2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义第51讲空间中的垂直关系和答案

1、2020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案第 51 讲空间中的垂直关系1了解空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义2掌握判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的方法，能正确判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直3掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质- 1 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案知识梳理1直线与平面垂直的判定(1)利用定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂

2、直，则此直线与这个平面垂直(2)判定定理：一条直线与一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面用符号语言可表示为：m，n，mnA，lm，lnl.2直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知：若一条直线垂直于平面 ，则这条直线垂直于平面  内的任意一条直线(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线 平行.用符号语言表示为：a，bab.3两平面垂直的判定(1)利用定义：两个平面相交，若所成的二面角为 90°，则称这两个平面互相垂直(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直

3、用符号语言表示为：a，a.4两平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面 垂直.用符号语言表示为：，l，bl，b，则b.- 2 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案1若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)3垂直于同一条直线的两个平面平行4一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这一条直线也与另一个平面也垂直热身

4、练习1下列命题正确的是(D)如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面ABCD- 3 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立；中的无数条直线如果是平行直线，结论也不成立；只有

5、与才成立2下列四个命题：平行于同一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的两条直线平行；若直线垂直于平面，则它垂直于平面内的所有直线；垂直于同一个平面的两条直线平行其中正确的命题是(A)ABCD由三线平行公理知正确；由直线与平面垂直的定义知正确；由直线与平面垂直的性质定理知正确- 4 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案3下面命题中：两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；一直线与两平面中的一个平行与另

6、一个垂直，则这两个平面垂直其中正确命题的个数有(D)A0 个B1 个C2 个D3 个正确，是两个平面垂直的定义；正确，是两平面垂直的判定定理；正确，即若 a，a，则 .证明如下：过 a 作平面  使 a，因为 a，所以 aa，又 a，所以 a，又 a，所以 ，故选 D.4下列两个命题中：两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们的交线的直线必垂直第二个平面；一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直对上述两

7、命题的判断中，正确判断的是(C)A、都正确B正确，不正确C不正确，正确D、都不正确- 5 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案不正确，当点在交线上时，满足条件，但该直线不一定垂直第二个平面正确，即若 ，则 .证明如下：设 a，在  内作直线 la，则 l.因为lüïý .þ又l ï由以上分析可知，选 C.5(2016&#

8、183; 浙江卷)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则(C)AmlBmnCnlDmn- 6 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案因为 l，所以 l.因为 n，所以 nl，故选 C.- 7 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51&#

9、160;讲+空间中的垂直关系和答案线面垂直的判定(2018· 北京卷· 理节选)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC1平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1 的中点，ABBC 5，ACAA12.求证：AC平面 BEF.- 8 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第(1)问常证

10、明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等有关的计算两问的条件常常是一同叙述，图形也由同一图形给出，因此，在证明第 (1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选在处理后面所选的例题及变式时，也要注意这一点- 9 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案在三棱柱 ABCA1B1C1 中，因为 CC 平面 ABC，所以四边形 A ACC  为矩形又 E，F

11、 分别为 AC，A C  的中点，11111所以 ACEF.因为 ABBC，所以 ACBE，EFBEE，所以 AC平面 BEF.(1)证线面垂直的基本方法是利用判定定理，即证明一条直线与平面内的两条相交直线垂直- 10 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案(2)证明线线垂直时，要注意如下几个方面：要注意充分利用平面几何的知识，挖掘题中隐含的垂直关系，如正方形、菱形的对角

12、线垂直；等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线垂直于底边；直径所对的圆周角为 90°等利用计算的方法证明垂直，如给出线段长度，计算满足勾股定理、证明角等于 90°等利用已知垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视直线与平面垂直的性质和两平面垂直的性质定理1四面体 ABCD 中，ACBD，E，F 分别是 AD，BC 的中点，且 EF    2AC，BDC290°，求证：BD平面 ACD.- 11 - / 

13、;222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案取 CD 的中点 G，连接 EG，FG，因为 E，F 分别是 AD，BC 的中点，所以 EG  1AC，FG221BD.又 ACBD，所以 FG1AC，所以在EFG 中，EG2FG21AC2EF2，22所以 EGFG，所以 BDAC，又BDC90°，即 BDCD，因为 AC，CD平面

14、0;ACD，且 ACCDC，所以 BD平面 ACD.- 12 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案面面垂直的判定(2018· 广 州 模 拟 ) 如 图 ， 已 知 多 面 体PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，PA底面 A

15、BCD，EDPA，且 PA2ED2.证明：平面 PAC平面 PCE.- 13 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案连接 BD，交 AC 于点 O，设 PC 的中点为 F，连接 OF，EF.- 14 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案

16、所以 OFPA，且 OF1PA，因为 DEPA，且 DE1PA，因为 O，F 分别为 AC，PC 的中点，22所以 OFDE，且 OFDE.所以四边形 OFED 为平行四边形，所以 ODEF，即 BDEF.因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PABD.因为四边形 ABCD 是菱形，所以 BDAC.因为 PAACA，所以 BD平面 PAC.因为

17、 BDEF，所以 EF平面 PAC.因为 FE平面 PCE，所以平面 PAC平面 PCE.- 15 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案证明两平面垂直的基本方法是利用平面与平面垂直的判定定理，即证其中一个平面经过另一个平面的垂线2(2018· 南关区校级期末节选)在平面四边形 ACBD(图中，ABC 与ABD 均为直角三角形且有公共斜边 A

18、B，设 AB2，BAD30°，BAC45°，将ABC 沿 AB 折起，构成如图所示的三棱锥 CABD.当 CD 2时，求证：平面 CAB平面 DAB.- 16 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案当 CD 2时，取 AB 的中点 O，连接CO，DO，在  ACB， ADB，AB2，

19、则 CODO1，又因为 CD 2，所以 CO2DO2CD2，即 COOD，又因为 COAB，ABODO，AB，OD平面 ABD，所以 CO平面 ABD，又因为 CO平面 ABC，所以平面 CAB平面 DAB.- 17 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案线面垂直、面面垂直的性质(2015· 广东卷节选)如图，三角形

20、60;PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点 E 是 CD 边的中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上，且 AF2FB，CG2GB.证明：PEFG.- 18 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案在PCD 中，因为 E 为 CD 的中点，且PCPD，所

21、以 PECD.又因为平面 PCD平面 ABCD，且平面 PCD平面 ABCDCD，PE平面 PCD，所以 PE平面 ABCD.又因为 FG平面 ABCD，所以 PEFG.- 19 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案本题着重考查了两平面垂直及直线与平面垂直的性质，从中可进一步体会三种垂直关系的转化及作用3(2017· 江苏卷)如图，在三棱锥

22、 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD.- 20 - / 222020 高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第 51 讲+空间中的垂直关系和答案求证：(1)EF平面 ABC；(2)ADAC.(1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD，所以 EFAB.又因为 EF 平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，- 21 - / 222020 高考文