第 7 章 几何光学基础

1、第 7 章 几何光学基础 第 7 章 几何光学基础 7.1 几何光学的基本定律几何光学的基本定律 7.2 单个折射球面近轴区成像单个折射球面近轴区成像 7.3 共轴球面系统共轴球面系统 7.4 球面反射镜球面反射镜 7.5 平面镜、平面镜、 棱镜系统棱镜系统 例题例题 第 7 章 几何光学基础 7.1 几何光学的基本定律几何光学的基本定律 7.1.1 7.1.1 波面、波面、 光线和光束光线和光束 如前所述，光是一种电磁波，任何一个发光体都是一个波源。光的传播过程也正是电磁波的传播过程。 光波是横波， 在各向同性介质中，其电场的振动方向与传播方向垂直，振动相位相同的各点在某时刻所形成的曲面称为

2、波面。 波面可以是平面，球面或其它曲面。 当发光体(光源)的大小和其辐射能的作用距离相比可略去不计时，该发光体称为发光点或称点光源。在几何光学中， 发光点被抽象为一个既无体积又无大小的几何点，任何被成像的物体都是由无数个这样的发光点所组成。几何光学中的发光点只是一种假设，在自然界中是不存在的。 第 7 章 几何光学基础 在几何光学中，光线被抽象为既无直径又无体积的几何线。 它的方向代表光线的传播方向即光能的传播方向。同样，光线实际上是不存在的，因为它的能量密度为无穷大。但是，利用它可以把光学中复杂的能量传输和光学成像问题归结为简单的几何运算问题，从而使所要处理的问题大为简化。 在各向同性介质中

3、，光沿着波面的法线方向传播，可以认为光波波面法线就是几何光学中的光线，与波面对应的法线束称为光束。平面波对应于平行光束，球面波对应于会聚或发散光束，其光线既不相交于一点，又不平行所对应的光束称为像散光束，如图 7 -1所示。第 7 章 几何光学基础 图 7 - 1 各种光束 第 7 章 几何光学基础 几何光学中的传播规律和成像原理，是用光线的传播途径加以直观表示的，光线的这种传播途径称为光路。实际上， 一个点光源发出的光线为数条，不可能对每一条光线都求出其光路。几何光学的做法是从光束中取出一个适当的截面， 求出其上的几条光线的光路，这种截面通常称为光束截面。 第 7 章 几何光学基础 7.1.

4、2 7.1.2 几何光学的基本定律几何光学的基本定律 几何光学理论以光的直线传播定律， 光的独立传播定律， 折射定律和反射定律为基础。 1. 1. 光的直线传播定律光的直线传播定律 在各向同性的均匀介质中，光线按直线传播， 这就是光的直线传播定律。这是一种常见的普遍规律。可用以很好地解释影子的形成、日蚀、月蚀等现象，当光路中放置很小的不透明的障碍物或小孔时，光的传播将偏离直线， 这就是物理光学中所描述的光的衍射现象。可见，光的直线传播定律只有光在均匀介质中无阻拦地传播时才成立。 第 7 章 几何光学基础 2. 2. 光的独立传播定律光的独立传播定律 从不同光源发出的光线，以不同的方向通过介质某

5、点时， 各光线彼此互不影响，好像其它光线不存在似地独立传播， 这就是光的独立传播定律。利用这条定律，可使我们对光线传播情况的研究大为简化，因为研究某一光线传播时， 可不考虑其它光线的影响。第 7 章 几何光学基础 3. 3. 光的折射定律和反射定律光的折射定律和反射定律 如图7-2 所示，PQ表示两种折射率分别为n和n的光滑界面，AO为入射光线，OC为对应的折射光线，NN为界面上O点处的法线。按照角度符号法则的规定，入射角AON和折射角CON均应以锐角来量度，由光线沿锐角转向法线， 顺时针转成的角为正，反之为负。因此，习惯上入射角和折射角分别以I和I表示，折射定律为 n sin I=nsin

6、I (7 - 1) 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 2 光的折射 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 3 光的反射 第 7 章 几何光学基础 如图 7-3 所示，PQ为一光滑的反射界面，ON是界面O点的法线，入射光线为AO，相应的反射光线为OB。根据角度符号法则的规定，入射角为I，反射角为-I，反射定律为 I=-I (7 - 2) 如果在(7-1)式中，令n=-n，则得I=-I，此即反射定律的形式。这表明，反射定律可以看作是折射定律的特殊情况， 凡是由折射定律导得的所有适合于折射情况的公式，只要令n=-n，便可应用于反射的场合，直接导出其相应的公式， 这在处理反射系统时有重要应用。 根

7、据折射定律和反射定律，可以说明光线的传播是可逆的。 在上二图中，当光线自C点或B点投射到界面O点时，光线必沿OA方向射出， 这就是所谓“光路的可逆性”。 第 7 章 几何光学基础 7.1.3 7.1.3 全反射现象全反射现象 正如第 1 章的讨论，当光线由光密介质进入光疏介质时， 在两种介质的光滑界面上会出现所谓的全反射现象。当入射角大于由两种介质折射率所决定的临界角时，光线将完全被界面反射回来， 这就是全反射，或称为完全内反射。 全反射优于一切镜面反射，因为镜面的金属镀层对光有吸收作用，而全反射在理论上可使入射光的全部能量反射回原介质，所以全反射在光学仪器中有广泛的应用。例如，在光学系统中，

8、 经常利用全反射棱镜代替平面反射镜，以减少光能的反射损失。 第 7 章 几何光学基础 7.1.4 7.1.4 费马原理费马原理 光在均匀介质中传播，遵循前述的几何光学的基本定律， 而研究光在非均匀介质中的传播问题，更有普遍意义。光从一种介质的一点传播到另一种介质的一点所遵循的规律，是由费马(Fermat)首先提出的，称为费马原理。费马原理是从“光程”的角度来阐述光的传播规律的。 设在均匀介质中光的传播速度为v,若把t时间间隔内在该介质中所走过的几何路程记为S，则有S=v t 第 7 章 几何光学基础 若把这段时间间隔内光在真空中所走过的路程记为L， 则有 nStvvctCL其中，c为真空中的光

9、速；n为介质的折射率。 光程定义为光在介质中经过的几何路程S和该介质折射率n的乘积，用字母L表示。可见，光在介质中的光程，即为光在该时间间隔内在真空中所传播的路程。 (7-3)第 7 章 几何光学基础 如果介质是非均匀的，即介质的折射率n是几何路程S的函数，则光在该介质中所经过的几何路程不是直线而是曲线， 如图 7 - 4 所示。这时，光程可用下式表示： BAdssnL)(式中，s为路径的坐标参量； n(s)为路径AB上s点处的折射率。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 4 光在非均匀介质中的几何路程 第 7 章 几何光学基础 费马原理指出：光线从A点到B点，是沿着光程为极值的路径传播的。

10、也就是说，光由A点到B点的传播在几何方面存在着无数条可能的路径，每条路径都对应着一个光程值，光由A点传播到B点的实际光路包含在这些可能的路径之中。任何一条实际的光路，其光程都有一个共同的特点，即它均满足极值条件。亦即实际光路所对应的光程，或者是所有光程可能值中的极小值，或者是所有光程可能值中的极大值，或者是某一稳定值。 若把任意一条几何上可能的路径记为l， 则与l对应的光程L(l)可用下列方程表示： ldlnL(7 - 4) 第 7 章 几何光学基础 对应不同的路径l, 光程L(l)可能取不同的值。如果广义地把路径l看作是自变量，则光程L(l)可以视为是l的函数。这种形式函数取极值的条件为 0

11、)(dlnlLl(7 - 5) 这就是费马原理的数学表达式。 利用费马原理可直接导出光的直线传播定律。这是因为两点间的路径以直线的长度为最短，故在均匀介质中直线所对应的光程为最小光程。 当光通过两种不同介质的分界面时，利用费马原理也可导出光的反射定律。为此只须证明图 7-5 中由A点经界面再回到B点的任何一条路径满足反射定律时光程为最小。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 5 满足反射定律的路径之光程为最短 第 7 章 几何光学基础 在图中，设AOB是满足反射定律的路径，若把B点关于反射面PO之对称点记为B，则易证A、O、B三点共线，且有AO+OB=AO+OB=AB又设O1为界面上的任意点

12、，则有AO1+O1B=AO1+O1BAB所以 AO1+O1BAO+BO 这就证明了在一切可能的经界面的折线路径中，满足反射定律的路径之光程为最短。根据费马原理，这条路径就是光由A点经界面再传播到B点的实际光路。 第 7 章 几何光学基础 光的折射定律也可以直接从费马原理推导出来。为此只须证明图 7 - 6 中一切从A点穿过界面到B点的几何路径满足折射定律时光程为最小。 设任一条路径AOB之光程为LAOB，则由图 7 - 6 得 222221)(xzynxynOBnnAOLAOB如果AOB是光由A点传播到B点的实际光路，则根据费马原理， 光程LAOB必满足极值条件，即有 0sinsin)(222

13、221InInxzyxznxyxnLdxdAOB第 7 章 几何光学基础 由此得 sinsinInIn可见由费马原理决定的光路与由折射定律所决定的光路是一致的。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 6 满足折射定律的路径之光程为最短 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 7 光程为稳定值和极大值例 第 7 章 几何光学基础 上述讨论的光在均匀介质中的直线传播及在平面分界面上的反射和折射，都是光程最短的例子。其实光线也可能按光程极大的路程传播，或按某一稳定值的路程传播。如图7-7 所示， 一个以F和F为焦点的椭球反射面，按其性质可知，由F点发出 的 光 线 都 被 反 射 到F 点 ， 其 光

14、 程 都 相 等 ， 因 为FMF=FM+MF=常数。这是光程为稳定值的一个例子。 如有另一反射镜PQ和椭球面相切于M点，镜上其余各点均在椭球内，则对椭球的两个焦点F和F来说，(FM+MF)对应于最大光程， 即光按光程极大的路程传播。 第 7 章 几何光学基础 7.1.5 7.1.5 物像的基本概念物像的基本概念 使用光学仪器，离不开物像的基本概念，物体通过光学系统成像，所成的像由人眼接收，这就是人们使用光学仪器的一般过程。 光学系统由一系列的光学零件所组成，常见的光学零件有：透镜、棱镜，平行平板和反射镜等，其截面如图 7 - 8 所示。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 8 光学零件 第

15、 7 章 几何光学基础 光学系统一般是轴对称的，即有一条公共的轴线通过系统各表面的曲率中心，该轴线通常叫做光轴，这样的系统通常称为共轴光学系统。 透镜是光学仪器中最常用的光学零件，它是由两个曲面或一个曲面、一个平面所围成的透明体。由于非球面的加工和检验很困难，目前实际应用的透镜绝大多数是球面透镜。经过两球面中心的直线称为透镜的光轴。在由一个球面和一个平面组成的透镜中，其光轴是通过球面中心并垂直于平面的直线。 光轴与透镜面的交点称为顶点。 透镜可分为正的和负的两大类。正透镜具有正的像方焦距， 对光束起会聚作用。负透镜具有负的像方焦距， 对光束起发散作用。各种正负透镜的形状如图 7 - 9 所示。

16、忽略厚度的透镜称为薄透镜。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 9 透镜 第 7 章 几何光学基础 在几何光学中，物和像的概念是这样规定的：把光学系统之入射线会聚点的集合或入射线之延长线会聚点的集合，称为该系统的物；把相应之出射线会聚点的集合或出射线之延长线会聚点的集合，称为物对该系统所成的像。物可分为实物和虚物，若入射线真正地会交于一点则称为实物；若入射线不真正地会交于一点，只是其延长线交于同一点，则称之为虚物。 像也可分为实像和虚像，若出射线真正地会交于一点则称为实像； 若出射线不真正地会交于一点，只是其延长线交于同一点，则称之为虚像。第 7 章 几何光学基础 物和像的概念具有相对性，在

17、图 7 - 10 所示的光学系统中，A点既是物点又是像点。对光组来说，A是物点A是像点；对光组来说， A是物点A是像点。通常，对某一光组来说，当物体的位置固定后，总可以在一个相应的位置上找到物体所成的像。 这种物像之间的对应关系在光学上称之为共轭。 共轭的概念反映了物像之间的对应关系。 在阐明了物像概念后，引入物像空间的概念。物体所在的空间称为物空间，像所在的空间称为像空间。在某些情况下， 物空间和像空间分居于光组的两侧；在另外一些情况下，物空间和像空间的一部分重合，如图 7 - 11 所示，物点A和像点A同在透镜的左侧。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 10 物像的相对性 第 7 章

18、几何光学基础 图 7 - 11 物像空间的重合 第 7 章 几何光学基础 7.1.6 单个折射球面的折射单个折射球面的折射 如果光学系统的所有界面均为球面，则称为球面系统。 各球面球心位于一条直线上的球面系统，称为共轴球面系统。 连接各球心的直线称为光轴。光轴与球面的交点称为顶点。 光线经过光学系统时是逐面进行折射的，光线光路计算也应是逐面进行。因此，首先对单个折射球面进行讨论，然后过渡到整个系统。单个折射球面不仅是一个简单的光学系统， 而且是组成光学系统的基本元件。所以研究光线经单个球面的折射，是一般光学系统成像的基础。 第 7 章 几何光学基础 1. 1. 符号法则符号法则 如图7-12

19、所示，球形折射面是折射率为n和n两种介质的分界面，C为球心，OC为球面曲率半径，以r表示。顶点以O表示。 在包含光轴的平面(常称为子午面)内，入射到球面的光线，其位置可由两个参量来决定：一个是顶点O到光线与光轴的交点A的距离，以L表示，称为截距；另一个是入射光线与光轴的夹角EAO，以U表示，称为孔径角。光线AE经过球面折射以后， 交光轴于A点。光线EA的确定也和AE相似，以相同字母表示两个参量，仅在字母右上角加“撇”以示区别，即L=AO和U=EAO，也称为截距和孔径角。为了区别，L和U称为物方截距和孔径角，L和U称为像方截距和孔径角。 第 7 章 几何光学基础 1) 光路方向 规定光线从左到右

20、的传播方向为正方向， 即正向光路， 反之为反向光路。 2) 线量 沿轴线量 凡由规定的原点(计算起点)到终点的方向与光线的传播方向相同者，取为正，反之为负。因此，沿轴线段以原点为起始点，向右为正，向左为负。规定曲率半径r和物方截距L、像方截距L均以球面顶点为原点，球折射面之间的间隔以字母d表示，规定以前一球面顶点为原点。 垂轴线量 以光轴为准，在光轴之上为正， 光轴之下为负。 第 7 章 几何光学基础 3) 角量 一律以锐角来衡量，由规定的起始边沿顺时针转成者为正， 逆时针转成者为负。 对光线与光轴的夹角U和U，规定光轴为起始边，由光轴转向光线，顺时针为正，逆时针为负。 对光线和法线的夹角即入

21、射角I和折射角I，规定光线为起始边，由光线顺时针转到法线为正，反之为负。 对法线与光轴的夹角球心角, 规定光轴为起始边，由光轴顺时针转到法线为正，反之为负。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 12 单个球面折射 第 7 章 几何光学基础 2. 2. 单个折射球面的光路计算公式单个折射球面的光路计算公式 光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单个折射球面的结构参量n、n和r，由已知入射光线坐标L和U，计算折射后出射光线的坐标L和U。 如图 7 - 12 所示， 在AEC中， 应用正弦定理有 LrILrIrUsin)180sin()sin(或 UrrLIsinsin(7 - 6) 第 7 章

22、 几何光学基础 由折射定律得 InnIsinsin(7 - 7) 由图可知 =I+U=I+U 所以 U=I+U-I (7 - 8) 同样，在AEC中应用正弦定理有 rLIrUsinsin第 7 章 几何光学基础 化简后得 sinsinUIrrL (7 - 6)式(7 - 9)式就是计算含轴面(子午面)内光线光路的基本公式，可由已知的L和U通过上列四式依次求出U和L。由于折射面对称于光轴，对于轴上点A发出的任一条光线， 可以表示该光线绕轴一周所形成的锥面上全部光线的光路， 显然这些光线在像方应交光轴于同一点。 由公式可知，当L为定值时，L是角U的函数。在图7-13 中，若A为轴上物点，发出同心光

23、束，由于各光线具有不同的U角值，所以光束经球面折射后，将有不同的L值，也就是说， 在像方的光束不和光轴交于一点，即失去了同心性。因此， 当轴上点以宽光束经球面成像时，其像是不完善的，这种成像缺陷称为像差。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 13 单个折射球面成不完善像 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 14 轴上无穷远点入射角的计算 第 7 章 几何光学基础 在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的光束是平行于光轴的平行光束，即L=-，U=0，如图 7-14 所示。此时，不能用(7-6)式计算入射角I，而入射角应按下式计算 rhI sinh为光线

24、的入射高度。 第 7 章 几何光学基础 为保证光路计算的准确性， 下面导出计算大L公式的校对公式。 如图 7 - 15 所示，自顶点O作入射光线AE的垂线OQ， 由直角三角形OEQ和OAQ得 QOEULQOEOQOEcossincos2)290()90(UIUIUEOCQOCQOE由于 第 7 章 几何光学基础 故得 2cossinUIULOE同理，在像方可得 2cossinUIULOE因此有 2cossin2cossinsin2cosUIUUIULUUIOEL(7 - 11) 上式即为校对公式。 第 7 章 几何光学基础 第 7 章 几何光学基础 3. 3. 近轴光的光路计算公式近轴光的光路

25、计算公式 在图7-12 中，如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出的光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于U角很小，其相应的I、I、U等也很小，这时这些角的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u，i，i, u来表示。 近轴光的光路计算公式可直接由(7 - 6)式(7 - 9)式得到 第 7 章 几何光学基础 uirrliuiuinniurrli(7 - 12) 当光线平行于光轴时， (7 - 10)式变为 rhi (7 - 13) 第 7 章 几何光学基础 由(7-12)式中可以看出，当u角改变k倍时，i,i,u亦相应改变k倍，而l表示式中的i/u保持不变，即l不随u角的改变而改变。

26、即表明由物点发出的一束细光束经折射后仍交于一点，其像是完善像，称为高斯像。高斯像的位置由l决定，通过高斯像点垂直于光轴的像面，称为高斯像面。 构成物像关系的这一对点，称为共轭点。 显然， 对于近轴光， 如下关系成立： ulluh上式即为近轴光线光路计算的校对公式。 第 7 章 几何光学基础 7.2 单个折射球面近轴区成像单个折射球面近轴区成像 将(7-12)式中的第一、第四式i和i代入第二式，并利用(7-14)式，可以导出以下三个重要公式: rnnlnlnhrnnnuunQlrnlnn1111(7 - 15) (7 - 16) (7 - 17) 第 7 章 几何光学基础 7.2.1 7.2.1

27、 物像公式物像公式 (7 - 17)式称为折射球面的物像关系公式，通常，l称为物距，l称为像距，两者均以折射面顶点为起始点。 若物点位于轴上左方无限远处，即物距l=-，此时入射光线平行于光轴，经球面折射后交光轴于F点，如图 7 - 16 所示。这个特殊点是轴上无限远物点的像点，称为球面的像方主焦点或第二主焦点。从顶点O到F的距离称为第二主焦距，用f表示。将l=-代入(7 - 17)式可得 rnnnfl(7 - 18) 第 7 章 几何光学基础 同理有球面的第一主焦点F及第一主焦距f， 且 rnnnf由(7 - 18)式和(7 - 19)式可得 nnff(7 - 19) (7 - 20) 该式表

28、明单个球面像方焦距f与物方焦距f的比等于相应介质的折射率之比。由于n和n永不相等，故|f|f|。式中， 负号表示物方和像方焦点永远位于球面界面的左右两侧。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 16 单个折射球面的焦点 第 7 章 几何光学基础 7.2.2 7.2.2 高斯公式和牛顿公式高斯公式和牛顿公式将r/(n-n)乘以物像公式(7 - 17)得 1lflf(7 - 21) 该式称为球面折射的高斯公式。 如果物距和像距不以球折射面的顶点为原点，而分别从物方焦点F和像方焦点F算起，并用x和x表示，分别称为焦物距和焦像距，如图 7-17 所示。由图可得如下关系： xflxfl第 7 章 几何光

29、学基础 图 7 - 17 牛顿公式导出用图 第 7 章 几何光学基础 将此二式代入高斯公式(7 - 21)并化简得 ffxx (7 - 22) 此式称为牛顿公式。该式表明，从焦点计起的物距和像距之积等于第一和第二焦距之积。牛顿公式的形式较高斯公式简单，对称性显著，有时运用更为方便。 公式(7 - 17)、 (7 - 21)和(7 - 22)具有相同的含义， 彼此完全相等，适用于球面折射的各种不同情况。 第 7 章 几何光学基础 7.2.3 7.2.3 光焦度光焦度 (7 - 17)式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径有关， 因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量， 它表征球面的光学

30、特征，称之为该面的光焦度，以表示： rnn(7 - 23) 当r以米为单位时，的单位称为折光度，以字母D表示。例如, n=1.5, n=1.0,r=100mm的球面，=5D。 根据光焦度公式(7 - 23)及焦距公式(7 - 18)和(7 - 19)， 单折射球面两焦距和光焦度之间的关系为 fnfn所以，焦距f和f也是折射面的特征量。 (7 - 24) 第 7 章 几何光学基础 7.2.4 7.2.4 垂轴放大率垂轴放大率 物体经球面折射成像后，通常不仅需要知道像的位置， 而且还希望知道像的大小、虚实和倒正。由此引入垂轴放大率。 图 7-18 表示垂轴小物体AB被球面折射成像的情况。令物高和像

31、高分别以y和y表示，AB=y, AB=-y。 像的大小和物的大小的比值称为垂轴放大率或横向放大率， 以希腊字母表示： yy(7 - 25) 第 7 章 几何光学基础 由图中ABC和ABC相似可得 rlrlyy或 rlrlyy由(7 - 15)式可改写为 lnnlyy(7 - 26) 当求得一对共轭点的截距l和l后，可按上式求得通过该共轭点的一对共轭面上的垂轴放大率。 由(7 - 26)式可知， 垂轴放大率仅决定于共轭面的位置，在同一共轭面上，放大率为常数，故像必和物相似。 第 7 章 几何光学基础 当0, y和y异号，表示成倒像；当0，y和y同号，表示成正像。 当0, l和l异号，表示物和像处

32、于球面的两侧，实物成实像，虚物成虚像。 当0, l和l同号，表示物和像处于球面的同侧，实物成虚像，虚物成实像。 当|1， 为放大像； 当|1, 为缩小像。 第 7 章 几何光学基础 第 7 章 几何光学基础 7.2.5 7.2.5 轴向放大率轴向放大率 对于有一定体积的物体，除垂轴放大率外，其轴向也有尺寸，故还有一个轴向放大率。轴向放大率是指光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系。如果物点沿轴移动一微小量dl，相应地像移动dl，轴向放大率用希腊字母表示，定义为 dldl(7 - 27) 单个折射球面的轴向放大率由对(7 - 17)式微分得到： 022lndlldln第 7 章 几何光学基础 则有

33、 22 lnnldldl或 2nn(7 - 28) 由此式可见，如果物体是一个沿轴放置的正方形，因垂轴放大率和轴向放大率不一致，则其像不再是正方形。还可以看出， 折射球面的轴向放大率恒为正值， 这表示物点沿轴移动，其像点以同样方向沿轴移动。 第 7 章 几何光学基础 公式(7-28)只有当dl很小时才适用，如果物点沿轴移动有限距离，如图 7-19 所示，此距离显然可以用物点移动的始末两点A1和A2的截距差l2-l1来表示，相应于像点移动的距离应为l2-l1，这时的轴向放大率以表示 1212llll对A1和A2点分别用(7 - 17)式可得 1122lnlnrnnlnln第 7 章 几何光学基础

34、 移项整理有 2112212212121212nnllnllnnnllllnnllll21nn即 其中1和2分别为物在A1和A2两点的垂轴放大率。 第 7 章 几何光学基础 第 7 章 几何光学基础 7.2.6 7.2.6 角放大率角放大率 在近轴区域内，通过物点的光线经过光学系统后，必然通过相应的像点，这样一对共轭光线与光轴夹角u和u的比值， 称为角放大率，以希腊字母表示： uu(7 - 30) 利用关系式lu=lu，上式可写为 ll(7 - 31) 与(7 - 26)式比较，可得 1nn(7 - 32) 第 7 章 几何光学基础 利用(7 - 28)式和(7 - 32)式， 可得三个放大率

35、之间的关系： 12nnnn(7 - 33) 第 7 章 几何光学基础 7.2.7 7.2.7 拉亥不变量拉亥不变量J J 由公式=y/y=nl/nl和公式=l/l=u/u，可得 nuy=nuy=J (7 - 34)此式称为拉格朗日亥姆霍兹恒等式，简称拉亥公式。其表示为不变量形式，表明在一对共轭平面内，成像的物高y, 成像光束的孔径角u和所在介质的折射率n三者的乘积是一个常数， 用J表示， 称为拉格朗日亥姆霍兹不变量， 简称拉亥不变量。 第 7 章 几何光学基础 7.3 共轴球面系统共轴球面系统 7.3.1 7.3.1 转面转面( (过渡过渡) )公式公式 一个共轴球面系统由下列数据所确定：各折

36、射球面的曲率半径r1,r2,，rk；各个球面顶点之间的间隔d1,d2,dk-1,d1是第一面顶点到第二面顶点之间隔，d2是第二面顶点到第三面顶点之间隔，依次类推；各球面间介质的折射率n1,n2,nk+1,n1是第一面之前的介质折射率，nk+1是第k面之后的介质折射率，依次类推。 第 7 章 几何光学基础 图 7-20 表示了一个在近轴区内物体被光学系统前三个面成像的情况。显然，第一个面的像方空间就是第二个面的物方空间，就是说，高度为y1的物体A1B1用孔径角为u1的光束经第一面折射成像后，其像A1B1就是第二面的物A2B2, 其像方孔径角u1就是第二面的物方孔径角u2，其像方折射率n1就是第二

37、面的物方折射率n2。同样，第二面和第三面之间， 第三面和第四面之间， 都有这样的关系， 依次类推， 故有 123121231212312,kkkkkkyyyyyyuuuuuunnnnnn(7 - 35) 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 20 共轴球面系统 第 7 章 几何光学基础 由图 7 - 20 可以直接求出截距的过渡公式 11223112,kkkdlldlldll(7 - 36) 必须指出，上述转面公式(7 - 35)和(7 - 36)对近轴光适用， 对远轴光也同样适用，即 112231121231212312,kkkkkkkdLLdLLdLLUUUUUUnnnnnn这就是(7 -

38、 6)式(7 - 9)式光路计算公式的转面公式。 (7 - 37) 第 7 章 几何光学基础 当用(7 - 16)式进行光路计算时，还必须求出光线在折射面上入射高度h的过渡公式。利用(7-35)式的第二式和(7-36)式的对应项相乘，可得 1111222233111122kkkkkkudululudululudulul故 111kkkkudhh(7 - 38) 第 7 章 几何光学基础 7.3.2 7.3.2 拉亥公式拉亥公式 利用公式(7 - 34)，对共轴球面系统的每一个折射面都可以写出各个面的拉亥公式 222222111111kkkkkkyunyunyunyunyunyun利用(7 -

39、35)式可得 Jyunyunyunyunyunkkkkkk333222111(7 - 39) 第 7 章 几何光学基础 7.3.3 7.3.3 放大率公式放大率公式 对于整个共轴球面系统的各个放大率，很容易证明等于各个折射面相应放大率之乘积： kkkkkkkkkkkkuuuuuuuudldldldldldldldlyyyyyyyy212211121221112122111(7 - 40) 第 7 章 几何光学基础 将单折射球面的放大率表示式代入上式， 即可求得 kkkkkkkll lll lnnlnlnlnlnlnln2121122221111(7 - 41) 111kkkununyy(7 -

40、 42) 21222211222222111nnnnnnnnnnkkkkkk(7 - 43) 第 7 章 几何光学基础 111111211222111kkkkkknnnnnnnnnn1121kknnnn(7 - 44) (7 - 45) 由此可见，共轴球面系统的总放大率为各折射球面放大率的乘积，三种放大率之间的关系与单个折射球的完全一样。 第 7 章 几何光学基础 7.4 球球 面面 反反 射射 镜镜 1. 1. 球面反射镜的物像位置公式球面反射镜的物像位置公式将n=-n代入(7 - 17)式， 可得球面反射镜的物像位置公式为 rll211(7 - 46) 第 7 章 几何光学基础 2. 2.

41、 球面反射镜的焦距球面反射镜的焦距将n=-n代入(7 - 18)式和(7 - 19)式，可得球面反射镜的焦距 2rff(7 - 47) 该式表明球面反射镜的二焦点重合。对凸球面反射镜，r0, 则f0； 对凹球面反射镜，r0 , 则f0。 第 7 章 几何光学基础 3. 3. 球面反射镜的高斯公式球面反射镜的高斯公式将(7 - 47)式代入(7 - 21)式， 可得球面反射镜的高斯公式: 111fll(7 - 48) 第 7 章 几何光学基础 4. 4. 球面反射镜的放大率公式球面反射镜的放大率公式同样， 可以得到球面反射镜的三种放大率公式： 12ll(7 - 49) 上式表明，球面反射镜的轴向

42、放大率永为负值，当物体沿光轴移动时，像总以相反的方向沿轴移动。当物体经偶数次反射时， 轴向放大率为正。 第 7 章 几何光学基础 5. 5. 球面反射情况下的拉亥不变量球面反射情况下的拉亥不变量将n=-n代入(7 - 34)式， 得球面反射时的拉亥不变量 yuuyJ(7 - 50) 球面反射镜的物像关系如图7-21 所示。当物体处于球面反射镜的球心时，由(7-46)式得l=l=r，并由(7 - 49)式得球心处的放大率为=1, =-1, =1。 第 7 章 几何光学基础 第 7 章 几何光学基础 7.5 平面镜、棱镜系统平面镜、棱镜系统 图 7 - 22 单个平面镜成像(实物成虚像) 7.5.

43、1 平面反射镜平面反射镜 1. 单平面镜的成像特性单平面镜的成像特性 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 23 单个平面镜成像(虚物成实像) 第 7 章 几何光学基础 如果射向平面反射镜的是一会聚同心光束， 即物点是一个虚物点，如图7-23 所示，则当光束经平面镜反射后成一实像点。 不管物和像是虚还是实，相对于平面反射镜来说，物和像始终是对称的。由于其对称性，如果物体为左手坐标系O-xyz， 其像的大小与物相同， 但却是右手坐标系O-xyz， 如图7-24 所示，这种物像不一致的像， 叫做“镜像”或“非一致像”。如果物体为左手坐标系，而像仍为左手坐标系，则这样的像称为“一致像”。容易想到，物

44、体经奇数个平面镜成像， 则为镜像， 而经偶数个平面镜成像，则为一致像。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 24 单个平面镜成镜像 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 25 平面镜绕垂直入射面轴的转动 第 7 章 几何光学基础 平面镜还有一个性质，即当保持入射光线的方向不变， 而使平面镜转动一个角，则反射光线将转动2角。现证明如下：如图 7-25 所示，p是表示平面镜p转过角以后的位置，AO为入射光线，NO为平面镜转动前入射点的法线，AO为平面镜转动前的反射光线。当平面镜绕入射点O顺时针转动角时，其入射点法线为 N O,反射光线为AO。AO和AO之间有下列关系： 221) (21OAAOA

45、AAOAAOANONNAONNOPPO在光点式灵敏电流计中，在红外系统的光机扫描元件及其它光学仪器中，都应用了平面反射镜的这个特性。 第 7 章 几何光学基础 平面反射镜在光学仪器中常用来改变光路方向， 如图 7 - 26 所示，由于平面镜是“理想光学系统”，对成像质量没有影响，所以在光路计算中可以不计算在内。但是，必须根据它在系统中的位置和光束通过情况， 计算出它的大小尺寸， 并在绘制光路图时将其绘出。 第 7 章 几何光学基础 综上所述， 单个平面镜的成像特性可归纳为： 点物成点像。 物和像以平面镜对称， 成非一致像。 实物成虚像， 虚物成实像。 平面镜的转动具有“光放大作用”。 第 7

46、章 几何光学基础 图 7 - 26 平面镜改变光路方向 第 7 章 几何光学基础 2. 双平面镜的成像特性双平面镜的成像特性 图 7 - 27 双平面镜成像 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 28 在双平面镜上各反射一次的成像 第 7 章 几何光学基础 由O1O2M得 )(2222121iiii因两平面镜在O1, O2点的法线交于一点N，故由O1O2N得 或 22121iiii或 所以 第 7 章 几何光学基础 该式表明，出射光线和入射光线之间的夹角与入射角无关， 只决定于反射镜间夹角。因此，光线方向的改变可以根据实际需要通过选择适当的角来实现。如果保持两反射镜间的夹角不变，在入射光线方向

47、不变的情况下，当两平面镜绕垂直于图平面的轴旋转时，它的出射光线方向始终不会改变。 双平面反射镜的成像特性可归纳为： 二次反射像的坐标系统与原物坐标系统相同， 成一致像。 位于主截面内的光线，不论其入射方向如何，出射线的转角永远等于两平面镜夹角的二倍，其转向与光线在反射面的反射次序所形成的转向一致。 第 7 章 几何光学基础 7.5.2 7.5.2 平面折射平面折射 1. 1. 平面折射的基本公式平面折射的基本公式 在光学系统中经常遇到一些平面光学零件，如平凸、平凹透镜及全反射棱镜等，因此需要导出光线入射于平面时折射成像的公式。如图 7-29 所示，一光线AO入射到平面界面上将产生折射， 由图可

48、见， tantansinsinULULIUInnIUI(7 - 51) (7 - 52) (7 - 53) 第 7 章 几何光学基础 即 tantanUULL (7 - 54) 可将(7 - 54)式改写为 cos/ sincos/sinUUUULL 将(7 - 51)式和(7 - 53)式代入(7 - 52)式得 nnUUsinsin所以有 UnUnLLcoscos(7 - 55) 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 29 平面折射 第 7 章 几何光学基础 (7 - 51)、 (7 - 52)、(7 - 53)和(7 - 55)式即为平面折射的 基本公式，由此就能够确定任意一条光线经过平

49、面折射后的光路。由公式可见，对于一个折射平面来说，L也是U角的函数， 亦即由光轴上同一物点发出的具有不同U角的光线，经过平面折射之后， 并不能都相交于一点，也就是说不能成完善像。 如果入射光线为近轴光线， 则上述平面折射的基本公式可表示为如下形式: luuliuinniui(7 - 56) 可以看出，近轴光线经过平面折射，可以成完善像，并=+1，即为正像，像的大小与物一样。 第 7 章 几何光学基础 2. 2. 光线经平行平板时的折射光线经平行平板时的折射 光学仪器中常用到由两个折射平面构成的玻璃平板，或者由一些特定材料构成的平行平板，如红外探测器的窗口等。 图 7-30 给出了一个厚度为d的

50、平行平板，设它处于空气中， 即两边的折射率都等于1，平行平板玻璃的折射率为n。从轴上点A发出的与光轴成U1的光线射向平行平板，经第一面折射后， 射向第二面，经折射后沿EB方向射出。出射光线的延长线与光轴交于点A2，此即为物点A经平行平板折射后的虚像点。光线在第一、第二两面上的入射角和折射角分别为I1、I1和I2、 I2，按折射定律有 2211sinsinsinsinIInInI第 7 章 几何光学基础 图 7 - 30 平行平板的折射 第 7 章 几何光学基础 因两个折射面平行，有I2=I1,I2=I1。故U1=U2，可见出射光线EB和入射光线AD相互平行。即光线经平行平板折射后方向不变。 按

51、放大率一般定义公式可得 1, 11, 1tantan2UU所以平行平板不使物体放大或缩小。 光线经平行平板折射后，虽然方向不变，但要产生位移。由图中的DGE知111cos)sin(IdDEIIDEDG第 7 章 几何光学基础 可得侧向位移或平行位移 )sin(cos111IIIdDG将sin(I1-I1)展开并利用sin I1=n sin I1得 111coscos1sinInIIdDG(7 - 57) 若位移沿平行平板垂线方向计算，得到从像点A2到物点A的距离，称为轴向位移，以L表示，有 1sinIDGL 第 7 章 几何光学基础 代入(7 - 57)式，得 11coscos1InIdL(7

52、 - 58) 因(sin I1/sin I1)=n, 所以 IIdLtantan1(7 - 59) 该式表明，L因不同的I1值而不同，即物点A发出的具有不同入射角的各条光线，经过平行平板折射后，具有不同的轴向位移量。 这就说明从物点A发出的同心光束经过平行平板后， 就不再是同心光束，成像是不完善的。同时可以看出厚度d越大， 轴向位移越大，成像不完善程度也越大。 第 7 章 几何光学基础 如果入射光束以近于无限细的近轴光束通过平行平板成像， 因为I1角很小，余弦可用1替代，这样(7 - 58)式变为 ndl11(7 - 60) 式中，用l代替L，以表示该式仅是对近轴光线的轴向位移。该式表明， 近

53、轴光线的轴向位移只与平行平板厚度d及折射率n有关，而与入射角i1无关。因此物点以近轴光经平行平板成像是完善的。 第 7 章 几何光学基础 7.5.3 反射棱镜反射棱镜 图 7 - 31 反射棱镜 第 7 章 几何光学基础 1. 1. 反射棱镜的分类及作用反射棱镜的分类及作用 根据不同的需要，反射棱镜有很多类型。按难易程度分， 反射棱镜可分为普通棱镜和复合棱镜两大类。普通棱镜就是单个的简单棱镜，如等腰直角棱镜，五角棱镜等等。其主截面如图 7-32(a)所示。复合棱镜是由两个或两个以上的普通棱镜组成的棱镜，如阿贝棱镜等等。其主截面如图 7 - 32(b)所示。 反射棱镜一般有两个折射面和若干个反射

54、面， 统称为工作面。 两个工作面之交线称为棱， 垂直于棱的截面称为主截面。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 32 简单棱镜和复合棱镜第 7 章 几何光学基础 2. 2. 屋脊棱镜屋脊棱镜 在光学系统中有奇数个反射面时，物体成镜像。为了获得和物相似的像，在不宜增加反射面的情况下，可以利用两个互相垂直的反射面代替其中的一个反射面，这两个互相垂直的反射面叫做屋脊面。带有屋脊面的棱镜叫做屋脊棱镜。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 33 直角棱镜和直角屋脊棱镜 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 34 直角棱镜和直角屋脊棱镜反射成像 第 7 章 几何光学基础 3. 3. 反射棱镜成像方向的

55、确定反射棱镜成像方向的确定 反射棱镜主要作用是改变光轴和像的方向。光轴方向的改变直接按反射定律确定。 第一类， 具有单一主截面的棱镜和棱镜组。 具有单一主截面的直角棱镜如图7 - 35 所示。设物体为左手直角坐标系统，yOz平面与主截面重合，Oz与光轴重合，因Ox垂直于yOz平面，所以Ox与反射面平行。Oz经棱镜反射后沿光轴出射，方向为Oz。Ox因和反射面平行，故反射后方向不变， 即Ox方向与Ox方向相同。根据平面镜成镜像特性， 即物为一左手坐标系统，像应为一右手坐标系统，在Ox和Oz方向已知的条件下，利用右手坐标系统即可画出Oy的方向。 第 7 章 几何光学基础 直角屋脊棱镜如图7 - 36

56、 所示，物仍为一左手坐标系统，因为z和y坐标的反射条件不变(均在光轴截面内)， 所以反射后的方向与图 7 - 35 相同。但x坐标垂直于主截面， 在屋脊面上反射两次，出射后的方向与原方向相反， 因此， 物体经直角屋脊棱镜反射一次后，仍为一左手坐标系统， 与原物相同， 成一致像。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 35 直角棱镜成像方向 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 36 直角屋脊棱镜成像方向 第 7 章 几何光学基础 由此可得出具有单一主截面的棱镜和棱镜组的成像方向规律：Oz坐标，经棱镜或棱镜组反射后，其光轴出射方向即是OZ的方向；Ox坐标，其反射后的方向由屋脊面的对数而定，当无屋

57、脊面或屋脊面对数为偶数时，Ox与Ox同向， 当屋脊面对数为奇数时，Ox与Ox反向；Oy坐标，其反射后的方向由光轴反射次数而定。光轴同向光轴反射次数为偶数时，Oy与Oy同向，光轴反射次数为奇数时， Oy与Oy反向。 光轴反向光轴反射次数为偶数时， Oy与Oy反向，光轴反射次数为奇数时，Oy与Oy同向。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 37 棱镜成像方向举例 第 7 章 几何光学基础 这里的光轴“同向”和“反向”的意思是： “同向”指入射光轴和出射光轴平行，或光轴偏转角小于90的情况； “反向”指光轴偏转角大于90的情况。 当光轴正好偏转90时， 可认为是同向的，也可认为是反向的， 所得结果

58、相同。另外， 根据屋脊面的成像性质，它不影响主截面内像的方向， 因此在系统中有屋脊面时，光轴看作是在屋脊棱上反射， 光轴反射次数只计算一次，而计算系统的总反射次数时屋脊面计算两次。 第 7 章 几何光学基础 下面举例说明上述规律的应用。如图7 - 37(a)所示的棱镜系统，由于系统中无屋脊面，故Ox与Ox同向；Oz为光轴的出射方向；由于光轴同向，光轴反射次数为七次，故Oy与Oy反向。再如图 7 - 37(b)所示的有一对屋脊面的棱镜系统。 因有一对屋脊面，故Ox与Ox反向； Oz为光轴出射方向；由于光轴同向，光轴反射次数为七次，故Oy与Oy反向。 第二类， 具有两个互相垂直的主截面的平面棱镜系

59、统。 第 7 章 几何光学基础 如图7-38 所示，上述成像方向的规律仍然适用，只是需分两步进行讨论。对棱镜，因无屋脊面，故Ox与Ox同向； Oz为光轴的出射方向；光轴反向，光轴反射次数为二次， 故Oy与Oy反向。对棱镜， Oy与棱镜主截面相垂直。 因无屋脊面，故Oy与Oy同向；Oz为光轴的出射方向； 光轴反向，光轴反射次数为二次，故Ox与Ox反向。由图可见，Ox和Oy相对Ox和Oy均转了180，即在垂轴平面内，像的上下和左右相对于物均颠倒过来。这种转像系统应用于双筒望远镜，它能将望远镜所成物体的倒像颠倒过来， 使观察者看到与原物方位完全一致的像。 第 7 章 几何光学基础 图 7 - 38

60、主截面互相垂直的棱镜系统 第 7 章 几何光学基础 7.5.4 7.5.4 折射棱镜折射棱镜 折射棱镜如图7 - 39 所示，两个工作面(折射面)不同轴， 其交线称为折射棱，两工作面的夹角称为棱镜的顶角。 设棱镜位于空气中，其折射率为n，顶角为，入射角为i1，折射光线相对于入射光线的偏角为，其正负号以入射光线为起始边来确定，当入射光线以锐角方向顺时针转向折射光线时为正，反之为负，图中0。由图 7 - 39 有 2iii2211iiii第 7 章 几何光学基础 两式相加有 21ii 由折射定律有 2211sinsinsinsininiini将以上两式相减并进行变换可得 )(21cos)(21si