小波变换ppt课件

1、第章小波变换第章小波变换v8.1 延续小波变换的根本概念和性质延续小波变换的根本概念和性质v8.2 常用的小波函数常用的小波函数v8.3 尺度因子离散化的小波变换及小波标尺度因子离散化的小波变换及小波标架架v8.4 离散小波变换的多分辨率分析离散小波变换的多分辨率分析v8.5 Mallat算法及实现算法及实现v8.6 小波变换小结小波变换小结v 第章小波变换第章小波变换v 自从自从1822年傅里叶年傅里叶(Fourier)发表发表“热传导解析实际以来，傅里叶变换不断是信号处置领域中最完美、运用最广泛、效果最好的一种分析手段，但傅里叶变换只是一种纯频域的热传导解析实际以来，傅里叶变换不断是信号处

2、置领域中最完美、运用最广泛、效果最好的一种分析手段，但傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的(即频域分辨率最高即频域分辨率最高)，而在时域无任何定位性，而在时域无任何定位性(或分辨才干或分辨才干)，也即傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提，也即傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何部分时间段上的频率信息。相反，当一个函数用供任何部分时间段上的频率信息。相反，当一个函数用函数展开时，它在时间域的定位性是完全准确的，而在频域却无任何定位性函数展开时，它在时间域的定位性是完全准确的

3、，而在频域却无任何定位性(或分辨才干或分辨才干)，也即，也即函数分析所反映的只是函数分析所反映的只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。实践中，对于一些常见的非平稳信号，如音乐信号，在不同时间演奏不同音符；语音信号，在不同信号在全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。实践中，对于一些常见的非平稳信号，如音乐信号，在不同时间演奏不同音符；语音信号，在不同时间对应不同音节；地震信号，在目的出现的位置对应一个回波信号等，它们的频域特性都随时间而变化，因此也可称它们为时变信号。对这一类时变信号进展分析，时间对应不同音节；地震信号，在目的出现的位

4、置对应一个回波信号等，它们的频域特性都随时间而变化，因此也可称它们为时变信号。对这一类时变信号进展分析，v ，通常需求提取某一时间段(或瞬间)的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于傅里叶分析和分析之间的，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号，不断是信号处置界及数学界人士长期以来努力的目的。v 为了研讨信号在部分时间范围的频域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor变换，之后又进一步开展为短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform，简记为STFT，又称为加窗傅里叶变换)。目前，STFT已在许多领域获得了广泛的运用，但由于ST

5、FT的定义决议了其窗函数的大小和外形均与时间和频率无关而坚持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。高频信号普通继续时间很短，而低频信号继续时间较长，因此，我们期望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号那么采用大时间窗进展分析。在进展信号分析时，这种变时间窗的要求同STFT的固定时窗(窗不随频率而变化)的特性是相矛盾的，这阐明STFT在处置这一类问题时已无能为力了。此外，在进展数值计算时，人们希望将基函数离散v离散化，以节约计算时间及存储量，但Gabor基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，因此给数值计算带来不便，这些是Gabor变换的缺乏之处，但恰恰是小波变换的专长所在。小波变换不仅承继和

6、开展了STFT的部分化的思想，而且抑制了窗口大小不随频率变化，缺乏离散正交基的缺陷，是一种比较理想的进展信号处置的数学工具。v8.1 延续小波变换的根本概念和性质v8.1.1 小波变换的定义v 给定一个根本函数，令v v 8.1 v式中 均为常数，且 。显然， 是根本函数先作移位再作伸缩以后得到的。假设不断地变化，我们可得到一族函数 。给定二次方可积的信号 ，即 ，那么 的小波变换WT，Wavelet Transform定义为)(1)(,abtatba0aba,)(,tba)(,tba)( tx)()(2RLtx)(txv v 8.2v式中 和 均是延续变量， 是 的共轭函数，因此该式又称为延

7、续小波变换CWT。如无特别阐明，式中及以后各式中的积分都是从 到 。信号 的小波变换 是 和 的函数， 是时移， 是尺度因子。根本小波函数 又称为根本小波，或母小波。 是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，式8.2中的WT又可解释为信号 和一族小波基的内积。v 根本小波可以是实函数，也可以是复函数。假设 是实信号，那么 是实函数， 也是实函数，反之， 为复函数。)(),()()()()(1),(,ttxdtttxdtabttxabaWTbabaxba,t) t (*)t()(tx),(baWTxbaba)(t)(,tba)(tx)(tx)(t),( b

8、aWTx),( baWTxv在式8.1中，b的作用是确定对 分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子 的作用是把根本小波 作伸缩。我们知道，由 变成 ，当 时，假设 越大，那么 的时域支撑范围即时域宽度较之 变得越大；反之，当 时，假设 越小，那么 的宽度越窄。这样， 和 结合确定了对 分析的中心位置及分析的时间宽度，如图8.1所示。v 这样，式8.2的WT可了解为用一族分析宽度不断变化的基函数对 作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好顺应了我们对信号分析时在不同频率范围所需求不同的分辨率这一根本要求。式8.1中的因子 是为了保证在不同的尺度 时， 一直能和根本小波 有着一样的能量，即)(tx

9、a)(t)( t)(at1aa)(at)(t1aa)(atab)(t)(txa1a)(,tba)(tdtabtadttba22,)(1)(v a)v b)v c) d) v 图8.1 根本小波的伸缩及参数和对分析范围的控制va)根本小波，b ， c) 不变， d)分析范围)( t)(bt b)(abt bttta2a4a3abab0b1ab2av令 ，那么 ，这样，上式的积分即等于 。v令 的傅里叶变换为 ， 的傅里叶变换为 ，由傅里叶变换的性质， 的傅里叶变换为：v 8.3v由Parsevals定理，式8.2可重新表示为：v 8.4v此式即为小波变换的频域表达式。 v8.1.2 小波变换的特

10、点v 下面，我们从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以便对tabttaddtdtt2)()(tx)(X)(t)()(,tba)(1)(,abtatbabjbaeaa)()(,)(),(21),(,baxXbaWTdeaXabj)()(2v小波变换有更深化的了解。v 比较式8.2和式8.4，对小波变换的两个定义可以看出，假设 在时域是有限支撑的，那么它和 作内积后将保证 在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使 反映的是 在b附近的性质。同样，假设 具有带通性质，即 围绕着中心频率是有限支撑的，那么 和 作内积后也将反映 在中

11、心频率处的部分性质，从而实现好的频率定位性质。显然，这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波 ，使其在时域和频域都是有限支撑的。v 假设 的时间中心是 ，时宽是 ， 的频率中心是v ，带宽是 ，那么 的时间中心仍是 ，但时宽变成 ， 的频谱 的频率中心变为 ，带宽变成 。这样， 的时宽带宽积仍是 ，与 无关。 )(,tba)(tx),( baWTx),(baWTx)(tx)(,ba)(,ba)(,ba)(X)(X)(t)(t0tt)(0)(at0tta)(at)( aaa0/a/)(attav这一方面阐明小波变换的时频关系也遭到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是提示了小波变

12、换的一个性质，也即恒Q性质。定义:v =带宽/中心频率 (8.5)v为母小波 的质量因数，对 ，其带宽/中心频率=v因此，不论 为何值 ， 一直坚持了和 具有性同的质量因数。恒Q性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛运用的一个重要缘由。图8.2阐明了和的带宽及中心频率随变化的情况。0Q/)(t)(atQaa00/a)0(a)(at)(tv(a) (b) (c)v 图8.2 随 变化的阐明 0 aa2/21a2a2/1a)( aav将图8.1和图8.2结合起来，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当 变小时，对 的时域察看范围变窄，但对 在频率察看的范围变宽，且察

13、看的中心频率向高频处挪动，如图8.2.c所示。反之，当 变大时，对 v 的时域察看范围变宽，频域的察看范围变窄，且分析的中心频率向低频处挪动，如图8.2b所示。将图8.1和8.2所反映的时频关系结合在一同，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图8.3所示。v由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图8.3中三个时、频分析区间即三个矩形的面积坚持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。该分析窗口在高频端图中 处的频率分辨率不好矩形窗的频率边变长，但时域的分辨率变好矩形的时间边变短；反之，在低频端图中 处，频率分辨率变好

14、，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图8.3中分析窗的面积坚持不变，也即时、频分辨率可以随分析义务的需求作出调整。a)(tx)(Xa)(tx0220/v 图8.3 a取不同值时小波变换对信号分析的时频区间022 /002t) 2/ 1( a) 1( a) 2( a/22/2ttv众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变时那么要求时域分辨率要好以顺应快变成份成份，如峻峭的前沿、后沿、尖脉冲等。对这一类信号分析间隔短的需求，对频域的分辨率那么可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时普通希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以

15、放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实践的需求。v总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的对信号作高频分析时，我们实践上是用低频小波对信号作概貌察看,小波变换的这一特点即既符合对信号作实践分析时的规律，也符合人们的视觉特点。综上所述，由于小波变换信号作概貌察看,小波变换的这一特点即既符合对信号作实践分析时的规律，也符合人们的视觉特点。综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调理对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜。v8.1.3 8.1.3 延续小波变换的根本性质延续小波变换的根本性质v1 1时移性质时移性质v

16、假设假设 的的CWTCWT是是 ，那么，那么 的的CWTCWT是是 。该结论极易证明。该结论极易证明。记记 ，那么，那么v 8.68.6 v 2 2尺度转换性质尺度转换性质v 假设假设 的的CWTCWT是是 ，令，令 ，那么，那么v 8.78.7v )(tx),(baWTx)(tx),(baWTx)()(txtydtabttxa1baWTy)()(),(t dabttxa1)()(),(baWTx)(tx),(baWTx)()(txty),(1),(baWTbaWTxyv证明： ，令 ，v那么 v该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在 和 两个轴上同时要作一样比例的伸缩，但小波变

17、换的波形不变。这是小波变换优点的又一表达。v3微分性质v 假设 的CWT是 ，令 ，那么v 8.8dtabttxabaWTy)()(1),(ttt d1abttxa1baWTy)()(),(dtabttxa)()(11),(1baWTxab)(tx),( baWTx)()()(txdttdxty),(),(baWTbbaWTxyv证明：v由式8.6的移位性质，有v即 v4两个信号卷积的CWT v 令 的CWT是 及 ，并令v ，那么有 dtabtdttdxabaWTy)()(1),(dtabtttxttxaLimt)()()(10dtabttxadtabtttxatLimt)()(1)()(1

18、10tbaWTtbaWTLimbaWTxxty),(),(),(0),(),(baWTbbaWTxy)(),(thtx),(baWTx),(baWTh) () () (thtxtyv 8.9v式中符号 表示对变量 作卷积。v证明：v由式8.6的移位性质，有v同理， v于是式8.9得证。 ),()(),(baWTtxbaWThby),()(baWTthxbbbdtabtdthxabaWTy)()()(1),( ddtabtthax)()(1)(dbaWTxbaWThy),()(),(dbaWThbaWTxy),()(),(v5两个信号和的CWTv 令 的CWT分别是 ，且v ，那么v 8.10v

19、同理，假设 ，那么v 8.11v式8.10，8.11阐明两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足叠加原理。v6小波变换的内积定理v 设 和 ， 的小波变换分别是v 和 ，那么v 8.12 )(),(21txtx),(),(21baWTbaWTxx)()()(21txtxtx),(),(),(21baWTbaWTbaWTxxx)()()(2211txktxktx),(),(),(2211baWTkbaWTkbaWTxxx)(),(21txtx)()(RLt2)(),(21txtx),(1baWTx),(2baWTx )(),(),(),(212021txtxCdbadabaWTba

20、WTxxv式中 ， 为 的傅里叶变换。v证明：由式8.4关于小波变换的频域定义，式8.12的左边有： dC02)()()(tdbadadeaXdeaXabjbj22102)()()()(4 dbeddaaXXadabj )(2102)()()()(4 ddaaXXada)()()()()(2210 daXXa2da2210)()()(dXXadaa212102)()()()(v假定积分v存在，再由Parseval定理，上述的推导最后为v于是定理得证。v式8.12实践上可看作是小波变换的Parseval定理。该式又可写成更简单的方式,即v (8.13)v进一步，假设令 ，有v (8.14) ca

21、daa 0202)()()()(),()()(212121txtxcdXXc)(),(),(),(2121txtxcbaWTbaWTxx)()()(21txtxtxdadbbaWTacdttxx2022),(1)( v该式更清楚地阐明，小波变换的幅平方在尺度位移平面上的加权积分等于信号在时域的总能量，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时频分布的一种表示方式。v式8.12和式8.13中对 的积分是从 ，这是由于我们假定 总为正值。这两个式子中出现的 是由于定义小波变换时在分母中出现了 ，而式中又要对 作积分所引入的。v读者都熟知傅里叶变换中的Parseval定理，即时域中的能量等于频域中的能

22、量。但小波变换的Parseval定理稍为复杂，它不但要有常数加权，而且以 的存在为条件。v8.1.4小波反变换及小波允许条件v 下面给出延续小波反变换的公式及反变换存在的条件。v设 ，记 为 的傅里叶变换，假设v那么 可由其小波变换 来恢复，即v (8.15)a0a2aa/1ac)()(),(2RLttx)()(t02)(c)(tx),( baWTxdadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02v证明：设 ， ,那么v将它们分别代入式8.12的两边，再令 ，于是有v v于是定理得证。v在式(8.12)、式(8.15)中，结论的成立都是以 为前提条件的，这又称为“允许条件admissib

23、ility condition。该允许条件含有多层的意思： v 1.并不是时域的任一函数 都可以充任小波。其可以作为小波的必要条件是其傅里叶变换满足该允许条件；)()(1txtx)()(2tttx)()(),(21txtxtx)()()(),(abta1dtabttta1baWT2xttdadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02c)()(2RLt v2.假设 ，那么必有 ，否那么 必趋于无穷。这等效地通知我们，小波函数 必然是带通函数；v3.由于 ，因此必有v (8.16)v这一结论指出， 的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。v以上三条给我们勾画出了作为小波的函数所应具有的大致特

24、征，即 是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时频定位的角度，我们总希望 是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波wavelet的缘由。v 由上述讨论， 自然应和普通的窗函数一样满足：v 8.17c0) 0 ( c)(t0)(0 0)(dtt)(t)(t)(t)(tdtt)(v并且由后面的讨论可知，尺度因子 常按 来离散化，v。由式8.3，对应的傅里叶变换 ，由于需求在不同的尺度下对信号进展分析，同时也需求在该尺度下由 来重建 ，因此要求 是有界的，当 由 时，应有v (8.18)v式中， 。该式称为小波变换的稳定性条件，它是在频域对小波函

25、数提出的又一要求。满足式8.18的小波称作“二进dyadic小波。v8.1.5小波变换的充要条件v我们在上一节指出，并不是时域任一函数都可以用作小波 。可以作为小波的函数至少要满足允许条件。与此结论相类似，并不是 平面上的任一二维函数 都aja2Zjbjj2je22)(/),(baWTx)(tx2)2(jjBAjj2)2(BA0)(t),(ba),(baWTv对应某一函数的小波变换。 假设是某一时域信号，如v 的小波变换，它应满足一定的条件。v设 是 平面上的任一点， 上的二维函数 欲是某一函数的小波变换的充要条件是它必需满足如下的重建核方程，即v 8.19v式中 是 在 处的值，v 8.20

26、v称为重建核。v证明：由式8. 2小波变换的定义，有),( baWT)(tx),(00ba),(ba),(ba),( baWTxdadbbabaKbaWTabaWTxx),;,(),(),(000200),(00baWTx),(baWTxdtttCbabaKbaba)()(1),;,(00,00)(),(100,ttCbabav将式8.15代入该式，有v式8.19的重建核方程和式8.20的重建核公式阐明，假设 是 的小波变换，那么在 平面上某一点 v 处小波变换的值 可由半平面上 的值 来表示，也即， 是半平面上 的总奉献。 dtttxbaWTbax)()(),(,dttdadbtbaWTac

27、1baWT00babax0200 x)()(),(),(,dadbdtttcbaWTababax)()(1),(00,02dadbttcbaWTababax)(),(1),(00,02),( baWTx)(tx),(ba),(00ba),(00baWTx),(RbRa),(baWTx),(00baWTx),(aWTxv既然 平面上各点的 可由式8.19相互表示，因此这些点上的值是相关的，也即式8.15对 的重建是存在信息冗余的。这一结论通知我们可以用 平面上离散栅格上的 来重建 ，以消除重建过程中的信息冗余。v我们知道，当用 的短时傅里叶变换 来重建v 时， 平面上的信息也是有冗余的，即 平面

28、上各点的 是相关的，因此引出了离散栅格上的STFT，进一步的开展即是信号的Gabor展开与Gabor变换。由此可以得出，将一个一维的函数映射为一个二维函数后，在二维平面上往往会存在信息的冗余，由此引出了二维函数的离散化问题及标架实际。有关离散小波变换及小波标架的内容将在后面予以讨论。v重建核 是小波 和 处的小波 的内积，因此 反映了 和 的相关性。),(ba),(aWTx)(tx),(ba),(baWTx)(tx)(tx),(tSTFTx)(tx),( t),( t),(tSTFTx),;,(00babak)(,tba),(00ba)(00,tbak)(,tba)(00,tbav假设 ，即两

29、个小波重合时， 取最大值；假设 远离 ，那么 将迅速减小。假设能保证 v，那么 平面上各点小波变换的值将互不相关。这等效地要求对恣意的尺度 及位移 ，由母小波 构成的一族v是两两正交的。可以想象，假设 延续取值，要想找到这样的母小波 使 两两正交，那将是非常困难地。因此，延续小波变换 必然存在信息冗余。然而，当 离散取值时，那么有能够得到一族正交小波基 。v8.2 常用的小波函数v由前面表达可知，作为一个小波的函数 ，它一定要满足允许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，假设时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中

30、。此外，希望由母小波 构成的 是两两正00,bbaakk),(ba),(00ba),(00bbaak),(baab)(t)(,tbaba ,)(t)(,tba),(baWTxba,)(,tba)(t)(x)(,tbav交的或是双正交的,进一步，希望 有高阶的消逝矩，希望与 相关的滤波器具有线性相位等,可以根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。在下面的分类中，第一类是所谓地“经典类小波，在MATLAB中把它们称作“原始Crude小波。这是一批在小波开展历史上比较有名的小波；第二类是Daubecheis构造的正交小波，第三类是由Cohen，Daubechies构造的双正交小波。v8

31、.2.1经典类小波v8.2.1.1 Haar小波v Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：v 8.21v其波形如图8.4a所示。)( x)(x011)( t其它12/12/10ttv 的傅里叶变换是：v 8.22vHaar小波有很多优点，如：vHaar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为0，1；v假设取 ，那么Haar小波不但在其整数位移处是正交的，即 ，而且在 取不同值时也是两两正交的，即 ，如图8.3(b)和(c)所示。所以Haar小波属正交小波；vHaar波是对称的。我们知道，系统的单位抽样呼应假设具有对称性，那么该系统具有线性相位，这对于去除相

32、位失真是非常有利的。Haar小波是目前独一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；vHaar小波仅取1和1，因此计算简单。但Haar小波是不延续小波，由于 ，因此 在 处只需一阶零)(t2/2)(sin4)(jeajZbZj2aj,0)(),(kttj0)2(),(ttj 0)(dttt)(0v点，这就使得Haar小波在实践的信号分析与处置中遭到了限制。但由于Haar小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文中常被用作范例来讨论。 v 图8.4 Harr小波2/121000)( t)1(t)2/( tttt21111v8.2.1.2 Morlet小波vMorlet小波定义为v (8.23)v其傅

33、里叶变换v 8.24 v它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。思索到待分析的信号普通是实信号，所以在MATLAB中将式8.23改造为：v 8.25v并取 。该小波不是紧支撑的，实际上讲 可取v 。但是当 ，或再取更大的值时， 和 在时域和频域都具有很好的集中，如图8.5所示。vMorlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于延续小波变换。但该小波是对称的，是运用较为广泛的一种小波。tjteet2/2)(2/)(202)(etett02/cos)(250t50)(t)(v (a)时域波形 (b)频谱v 图8.5 Morlet小波v8.2.1.3 Mexican hat小波v该小波的中文名字为

34、“墨西哥草帽小波，又称Marr小波。它定义为 (8.26)v式中 ，其傅里叶变换为2/22)1()(tetct4/132cv (8.27)v 该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。其波形和频谱如图8.6所示。v 该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于延续小波变换。由于该小波在 处有二阶零点，因此它满足允许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间呼应特征，因此它在1983年即被用于计算机视觉中的图像边缘检测。v 图8.6 墨西哥草帽小波， (a)时域波形， (b)频谱2/222)(ec0v8.2.1.4

35、Gaussian小波v高斯小波是由一根本高斯函数分别求导而得到的，定义为：v ， (8.28)v式中定标常数是保证 。v该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当 取偶数时 v 正对称，当 取奇数时， 反对称。图8.7给出了 时 的时域波形及对应的频谱。v 图8.7 高斯小波取 (a)时域波形， (b)频谱2tkk2edtdct/)(821k,1t2)(k)(tk)(t4k )(t4kv8.2.28.2.2正交小波正交小波v 目前提出的正交小波大致可分为四种，即目前提出的正交小波大致可分为四种，即DaubechiesDaubechies小小波，对称小波，波，对称小波，Coiflets

36、Coiflets小波和小波和MeyerMeyer小波。这些正交小波小波。这些正交小波和前面所讨论的和前面所讨论的“经典小波不同，它们普通不能由一个简经典小波不同，它们普通不能由一个简约的表达式给出，而是经过一个叫做约的表达式给出，而是经过一个叫做“尺度函数尺度函数Scalling Scalling functionfunction的的 的加权组合来产生的。尺度函数是小波的加权组合来产生的。尺度函数是小波变换的又一个重要概念。由下节讨论可知，小波函数变换的又一个重要概念。由下节讨论可知，小波函数 ，尺度函数尺度函数 同时和一个低通滤波器同时和一个低通滤波器 及高通滤波器及高通滤波器 相关连，相关

37、连， 和和 可构成一个两通道的分析滤波器组。这可构成一个两通道的分析滤波器组。这些内容构成了小波变换的多分辨率分析的实际根底。因此，些内容构成了小波变换的多分辨率分析的实际根底。因此，在讨论正交小波时，同时涉及到尺度函数在讨论正交小波时，同时涉及到尺度函数 ，分析滤波器，分析滤波器组组 ， 及综合滤波器组及综合滤波器组 ， 。MATLABMATLAB中的中的Wavelet ToolboxWavelet Toolbox中有相关的软件来产生各类正交小涉及其中有相关的软件来产生各类正交小涉及其相应的滤波器。相应的滤波器。v8.2.2.1 Daubechies8.2.2.1 Daubechies小波小

38、波v Daubechies Daubechies小波简称小波简称dbdb小波。它是由法国学者小波。它是由法国学者Ingrid Ingrid DauechiesDauechies于于9090年代初提出并构造的。年代初提出并构造的。DaubechiesDaubechies对小波变对小波变)(t)(t)(t)(0zH)(1zH)(0zH)(1zH)(t)(0zH)(1zH)(0zG)(1zGv换的实际做出了突出的奉献，特别是在尺度取2的整数次幂时的小波实际及正交小波的构造方面进展了深化的研讨，其代表作深受同行们的欢迎。vdbN中的表示db小波的阶次， 。当时，db1即是Haar小波。因此，前述的Ha

39、ar小波应归于“正交小波类。Daubechies计算出了 时的 及 。在MATLAB5.3中，N的阶次还可以扩展。db小波是正交小波，当然也是双正交小波，并是紧支撑的。 的支撑范围在v ， 的支撑范围在 。小波 具有N阶消逝矩， 在 处具有阶零点。但db小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组CQMFB。图8.8给出了 时， ， 及 ， 的波形。102N102N010,),(ghht1g)(t) 12(0Nt)(tNN )1 ( )(t)(04N)(t)(t)()(图8.8 时db小波 (a) ，(b) ， (c) ，(d) 4N)(t)(t)()(v8.2.2.2 对称小波v对

40、称小波简记为symN， ，它是db小波的改良，也是由Daubechies提出并构造的。它除了有db小波的特点外，主要是 是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。图8.9是 时的对称小波。v (a) (b)v 图8.9 时的对称小波(a) ，(b) 8 , 3 , 2N)(t4N4N)(t)(tv8.2.2.3 Coiflets小波v该小波简记为coifN， .在db小波中，Daubechies小波仅思索了使小波函数 具有消逝矩N阶，而没思索尺度函数 。R.Coifman于1989年向Daubechies提出建议，希望能构造出使 也具有高阶消逝矩的正交紧支撑小波。Daubechies接

41、受了这一建议，构造出了这一类小波，并以Coifman的名字命名。vcoifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为 ，也是接近对称的。 的消逝矩是2N， 的消逝矩是2N-1。图8.10是N=4时的coif4小波。v 图8.10 N=4时v 的Coiflets小v 波，a) ，v (b) 5 , 2 , 1N)(t)(t)(t16 N)(t)(t)(t)(tv8.2.2.4 Meyer小波vMeyer小波简记为meyr，它是由Meyer于1986年提出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的。vMeyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在 到

42、之间。该小波是对称的，且有着非常好的规那么性。图8.11给出了Meyer小波的尺度函数 和小波函数 。v 图8.11 v Meyer小波v a) ，v (b) )(t)(t)(t)(tv8.2.3 8.2.3 双正交小波双正交小波v我们知道，两通道正交镜像滤波器组的分析滤波器我们知道，两通道正交镜像滤波器组的分析滤波器 和和v 是功率对称的，且是功率对称的，且 和和 之间有着正交性，再之间有着正交性，再者者 ， ， 和和 有着同样的长度，都不是线性相有着同样的长度，都不是线性相位的。为了获得线性相位的滤波器组，需放弃位的。为了获得线性相位的滤波器组，需放弃 的功率的功率互补性质。这也就放弃了互

43、补性质。这也就放弃了 和和 之间的正交性，代之的之间的正交性，代之的是双正交关系。是双正交关系。v 由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，正交小波条件下的正交小波条件下的 ， 和和 与与 都不具有线性都不具有线性相位相位HaarHaar小波除外。为此，小波除外。为此，DaubechiesDaubechies和和CohenCohen提出并提出并构造了双正交小波，其目的是在放宽小波正交性的条件下得构造了双正交小波，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小涉及相应的滤波器组。到线性相位的小涉及相应的滤波器组。v双正交滤波器组简

44、称双正交滤波器组简称biorNr,NdbiorNr,Nd，其中，其中NrNr是低通重建滤波器是低通重建滤波器的阶次，的阶次，NdNd是低通分解滤波器的阶次。在是低通分解滤波器的阶次。在MATLABMATLAB中，中， NrNr和和NdNd的能够组合是：的能够组合是：)(0zH)(1zH)(0nh)(1nh)(0nh)(1nh)(0ng)(1ng)(0zH)(0nh)(1nh)(t)(t010,ghh1gv Nr =1, Nd =1,3,5v Nr =2, Nd =2,4,6,8v Nr =3, Nd =1,3,5,7,9v Nr =4, Nd =4v Nr =5, Nd =5v Nr =6,

45、Nd =8v这一类小波自然不是正交的，但它们是双正交的，是紧支撑的，更主要的是它们是对称的，因此具有线性相位。分解小波 的消逝矩为Nr -1。图8.12给出的bior3.7的分解小波、尺度函数及重建小波和尺度函数。)(tv 图8.12 双正交小波bior3.7 v (a)分解尺度函数 (b)分解小波 v (c)重建尺度函数 (d)重建小波)(t)(t)(t)(tv8.2.48.2.4延续小波变换的计算延续小波变换的计算v在式在式8.28.2关于小波变换的定义中，变量关于小波变换的定义中，变量 ， 和和 都是延续的，当我们在计算机上实现一个信号的小波变换都是延续的，当我们在计算机上实现一个信号的

46、小波变换时，时， ， 和和 均应离散化。对均应离散化。对 离散化最常用的方离散化最常用的方法是取法是取 ，如取，如取 ，这样，这样 。对于。对于 按按2 2的的整次幂取值所得到的小波习惯上称之为整次幂取值所得到的小波习惯上称之为“二进二进dyadicdyadic小波。对这一类小波的小波变换，我们可用有关离散小波变小波。对这一类小波的小波变换，我们可用有关离散小波变换的方法来实现。然而取换的方法来实现。然而取 ，在实践任务中有时，在实践任务中有时显得尺度腾跃太大。当希望显得尺度腾跃太大。当希望 恣意取值恣意取值 ，也即在，也即在 的范围内恣意取值时，这时的小波变换即是延续小波变换。的范围内恣意取

47、值时，这时的小波变换即是延续小波变换。v计算式计算式8.28.2的最简单的方法是用数值积分的方法，即令的最简单的方法是用数值积分的方法，即令v (8.29) (8.29) tabtabaZjaaj,020aja2aZjaj,2a)0(a)0(adtabttxabaWTx)()(1),(kkkdtabttxa1)()(1v由于在 的区间内， ，所以上式又可写为：v (8.30)v由该式可以看出，小波变换 可看作是 和v的卷积后的累加所得到的结果，卷积的中间变量是 ，卷积后的变量为 及 。MATLAB中的cwt.m即是按此思绪来实现的。详细过程大致如下：v1. 先由指定的小波称号得到母小波 及其时

48、间轴上的刻度，假定刻度长为 ；v2. 从时间轴坐标的起点开场求积分 ，v3.由尺度因子 确定对上述积分值选择的步长， 越大，上述积分值被选中的越多；v4求 和所选中的积分值序列的卷积，然后再作差分，即完成式8.30。1kkt)()(kxtxkkkxdtabtkxabaWT1)()(1),()()()(11kkkdtabtdtabtkxa),(baWTx)(kx)(abt tba)(t10Ndttk)(01, 1Nkaa)(kxv本方法的缺乏之处是在 变化时，式8.30中括号内的积分、差分后的点数不同，也即和 卷积后的点数不同。处理的方法是在不同的尺度下对 作插值，使其在不同的尺度下，在其有效支

49、撑范围内的点数一直一样。有关CWT快速计算的方法还可借助于CZT及梅林变换等方法，此处不再讨论。v例8.1令 为一正弦加噪声信号，它取自MATLAB中的noissin.mat。对该信号作CWT， 分别等于2和128， 时，小波变换的结果对应信号中的高频成份， 时，小波变换对应信号中的低频成份。其原始信号及变换结果见图8.13(a)，(b)和c。v例8.2 依然运用例8.1的信号“noissin，对其作CWT时 分别取10，30，60，90，120及150。所得到的图8.14是在各个尺度下的小波系数的灰度图。颜色越深，阐明在该尺度及该位移程度轴处的小波系数越大。此例旨在阐明对小波变换的结果具有不

50、同的表示方式。a)(kx)(t)(txa2a128aav图8.13 信号“noissin的小波变换，(a)原信号，v (b) ，(c) 2a128a v 图8.14 多尺度下小波变换的灰度表示Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 10 30 60 90 120 .time (or space) bscales a1002003004005006007008009001000 10 30 60 90120150v8.3 8.3 尺度离散化的小波变换及小波标架尺度离散化的小波变换及小波标架v我们在式我们在式8.28.2定义了信号定义了信号 的延的

51、延续小波变换，式中续小波变换，式中 ， v 和和 都是延续变量。为了在计算机上都是延续变量。为了在计算机上有效地实现小波变换，有效地实现小波变换， 自然应取离散自然应取离散值，值， 和和 也应取离散值。从减少信也应取离散值。从减少信息冗余的角度，息冗余的角度， 和和 也没有必要延也没有必要延续取值。续取值。v 和和 构成了一个二维的构成了一个二维的“尺度位移尺度位移平面。前已述及，平面。前已述及，v 越大，越大， 对应的频率越低，反之，对应的频率越低，反之，对应的频率越高。因此，对应的频率越高。因此， 平面也可平面也可视为视为“时频平面。对同一个信时频平面。对同一个信号号 ，我们已给出过不同的

52、表示方式，我们已给出过不同的表示方式，如如STFTSTFT，GaborGabor变换，变换，WVDWVD及本章的小波及本章的小波变换。变换。 v现重写几个有关的公式，即现重写几个有关的公式，即v (8.31)(8.31)v (8.32)(8.32)(txabttaabbaba)( aba )(txdetSTFTgtxtjx),()0(21)()()(,thctxnmmnnm v (8.33)v (8.34)v其中式8.32是用时频平面离散栅格 上的点来表示，即Gabor展开，式8.33是具有双线性变换的表示方式，它和其它三种表示方式有较大的区别。式8.31和式8.34阐明同一信号在时频平面上具

53、有不同的表示方式。式8.31的反变换是有信息冗余的，即不需求 的一切的值就可恢复。同理，式8.34的小波变换也存在着信息冗余。在这两个式子中，我们只需取时频平面上的离散栅格处的点即可。问题的关键是如何决议 和 抽样的步长以保证对 的准确重建。下面，我们首先思索尺度因子 的离散化，然后再思索 和 的同时离散化。detWxtxtjx),2()0(21)(dadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02),(nm),( tSTFTaaabb)( txv8.3.1 8.3.1 尺度离散化的小波变换尺度离散化的小波变换v目前通用的对目前通用的对 离散化的方法是按幂级数的方式逐渐加离散化的方法是按幂

54、级数的方式逐渐加大大 ，即令，即令 。假设。假设取取 ，那么，那么v (8.35)(8.35)v称为称为“半离散化二进小波，而半离散化二进小波，而v (8.36) (8.36)v称为二进小波变换。称为二进小波变换。v设母小波设母小波 的中心频率为的中心频率为 ，带宽为，带宽为 ，当，当 时，时，v 的中心频率变为的中心频率变为 ，带宽，带宽 v。假设。假设 时，时， 的中心频率和带宽分别是：的中心频率和带宽分别是：v 和和 。从对信号作频域分析的。从对信号作频域分析的aaZjaaaj, 0,0020a)(2(2)(2/,bttjjbj)(),(),(,ttxbjWTbjxdtbttxjj)(2

55、()(22/)(t0ja2)(,tbj0jj00j22/)(jj212ja)(, 1tbj01j01j2)(121jjv角度，我们希望当 由 变成 时， 和 在频域对应的分析窗为 v和 可以相衔接。这样，当 由0变至无穷时， 的傅里叶变换可以覆盖整个 轴。显然，假设令母小波 的 ，那么上面两个频域窗首尾相连，即 和 首尾相连。经过对母小波作适宜的调制，可以方便地做到 。v如今，我们来讨论如何由式8.36的 来恢复 ，设 是 的对偶小波，并令 和 取类似的方式，即 (8.37)v这样，经过对偶小波，我们希望能重建 ：v (8.38)v为了寻觅 和 应满足的关系，现对上式作如下改动：aj212j)

56、(,tbj)(,1tbj )( ,)(jj0j0j)( ,)(1j1j01j01jj)(,tbj)(t30)(2 ,21jj2 ,221jj30)(),(bjWTx)(tx)( t)(t)(,tbj)(,tbj)(2(2)(2/,bttjjbj)(txdbbtbjWTtxjxjj)(2(),(2)(2/3)( t)(tv式中F代表求傅里叶变换。由式8.3和式8.4，有v (8.39)v显然，假设v (8.40)v那么式8.39的右边变成的傅里叶反变换，自然就是 。 )(2(),(2)(2/3btbjWTtxjxjj)(2(),(2122/3btFbjWTFjxjjdeXtxtjjjjjjj)2

57、(2)2(2)(212)(2/2/3deXtjjjj)2()2()(211)2()2(jjj)(txv对于满足允许条件的小波 ，当 时，其二进制小波 对应的傅里叶变换应满足式8.18的稳定性条件。这样，结合式8.18和式8.40，我们可由下式得到对偶小波 :v (8.41)v由于式8.41的分母满足式8.18，因此有v (8.42)v这样，对偶小波 也满足稳定性条件，也即，总可以找到一个“稳定的对偶小波 由式8.38重建出 。下面定理更完好地回答了在半离散二进小波变换情况下的 重建问题。v定理8.1 假设存在常数 ，使得v (8.43)(tZjaj,2)(,tbj)( tjj2)2()()(A

58、Bjj1)2(12)( t)( t)(tx)(tx0, 0BARBAjj2)2(v那么v (8.44)v假设 满足v (8.45)v那么v (8.46)v该定理指出，假设 的傅里叶变换满足稳定性条件，那么 在v 上的小波变换的幅平方的和是有界的。进而， 和 的傅里叶变换假设满足式8.45也即式8.40，那么可由式8.46重建。222),(21xBbjWTxAxjj)( tRjjj 1)2()2()(),(2)(,tbjWTtxbjxjjdbbtbjWTjxjj)(2(),(22/3)(t)(txZjaj,2)(t)( tv总之，假设满足允许条件，且再满足稳定性条件，由二进小波变换总可以重建，也

59、即一个满足稳定性条件的对偶小波总是存在的。但是，满足稳定性条件的对偶小波不一定是独一的。如何构造“好的小涉及得到独一的对偶小波是小波实际中的重要内容。v假设式8.43的稳定性条件满足，那么 的允许条件必定满足，且v (8.47)v从而，由延续小波变换 总可以恢复 ，也即式8.15总是成立。v以上讨论的是仅对 作二进制离散化的情况，如今思索 和 同时离散化的相应实际问题。dC02)(BBdA022ln)(2ln),(baWTx)(txaabv8.3.28.3.2离散栅格上的小波变换离散栅格上的小波变换v令令 ，我们可实现对，我们可实现对 的离散化。假设的离散化。假设 ，那么那么 。欲对。欲对 离

60、散化，最简单的方法是将离散化，最简单的方法是将 均匀抽样，如令均匀抽样，如令 ， 的选择应保证能由的选择应保证能由 来来恢复出恢复出 。当。当 时，将时，将 由由 变成变成 时，即时，即是将是将 扩展了扩展了 倍，这时小波倍，这时小波 的中心频率比的中心频率比 的中心频率下降了的中心频率下降了 倍，带宽也下降了倍，带宽也下降了 倍。因此，这时倍。因此，这时对对v 抽样的间隔也可相应地扩展抽样的间隔也可相应地扩展 倍。由此可以看出，当尺倍。由此可以看出，当尺度度 分别取分别取 ，对，对 的抽样间隔可以取的抽样间隔可以取v ，这样，对，这样，对 和和 离散化后的结果是：离散化后的结果是：v (8.