上截取AE=AC,连接DE,AD平分/BAC,创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日AkCDB./1=/2在AACD和AAED中，AC=AE,/1=/2,AD=AD,.ACDAED(SAS./AED2C=90,CD=ED,又AC=BC,./B=45,./EDB=/B=45,.DE=BE,CD=BE;AB=AE+BE,.AB=AC+CD点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形

3、各边之间的关系.例题2图，AD是ABC中BC边上的中线，求证：AD<5(AB+AC.bD,考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系.专题：计算题.分析：可延长AD至(JE,使AD=DE,连BE,则AACNEBD导BE=AC,进而在ABE中利用三角形三边关系，证之.创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日解答：3证明：如图延长AD至E,使AD=DE,连接BE.;BD=DC,AD=DE,/ADC=EDB=AC乎EBD=AC=BEAABE中,AE<AB+BE,即2AD<AB+AC.AD</(AB+AC点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的

4、三边关系问题，能够熟练掌握.在ABC中，/ACB=90,AC=BC,直线MNg过点C,且AD±MN于D,BEXMNTE.(1)当直线MNg§点C旋转到图1的位置时,求证：DE=AD+BE(2)当直线MNg§点C旋转到图2的位置时，试问DEADBE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.匚图考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.专题：证明题.分析：(1)由已知AC=BC,/ADC=CEB=90,利用互余关系可证/DACNECB,可证ACNCBE,得AD=CE,CD=BE,故创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日AD+BE

5、=CE+CD=QE(2)止匕时，仍有AC乎CBE,AD=CE,CD=BE,利用线段的和差关系得DE=AD-BE解答：证明：(1)./DACVACD=90,/ACD+ECB=90,/DACNECB,又AC=BC,/ADCNCEB=90,.AC*CBE,AD=CE,CD=BE,.DE=CE+CD=AD+BE(2)DE=BE-AD仿照(1)可证AC乎ACBE,/.AD=CE,CD=BE,.DE=CD-CE=BE-AD点评：本题考查了用旋转法寻找证明三角形全等的条件，关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进如图，点P在/AOB勺内部，点MN分别是点P关于直线OAOB的对称点，线段MNOAOB于点

6、E、F,若4PEF的周长是20cm,则线段MN的长是20cm.考点：轴对称的性质.分析：根据轴对称的性质可知：EP=EM,PF=FN,所以线段MN的长=zPEF的周长.解答：解：根据题意,EP=EM,PF=FN,MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=PEF的周长,MN=20cm点评：主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等.(1)如图所示，已知ABC中，/ABC/ACB的平分线相交于点O.试说明/BOC=90+$frac12$/A;(2)如图所示，在4创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日ABC中，BD、CD分别是/ABC/ACB的外角平分

7、线.试说明/D=90-$frac12$/A;(3)如图所示，已知BD为4ABC的角平分线，CD为ABC外角/ACE的平分线，且与BD交于点D,试说明/a=2/D.考点：三角形的外角性质；角平分线的界说；三角形内角和定理.分析：(1)根据三角形角平分线的性质可得，/BOC+OCB=90-$frac12$/A,根据三角形内角和定理可得/BOC=90+$frac12$/A;(2)根据三角形外角平分线的性质可得/BCD=$frac12$(/A+/ABC、/DBC=$frac12$(/A+/ACB；根据三角形内角和定理可得/BDC=90-$frac12$/A;(3)根据BD为4ABC的角平分线，CD为A

8、ABC外角/ACE的平分线，可知，/A=180-/1-/3,/D=180-Z4=25=180-/3-$frac12$(/A+2/1),两式联立可得2/D=/A.解答：解：(1)在ABC中，OB、OC分别是/ABC/ACB的平分线，/A为x./BOC+OCB=$frac12$(180-/A)创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日=$frac12$X(180-x)=90-$frac12$/A故/BOC=180-(90-$frac12$/A)=90+$frac12$/A;(2)BDCD为ABC两外角/DBG/BCE的平分线/A为x./BCD=$frac12$(/A+/ABC、/

9、DBC=$frac12$(/A+/ACB由三角形内角和定理得，/BDC=180-/BCD-/DBC=180-$frac12$ABC吆ACB=180-$frac12$(/A+180)=90$frac12$/A;(3)如图：:BD为ABC的角平分线为ABC外角/ACE的平分线1=/2,/5=$frac12$/3=/4,在ABE中,/A=180-/1-/3-在/D=180-/4-/5=180-/3-$frac12$即2/D=360-2/3-/A-2/A-，把代入得2/D=/A.点评：此类题目比力简单，考查的是三角形内角与外角的关系角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的惯例题.如图，直线a、b

10、、c暗示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站.要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处.考点：三角形的内切圆与内心；直线与圆的位置关系.创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日专题：应用题.分析：依题意可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部，其圆心就是可供选择的地址.解答：解：可作四个圆分别与三条直线相切，其中三个在三角形外部，一个在三角形内部.故填4.点评：本题涉及圆的相关知识，难度中等.如图甲所示，在ABC中，AB=AC,在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和即是定长（腰上的高），即PD+PE=CF,若P点在BC的延长

11、线上，那么请你猜想PDPE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证考点：等腰三角形的性质；三角形的面积.专题：证明题.分析：猜想：PDPE、CF之间的关系为PD=PE+CF根据.Sapab=i11112AB?PD,Sapac=2AC?PE,Sacab=2AB?CF,Sapac=2AB?PE,2AB?PD=2AB?CF+5AB?PE,即可求证.解答：猜想：PDPE、CF之间的关系为PD=PE+CF证明：连接12AC?PE,SACAB=1AP,则Sapac+Sacab=Sapab,Sapab=AAB?PD,Sapac=iiill2AB?CF,又AB=AC,SapaC=2AB?PE,2AB

12、?PD=AAB?CF+2AB?PE,即弘B(PE+CF=AB?PD,.PD=PE+PF创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是先猜想出PDPE、CF之间的关系为PD=PE+C再证明.如图，zABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD,试判断BDE的形状.考点：等腰三角形的判定；等边三角形的性质.分析：因为ABC是等边三角形，所以/ABC玄ACB=60,BD是AC边上的中线，则/DBC=30,再由题中条件求出/E=30,即可判断BDE的形状.解答：证明：.ABC是等边三角形./ABC之AC

13、B=60vAD=CD./DBC=5/ABC=30;CE=CD./CDENE/ACB之CDE廿E：/E=30./DBEhE：BD=DE.BDE是等腰三角形.点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解.考查了学生综合运用数学知识的能力，获得/E=30是正确解答本题的关键.（2007?吉林）某家电商场经销A,B,C三种品牌的彩电，五月份共获利48000元.已知A种品牌彩电每台可获利100元，B种品牌彩电每台可获利144元，C种品牌彩电每台可获利360元.请你根据相关信息，补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分创作时间：二零二一年六月三

14、十日创作时间：二零二一年六月三十日数的扇形考点：扇形统计图；条形统计图.专题：图表型.分析：根据获利总数与扇形图，可计算出B型彩电的获利，进而求出B型彩电的数目；接着可求出C型彩电的获利和台数；利用A、C型的获利和获利总数分别求出它们所获利润的百分数，进而补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图即可.解答：解：根据题意可得：五月份共获利48000元，B种品牌彩电获利占30%,即获利48000X30%=14400元，故B种品牌彩电的台数为14400+144=100台，则C种品牌彩的台数为(48000-120X100-14400)+360=60台;据此可补全条形创作时间：二零二一年六月三

15、十日创作时间：二零二一年六月三十日（4分）五月份共卖出（120+100+60）=280台，其中A种品牌彩电120台，占获利的25%,B种品牌彩100台占获利的30%,C种品牌彩电60台，占获利的45%,据此可补全扇形图.各品牌彩电所获利润的百分数s图（6分）说明：条形图中每画对1个条形图得（2分）.扇形图中每填对个扇形得（1分）.扇形图中若标成暗示A,C计算的百分数正确填图不正确，扣（1）.如另画扇形图正确也得分.点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从分歧的统计图中获得需要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地暗示出每个项目的数据；扇形统计图中各部份占总体的百分

16、比之和为1,能直接反映部份占总体的百分创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日如图所示，已知EMAB于点A,CDLDF于点D,AB/CD,请判断EA与DF的位置关系，并说明理由.考点：平行线的判定；垂线；平行线的性质.专题：探究型.分析：首先由AB/CD,根据两直线平行，内错角相等，获得/BAD之ADC,再根据垂直的界说获得/EAB=/CDF=90,则/EAB+/BAD之CDF吆ADC,即/EADNADF,满足关于EA/DF的条件：内错角相等，两直线平行.解答：解：EA/DF.理由如下：:EA!AB于点A,CD，DF于点D（已知），./EAB=90,/CDF=90（垂直界说

17、）.;AB/CD（已知）,BAD之ADC（两直线平行，内错角相等），EABtZBADNCDF吆ADC,即/EAD之ADF,fEA/DF（内错角相等，两直线平行）.点评：本题考查了平行线的性质，垂直的界说以及平行线的判定定理.（2002?河南）如图，ABIICD,直线EF分别交ARCD于E、F,EG平分/BEF,若/1=72°,则/2=54度.考点：平行线的性质；角平分线的界说.专题：计算题.创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日分析：两直线平行，同旁内角互补，可求出/FEB,再根据角平分线的性质，可获得/BEG,然后用两直线平行，内错角相等求出/2.解答：解：A

18、B/CD,./BEF=180-Z1=180-72=108,/2=/BEG,又EG平分/BEF,./BEG=/BEF=2乂108=54,故/2=/BEG=54.点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补.（2006?年夜连）在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是试写出y与x的函数关系式.（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率酿成上求x和y的值.考点：概率公式；二元一次方程组的应用.有,is分析：（1）根据概率的求法：在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，共x+y颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是率二雪成立.

19、化简可得y与x的函数关系式；（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，在盒中有10+x+y颗棋子，则取得黑色棋子的概率酿成5,结合（1）的条件，可得J_3工+8J+101t+10-2解可得x=15,y=25.解答：解：（1）根据题意得:（3分）整理，得8x=3x+3y,（4分）5x=3y,卫二科；（5分）（2）解法创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日根据题意工十1口工+什1口1-2(7分)整理，得2x+20=x+y+10,y=x+10,(8分)5x=3(x+10),x=15,y=25.解法二：J：4-10_13ya(2)根据题意，可得+?+10-2,整理得3=工+10,解得二

20、二15&=25.(8分)点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A呈现m种结果，那么事件A的概率P(A)=果.如图，在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.(1)证明：/CAENCBF(2)证明：AE=BF考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.专题：证明题.分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得CH平分/ACB,再证明ACE和BCF全等，然后根据全等三角形对应角相等和全等三角形对应边相等即可证明.解答：(1)证明：在等腰ABC中，:CH是底边上的高线，./(AC-BG(ACH=aECHACH2BCH,在ACE和BCF中，=,.ACEBCF(SAS),./CAE之CBF(全等三角形对应角相等)；(2).ACNBCF(SAS»,AE=BF(全等三角形对应边相等).创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日点评：本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形的性质