硕士《高等土力学》-极限平衡法1

1、高高 等等 土土 力力 学学主讲人主讲人: : 张张 升升e-mail: 知识体系知识体系l 土的弹塑性理论基础土的弹塑性理论基础l 塑性力学的上、下限定理塑性力学的上、下限定理l 下限解下限解 垂直条分法垂直条分法 陈祖煜陈祖煜l 上限解上限解 斜条分法斜条分法 陈祖煜陈祖煜l 流固耦合方法（流固耦合方法（PFEMPFEM） 盛岱超盛岱超l 剑桥模型的阐述剑桥模型的阐述 张锋张锋Soil mechanic is not an experiential technology Soil mechanic is a kind of sciencel 边坡稳定、土压力、地基承载力边坡稳定、土压力、地

2、基承载力 强度问题强度问题 极限平衡分析极限平衡分析l 塑性理论的上、下限定理和条分法塑性理论的上、下限定理和条分法l Terzaghi，Perk，Sloan，黄文熙，陈祖煜，黄文熙，陈祖煜，etc.l 理论方法、数值模拟、试验方法理论方法、数值模拟、试验方法l 小变形理论小变形理论 、连续介质力学、连续介质力学 重大缺陷重大缺陷引言引言张量张量 tensor将任意一个矢量将任意一个矢量u转变成另一个矢量转变成另一个矢量v的线性变换的线性变换T称为张量称为张量 自由指标自由指标(free index) 式中某一项，若同一指标出现二次以上，规定对此指标进行求和运算，并省略求和符号 求和求和规定规

3、定其中出现二次以上的指标其中出现二次以上的指标 j 称为称为哑标哑标(dummy index) ，表示求和，表示求和: 张量中一旦出现哑标，则哑标的符号张量中一旦出现哑标，则哑标的符号 jj 可由其它任意哑标替换而不改变该张量可由其它任意哑标替换而不改变该张量的性质。另外，一旦出现哑标，则张量的性质。另外，一旦出现哑标，则张量的阶数将下降二阶，称之为的阶数将下降二阶，称之为缩并缩并。 单位张量单位张量(Kronecker ) 证明证明:l 土体稳定分析的基本提法和求解固体力学问题是土体稳定分析的基本提法和求解固体力学问题是一致的一致的, 即在一个确定的荷载条件下即在一个确定的荷载条件下, 寻找

4、一个应寻找一个应力场力场ij 和位移场和位移场ui, 以及相应的应变场以及相应的应变场ij。l 静力平衡：静力平衡：弹塑性理论弹塑性理论1 1l 变形协调变形协调弹塑性理论弹塑性理论2 2l 虚功原理虚功原理l 本构关系本构关系式式(6)通常采用摩尔通常采用摩尔库仑准则库仑准则, 即即一般不容许出现拉应力的限制条件一般不容许出现拉应力的限制条件, 即即塑性力学的上、下限定理塑性力学的上、下限定理1 1l 仅关心土体失稳时的极限承载能力仅关心土体失稳时的极限承载能力, 不需要了解此不需要了解此时的具体变形，回避最难以准确确定的时的具体变形，回避最难以准确确定的Cijkl 。l 方案方案1 如果边

5、坡表面作用有荷载如果边坡表面作用有荷载 , 可以将这个荷载增加到可以将这个荷载增加到直至破坏：直至破坏：l 方案方案2 极限状态是通过施加一个假想的水平体积力实现的；极限状态是通过施加一个假想的水平体积力实现的；l 方案方案3 定义安全系数，假定材料的抗剪强度指标降低至边定义安全系数，假定材料的抗剪强度指标降低至边坡处于极限状态：坡处于极限状态：塑性力学的上、下限定理塑性力学的上、下限定理2 2l 垂直条分法假定边坡内存在一潜在的滑裂面。垂直条分法假定边坡内存在一潜在的滑裂面。l 在这一滑裂面上，处处达到了极限平衡状态。在这一滑裂面上，处处达到了极限平衡状态。l 将这一滑动土体分成具有垂直边界

6、的条块，通过静力平衡将这一滑动土体分成具有垂直边界的条块，通过静力平衡得到相互关系。得到相互关系。下限解下限解 垂直条分法垂直条分法1 1下限解下限解 垂直条分法垂直条分法2 2l 存在着存在着4个未知量，即作用于土条底面的法向力，个未知量，即作用于土条底面的法向力，作用于土条侧面的总作用力、倾角及其作于侧面作用于土条侧面的总作用力、倾角及其作于侧面上的位置上的位置l 二个静力平衡方程和一个力矩平衡方程，缺少一二个静力平衡方程和一个力矩平衡方程，缺少一个方程个方程l 对土条侧面作用力的倾角作以下假定对土条侧面作用力的倾角作以下假定在实际应用中在实际应用中, 经常两种假定经常两种假定, 第一种假

7、定取第一种假定取f0 (x)=0 , f(x)=1 , 即即Spencer 法。第二种假法。第二种假定取定取f(x)为一正弦曲线。引入假定函数后为一正弦曲线。引入假定函数后, 解解得安全系数得安全系数F(或土压力或土压力P)和和这两个未知量。这两个未知量。下限解下限解 垂直条分法垂直条分法3 3l 由于引入假定的函数由于引入假定的函数f 0(x)和和f(x)可以是多种多样的，可以是多种多样的，则安全系数则安全系数F 的解答也就不可能是唯一的。的解答也就不可能是唯一的。l 垂直条分法理论体系要求，所有的这些解答都要接受垂直条分法理论体系要求，所有的这些解答都要接受以下的合理性条件的限制：以下的合

8、理性条件的限制：式中式中E和和 X 分别为作用于侧面的有效作用力和切向力，分别为作用于侧面的有效作用力和切向力，av和和cav为侧面上的平均有效抗剪强度指标，为侧面上的平均有效抗剪强度指标，h为土条高度，为土条高度，N为作用于条块底部的法向作用力。为作用于条块底部的法向作用力。l x , y 方向的静力平衡方程方向的静力平衡方程, 可得：可得：下限解下限解 垂直条分法垂直条分法4 4其中其中l 对条底中点建立力矩平衡方程对条底中点建立力矩平衡方程, 可得可得式中式中ht 为水平地震力作用点与条底的距离；为水平地震力作用点与条底的距离；y t 为为G作用点的作用点的y 坐标值。坐标值。l 根据边

9、界条件，可获得边坡稳定垂直条分法的力根据边界条件，可获得边坡稳定垂直条分法的力和力矩平衡方程式的积分形式，分别为和力矩平衡方程式的积分形式，分别为下限解下限解 垂直条分法垂直条分法5 5l 在边坡稳定分析领域在边坡稳定分析领域, 式式(19) (25)中的土压力中的土压力P 为零为零, 因因而简化为而简化为下限解下限解 垂直条分法垂直条分法6 6下限解下限解 垂直条分法垂直条分法7 7l 在土压力领域在土压力领域, 式式(19)和和(20)中包含的中包含的F 为已知量为已知量, 其值为其值为1 。可以通过式。可以通过式(19)直接求解直接求解P , 再代入式再代入式(20)得到一个只得到一个只

10、包括一个未知量包括一个未知量的方程式的方程式:l 在滑裂面固定时在滑裂面固定时, 传统的极限平衡方法所获得的是一个静传统的极限平衡方法所获得的是一个静力许可的解答，其解答应视为满足下限定理的框架力许可的解答，其解答应视为满足下限定理的框架, 相应相应的是小于真实解的、留有余地的安全系数。的是小于真实解的、留有余地的安全系数。l 如果严格遵循加荷的途径来分析结构的安全度如果严格遵循加荷的途径来分析结构的安全度, 那么临界那么临界破坏模式相应的目标函数应为最大破坏模式相应的目标函数应为最大, 而不是最小而不是最小, 这和下限这和下限定理是一致的。定理是一致的。l 尽管对这个问题在理论上还有不同的认

11、识尽管对这个问题在理论上还有不同的认识, 对于工程师来对于工程师来说至关重要的是说至关重要的是, 了解他们经常使用的了解他们经常使用的“ Bishop” 、“Morgenstern-Price”法等总在提供一个偏安全的解。法等总在提供一个偏安全的解。下限解下限解 垂直条分法垂直条分法8 8l 理论框架理论框架l 对于一个处于极限状态的边坡，假定在土体里存在一个塑对于一个处于极限状态的边坡，假定在土体里存在一个塑性区，塑性区里各点均达到屈服，在这一塑性区和边界上性区，塑性区里各点均达到屈服，在这一塑性区和边界上如果由于某一外荷载增量导致一个塑性应变。如果由于某一外荷载增量导致一个塑性应变。上限解

12、上限解 斜条分法斜条分法1 1l 通过虚功原理，求解相应这一塑性变形模式的外荷载：通过虚功原理，求解相应这一塑性变形模式的外荷载：上限解上限解 斜条分法斜条分法2 2l 上限定理指出，相应真实塑性区的外荷上限定理指出，相应真实塑性区的外荷 一定比虚拟荷载一定比虚拟荷载小或相等。小或相等。l 因此，极限分析上限解就是在许多可能的滑动机构中寻因此，极限分析上限解就是在许多可能的滑动机构中寻找一个使虚拟荷载最小的临界滑动机构。找一个使虚拟荷载最小的临界滑动机构。l 式中式中 是外荷载增量引起的塑性位移增量，这个位移率是外荷载增量引起的塑性位移增量，这个位移率通常称为塑性速度，通常称为塑性速度，W 是

13、塑性区的体积力。是塑性区的体积力。l 式式(32)的左边两项分别是产生于破坏体塑性内和沿滑裂的左边两项分别是产生于破坏体塑性内和沿滑裂面的内部耗散能。面的内部耗散能。l 如果材料遵守摩尔如果材料遵守摩尔库仑破坏准则和相关联的流动法则，库仑破坏准则和相关联的流动法则，则可确认速度则可确认速度V 与滑面夹角为与滑面夹角为e。因此单位面积内能耗散。因此单位面积内能耗散可用下式表示可用下式表示:上限解上限解 斜条分法斜条分法3 3l 斜条分法将滑动土体分成若干具有倾斜侧面的土条，假定斜条分法将滑动土体分成若干具有倾斜侧面的土条，假定沿条块底面和侧面土体，均达到了极限平衡。沿条块底面和侧面土体，均达到了

14、极限平衡。l 每一条块本身视为一个刚体，在某一外力增量的作用下，每一条块本身视为一个刚体，在某一外力增量的作用下，每个条块将产生一个塑性变形增量每个条块将产生一个塑性变形增量 ，式，式(32)可简化为可简化为分别用上标分别用上标s 和和j 表达底面和界面的内能耗散。表达底面和界面的内能耗散。l 土条被划分为土条被划分为n 个土条个土条, 包括包括n -1 个侧面。个侧面。l 由于速度由于速度V 与滑动界面的夹角必须为与滑动界面的夹角必须为e ，知道第一个条，知道第一个条块的速度块的速度V1 后，即可求得第二个条块的速度后，即可求得第二个条块的速度V2 和第一个和第一个条块相对于第二个条块的速度

15、条块相对于第二个条块的速度Vj1 。l 依此类推依此类推, 任意一条块的任意一条块的V 和和Vj 可表达成第一个条块的速可表达成第一个条块的速度度V1 的线性函数。的线性函数。l 这样这样V 不再是未知数不再是未知数, 我们将通过式我们将通过式(34)求解一个求解一个F 值。值。上限解上限解 斜条分法斜条分法4 4l 位移协调条件要求相邻条块的移动不至于导位移协调条件要求相邻条块的移动不至于导致它们重叠或分离，即速度多边形要闭合。致它们重叠或分离，即速度多边形要闭合。l 根据这个条件，右侧条块的速度根据这个条件，右侧条块的速度Vr和左、右和左、右条块间的界面的相对速度条块间的界面的相对速度Vj

16、 可以通过左侧可以通过左侧条块的速度条块的速度Vl 确定：确定：上限解上限解 斜条分法斜条分法5 5l 则任意一条块的则任意一条块的V 和和Vj 可表达成第一个条块的可表达成第一个条块的速度速度V1的线性函数的线性函数:l 为减少数值分析的自由度，降低用最优化方法计算临界滑动模式的难度。为减少数值分析的自由度，降低用最优化方法计算临界滑动模式的难度。上限解上限解 斜条分法斜条分法6 6各分段块体中各分段块体中xk , xk +1段可按线性内插原则进一步细分为若干条块。当段可按线性内插原则进一步细分为若干条块。当条块宽度条块宽度x 很小时很小时, 分别将分别将V 和和V+dV 代替式代替式(35

17、)中的中的Vl 和和Vr , 可得计算可得计算任一条块的任一条块的V 的微分方程。的微分方程。上限解上限解 斜条分法斜条分法7 7在滑面连续处则为在滑面连续处则为最终获得计算安全系数或加载系数的公式最终获得计算安全系数或加载系数的公式方案1方案2方案3“塑性能塑性能”与与“塑性势函数塑性势函数”剪缩剪缩剪胀剪胀Fh外力引起重力势能变化外力引起重力势能变化Fl外力引起热能变化外力引起热能变化实际上实际上没有没有所谓的所谓的塑性能塑性能！也没有也没有所谓的所谓的塑性势函数塑性势函数！塑性势函数只是为了方便，塑性势函数只是为了方便，参照弹性势函数设定一种参照弹性势函数设定一种假假想想的势函数。的势函

18、数。因此，在塑性势函数中最为因此，在塑性势函数中最为重要的是重要的是状态变量状态变量的选择！的选择！深刻理解深刻理解势函数势函数与与状状态变量态变量的内涵的内涵状态变量状态变量 state variable平均主应力平均主应力:131321323Ip主应力差主应力差: 31q孔隙比孔隙比: e 通过试验可以证明通过试验可以证明各向同性固结试验各向同性固结试验 e132p10log0,321qp1 pc N.C.L Cs Cc e132p10log(正常固结曲线) 正常固结 超固结 1 0100logppCeeeccsppCe10log压缩压缩:膨胀膨胀:各向异性固结试验各向异性固结试验 H3H

19、1v0p10log12ecC1cC1cC1H3H1v0p10log12ecC1cC1cC1土的自然固结土的自然固结(K0 固结， ) 10KvHK0水平应力水平应力Hv 竖向应力竖向应力室内试验，即剪应力比室内试验，即剪应力比pq恒定的固结试验恒定的固结试验 剪应力比恒定剪应力比恒定的的各向异性固结各向异性固结试验试验中，中，e-log p曲线的斜率曲线的斜率保持一定保持一定平均主应力保持一定的三轴压缩试验平均主应力保持一定的三轴压缩试验 a q e 1pp 2pp 3pp 321pppp321pppp123pppa q/p 1pp 2pp 3pp321pppp321pppp123pppe 1

20、 D*(1+e0) q/p e0pconstppqe之间存在一一对应的关系之间存在一一对应的关系:与与)1 ()1 (00eDpqeDe在平均主应力一定的三轴压缩试验在平均主应力一定的三轴压缩试验中，体积压缩正比于剪应力比，而中，体积压缩正比于剪应力比，而与平均主应力的大小无关。与平均主应力的大小无关。不同应力路径下的不同应力路径下的e-p-q的关系的关系 (c) (b) (a) F E D C B A F E D C B A D E F C A B p e e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 q/p=2 q/p= 1 q/p=0 e: 3 =const Log10 p e e1 e2

21、e3 e4 e5 e6 e7 q/p=2 q/p= 1 q/p=0 q/p=0 q/p=2 q/p= 1 e3 e2 e1 e5 e4 e7 e6 3一定的三轴压缩 q p p 一定的三轴压缩 剪应力比一定的固结 e: 3 =const 从从A点到点到F点，无论从哪条路点，无论从哪条路径到达，其体积压缩量径到达，其体积压缩量是相是相同的。也就是说，同的。也就是说，体积压缩体积压缩量与应力路径无关量与应力路径无关! 即即e可以可以作为一个状态变量。作为一个状态变量。A-D-E-FA-B-E-FA-B-C-FAF任意二个应力状态任意二个应力状态AF，体积压缩量体积压缩量平均主平均主应力应力剪切应剪

22、切应力比力比e = e + e 010logppCecI)1 (0eDeII)1 (log0010eDppCec 令土骨架的体积为 1，则土的总体积为 V=1+e0。 当体积变化V=e 时， 体积应变为01eeVVv DppeCeecv01000log111 e0 e 土骨架 空隙 0100log1ppeCsevDppeCCscevvpv0100log1塑性体积应变塑性体积应变与与体积压缩体积压缩量量为同等的为同等的状态变量状态变量！Dppekpv00ln1剑桥模型的塑性势函数剑桥模型的塑性势函数 cam-clay model0ln100pvpvDppekqpff),(临界状态与应力路径临界状

23、态与应力路径临界状态临界状态 (critical state) : 在临界状在临界状态下态下塑性体积应变增量为零塑性体积应变增量为零0pdpvdd p P20 P10 P1 q C.S.L M* 1 1 P2 非排水三轴压缩试验的有效应力路径非排水三轴压缩试验的有效应力路径 q 平均应力m的三轴压缩试验全应力路径 最小应力一定的压缩试验全应力路径 和的有效应力路径 3 p 1 C.S.L. 非排水三轴压缩试验的全应力路径及有效应力路径非排水三轴压缩试验的全应力路径及有效应力路径 一般应力状态时的剑桥模型一般应力状态时的剑桥模型MekDwhereDppekfpv1)1 (,0ln1000将将p-

24、q应力空间应力空间中的模型推广至一般应力状态，须用中的模型推广至一般应力状态，须用一般应力空间的不变量一般应力空间的不变量 2,Jm013ln02*0pvmmmeJMf势函数、屈服准则势函数、屈服准则流动流动法则法则协调方程协调方程 df = 0 0pvpvijijdfdfHooke定理定理 klijklklijklpklklijkleklijklijfEdEddEdEd)(预备预备: 偏应力张量偏应力张量)3/(1ijijijIs3/,1IpmijijssJq2123133,3ijmijijsijpijfdiiijpijpvfddmijijmmijJsMMJf123331222*01 efp

25、v010iiklijklijklijklijfefEfdEfklijklijiiklijklijfEffedEf01一般应力状态时的剑桥模型一般应力状态时的剑桥模型（续）（续）klijklijiiklijklijfEffedEf01ppqmnpqmnmmpqmnpqmnhdffEffedEf01pqmnpqmnpqmnpqmnmmpdEfdffEffehwhere,1,0ppqijpqklmnklmnklijklpklijklpqmnpqmnklijklpklijklklijklijhfEdEfdEhfEdEfdEdEdEd klpijklijklklpijpqmnklpqmnijklijdE

26、EdhEEffEd)(pmnklijpqpgmnpijklhEEffEwhere,Hooke定理定理 )1/(2/),21/()1/(),(,EGEGEwherejkiljlikklijijklv为泊松比，为泊松比，E为弹性模量为弹性模量 下负荷屈服面下负荷屈服面 subloading failure surface剑桥模型剑桥模型只适合于只适合于正常固结正常固结粘土粘土 p .pc Q q P 正常固结屈服面 超固结状态 经典土力学弹塑性理论经典土力学弹塑性理论(包括剑桥模型包括剑桥模型)中，在中，在卸载及再加载过程中的土的应力应变关系是卸载及再加载过程中的土的应力应变关系是被假定为弹性被假

27、定为弹性的。但实际上即使在的。但实际上即使在卸载及再卸载及再加载过程中也会产生塑性应变加载过程中也会产生塑性应变。此外，正常。此外，正常固结粘土一旦进入卸载过程固结粘土一旦进入卸载过程(AB)及再加载及再加载过程过程(BC)，它就变成超固结状态了。也就，它就变成超固结状态了。也就是说，在是说，在超固结状态下也会产生塑性应变超固结状态下也会产生塑性应变。 D B A(C) O C A O D B 下负荷屈服面、各向同性固结下负荷屈服面、各向同性固结 e (OC)2 (OC)1 (NC)1 (NC)2 P2 log10 p C.S.L N.C.L P1 超固结状态超固结状态与与正常固结状态正常固结

28、状态之间的之间的孔孔隙比之差隙比之差(其物理意义为密度差其物理意义为密度差):)(log)(1021OCRCCeescOCR 各向同性固结时各向同性固结时的孔隙比变化的孔隙比变化 0 ij 正常屈服面 下负荷屈服面 y Hashiguchi & Ueno (1977) 下负荷面是经过现有应力点并和正常屈下负荷面是经过现有应力点并和正常屈服面几何相似的面。下负荷面必定经过服面几何相似的面。下负荷面必定经过现在应力状态，且随应力变化而变化。现在应力状态，且随应力变化而变化。即现在应力都存在于下负荷面上。因此即现在应力都存在于下负荷面上。因此加载准则比经典弹塑性理论的简单，不加载准则比经典弹塑性理论

29、的简单，不需要判断应力状态是否到达屈服面。需要判断应力状态是否到达屈服面。 平均主应力平均主应力p一定的三轴排水压缩试验一定的三轴排水压缩试验 初始应力状态时初始应力状态时相同相同但但p不同不同 e (OC)2 (OC)1 (NC)1 (NC)2 P2 log10 p C.S.L N.C.L P1 0 0 (收缩) q2 q1 e e e e a a (NC)2 (OC)1 (NC)1 (NC)1,(NC)2 (NC)1,(NC)2 (NC)1,(NC)2 (OC)1,(OC)2 (OC)1,(OC)2 Mpqf(a) aeq关系 (b) aepq关系 (OC)2 q q/p (收缩) (OC

30、)1,(OC)2 排水剪切时的孔隙比变化排水剪切时的孔隙比变化 排水剪切时的应力应变关系排水剪切时的应力应变关系 平均主应力平均主应力p一定的三轴排水压缩试验一定的三轴排水压缩试验 初始应力状态时初始应力状态时p 相同相同但但不同不同 p1 log10 p （NC） e3)(OC1)(OC2)(OCC.S.L N.C.L =(oc)1:小 =0(oc)2:中 e :大 :中 :小 0 0 :中 :大 0 =(oc)3:大 0)(.pqLCN MpqLSC)(.p10loge:小 pqe(收缩) pqp 剪切前的初始状态剪切前的初始状态 p相同但超固结比不同相同但超固结比不同的的4种状态种状态

31、应力应变关系应力应变关系 排水剪切时的孔隙比变化排水剪切时的孔隙比变化 非排水三轴压缩试验非排水三轴压缩试验 初始应力状态时初始应力状态时p 相同相同但但不同不同 p (OC)1 (NC) 0 e C.S.L N.C.L C.S.L :小 :中 :大 (OC)2 (OC)3 =0 q 初始孔隙比初始孔隙比e相同相同但但p不同不同 (OC)3 (OC)2 (OC)1 (NC) C.S.L N.C.L ieep10log非排水剪切时的有效应力路经非排水剪切时的有效应力路经 剪切前的应力状态剪切前的应力状态 p q C.S.L :小 :中 (OC)3 (OC)2 (OC)1 C.S.L N.C.L

32、:大 0(NC) e 非排水剪切时的有效应力路经非排水剪切时的有效应力路经 下负荷屈服面剑桥模型下负荷屈服面剑桥模型、初始状态初始状态正常固结重塑粘土，状正常固结重塑粘土，状态变量为态变量为e、p、q，超，超固结重塑粘土，状态变固结重塑粘土，状态变量为量为e、p、q、 (OCR) pN1e pN1 lnp pN1e pN1 q P (p, q) e0 p P0=98kpa 1 1 B 正常固结屈服面 下负荷屈服面 A e p0 0)1(13ln2*0eCJMffpVpmmms屈服函数屈服函数初始状态（应力等）初始状态（应力等） pc pi p0 = 98 kPa N.C.L ei e0 e ei ln p 1 1 初始应力状态 01,ekCwherep下负荷屈服面剑桥模型（续一）下负荷屈服面剑桥模型（续一）协调方程协调方程 df = 0 0)1(10eddCdfdfpVpijijTime-independ