Chapter结构动力学PPT课件

1、第十六章 结构动力学前面各章涉及的都是静力荷载的各种计算问题。16-1 概述静力荷载施力过程缓慢，产生的加速度很小，相关的惯性力可以忽略。结构处于平衡状态，荷载及产生的内力、变形都不随时间变化。第1页/共84页动力荷载产生明显的加速度，加速度不可忽略。在工程结构中，除了结构自重及一些永久性荷载外，其他荷载都是或大或小的动力荷载。如果荷载变化很慢，周期远大于结构的自振频率时，动力作用很小，为了简化计算，可作为静力荷载处理。如果荷载的动力效应明显，必需作为动力荷载处理。第2页/共84页动力荷载的分类：1）简谐周期荷载（振动荷载）随时间按正弦规律变化的周期性荷载，如具有偏心质量的洗衣机、电机产生的动

2、力荷载2）冲击荷载荷载很快作用于结构并在极短时间消失的荷载，如打桩机的桩锤对桩的冲击3）突加荷载在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载第3页/共84页动力荷载的分类：4）快速移动的荷载如快速通过桥梁的火车、汽车5）随机荷载荷载的变化是随机的，如风荷载的脉动作用，地震对建筑物的作用第4页/共84页自由振动结构受外部干扰发生振动，在振动过程中不再受外部干扰力作用的振动。强迫振动结构在振动过程中不断受到外部干扰力的作用。结构自由振动时的频率和振型是结构的固有特性，是研究强迫振动的前提。第5页/共84页16-2 结构振动的自由度如果梁的质量较小，可以忽略，重物只要一个参数可以确定其位置。第6页/共

3、84页a)刚性杆件，一个参数可以确定三个质点位置1个自由度；b)梁的质量可以忽略，3个参数3个自由度；c)确定质点位置，需2个参数2个自由度；d)4个质点，加入3根链杆，可以把所有质点都约束住3个自由度f)分布质量的梁，无限自由度。第7页/共84页16-3 单自由度结构的自由振动最简单的结构振动形式，在初始干扰的作用下，下次自由振动。初始干扰：1）初始位移；2）初始速度。第8页/共84页1.无阻尼自由振动所有单自由度结构的振动，都可以简化为简单的质点弹簧模型。静力平衡位置为参数坐标的原点。质点发生单位位移时弹簧施加的力弹簧的刚度k11;在单位力作用下发生的位移弹簧的柔度1111111k第9页/

4、共84页研究结构振动，必需首先建立振动（微分）方程。两种方法：1）刚度法直接根据达朗伯原理，列出动力平衡方程；2）柔度法列位移方程第10页/共84页1）列动力平衡方程质点为隔离体弹簧作用力（恢复力）11Sk y 负号表示指向静力平衡位置惯性力Imy 负号表示与加速度方向相反在静力平衡位置，弹簧的初拉力与质点的重力mg相互平衡而抵消。由达朗伯原理（动静法），质点动力平衡。0SI110myk y令211mk20yy单自由度结构无阻尼振动微分方程第11页/共84页1）列位移方程把惯性力Imy 看成一个静力荷载，产生的位移1111yIm y 110myk y20yy齐次线性方程通解12cossinyA

5、tAt12sincosyAtAt 初始条件00(0), (0)yyyy0102,yAyA得积分常数第12页/共84页00cossinyyytt220020sin(),tan/yatyyayy第13页/共84页简谐振动，a振幅；初相角。周期：T=2/ 完成一个周期单位的时间。 f=1/T :每秒钟所完成的振动次数，工程频率，单位:Hz(1/s)v=2/T :每秒钟变化的角度圆频率，简称频率(rad/s)1111111stkggmmm gst重力mg产生的静力荷载自振频率:结构的固有动力特性，与外加荷载无关。外力只改变振幅和初相角。第14页/共84页三种支承情况的梁，跨度l相同，刚度EI相同，在中

6、点有一集中质量m。在重力P=mg作用下的静力位移3331237,48768192PlPlPlEIEIEI 三种情况的自振频率12333348768192,7EIEIEImlmlml123:1:1.51:2第15页/共84页2. 考虑阻尼作用时的自由振动由于各种阻力的作用，结构的自由振动会逐渐衰减，直至停止。阻力：1）外部介质的阻力空气、液体的阻力、支承的摩擦等 2）物体内部的作用材料分子之间的摩擦和粘着力均称为阻尼力。阻尼现象的成因很复杂，计算阻尼力也很困难。许多学者提出过不同的阻尼力模型。通常用Voigt假设，粘滞阻尼力Ry 假设阻尼力与振动速度成正比，比较合理的近似假设阻尼力与速度方向相反

7、第16页/共84页RSIm, ,y y y 动力平衡0IRS110myyk y211,2kmm定义220yyy线形常系数齐次微分方程tyCe特征方程2220rr两个根为221,2r 第17页/共84页根据阻尼大小，有三种情况： 大阻尼情况特征根为负实数221,2r 222212(chsh)tyeCtCt非周期函数，不产生振动，结构受初始干扰偏离平衡位置后将缓慢回到原来位置。051015200.00.20.40.60.81.0Amplitudet第21页/共84页3）= 临界阻尼情况，特征根是一对重根r1,2=-12()tyeCC t这也是非周期函数，也不发生振动。由振动过渡到非振动状态之间的临

8、界状态，此时1临界阻尼系数2crcrm051015200.000.050.100.150.20amplitudet第22页/共84页16-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动RSIm, ,y y y P强迫振动结构在动力荷载作用下产生的振动。1120( )12( )IRSPmyyk yP tyyyP tm01(cossin )tyeBtt相应齐次方程通解微分方程解相应齐次方程通解特解经过一端时间衰减，可以只考虑特解第23页/共84页特解随干扰力（动力荷载）不同而异1）简谐周期荷载( )sinP tPt22sinPyyytm特解为12sincosyCtCt2212122212sincos2

9、cos2sinsincossinCtCtCtCtPCtCttm22121222122sin(2)cosPCCCtmCCCt第24页/共84页22121222122020PCCCmCCC2212222222222222()()42()4PCmPCm 解得22222222()sin2cos()4Pyttm 纯强迫振动或稳态强迫振动第25页/共84页1. 无阻尼强迫振动，022sin()Pytm振幅222221()1PPAmm由于211111kmm112211stAPy11styP2211stAy位移动力系数最大动力位移与静力位移之比第26页/共84页由和的比值，求得动力系数；再将动荷载的最大值P作

10、为静力荷载，求出结构位移yst，可求振动的振幅（最大位移）0.00.51.01.52.02.53.0-40-2002040位移动力系数频率比(/)，为负，动力位移与动力荷载反向；， ，共振。当动力荷载的频率接近结构的自振频率时，动力系数增大，位移、内力很大，应该避免。第27页/共84页2.有阻尼的强迫振动22222222222222()cos()42sin()4PAmPAm 令sin()yAtA有阻尼强迫振动的振幅；位移与动力荷载的相位差2222221221()42tanPAm 动力振幅相位差第28页/共84页2222222141stPAym 211111kmm222222141 动力系数除了

11、与频率比/有关外，还与阻尼比有关第29页/共84页0.00.51.01.52.02.53.0012345 =1 =0.5 =0.25 =0.2 =0.15 =1.1 =0动力系数频率比第30页/共84页1) 或 /1，动力系数1可以近似将Psint作为静力荷载处理。振动很慢，惯性力、阻尼力都很小，可以忽略。动力荷载主要由结构的恢复力平衡。有阻尼强迫振动，位移y与荷载P(t)之间有一个相位差；无阻尼强迫振动，22sin()Pytm，为负，动力位移与动力荷载反相；有阻尼强迫振动， 0位移基本与荷载同步1222tan第31页/共84页2) 或 /1，动力系数很小，A0，质量近似不动。由于振动很快，惯

12、性力很大，结构的恢复力、阻尼力可以忽略，动力荷载主要由惯性力平衡。惯性力与位移同相，动力荷载的方向与位移的方向相反，动力平衡。1803) 接近，动力系数变大90位移落后荷载约90，荷载最大时，位移最小，加速度也最小因此恢复力和惯性力最小，动力荷载由阻尼力平衡。荷载频率在共振频率附近时，动力系数主要受阻尼影响。0.751.25阻尼值将明显影响强迫振动的振幅。时，共振，振幅较大；阻尼较小时，共振现象很危险。一般规定， 需比小2530第32页/共84页例16-2典型例题发电机重量作用下的静力位移32.53mm48stQlEI自振频率1 11 11 116 2 .3(1 / s)stkggmmm g2

13、52.3(1/s)60n动力荷载系数2213.41第33页/共84页动力荷载产生的内力、位移等于静力影响的倍。max33max69kN m444.98mm4848QPstQPstQlPlMMMQlPlyyyEIEI第34页/共84页干扰力如果不直接作用在质点上，如图采用柔度方程建立振动方程。单位力作用在1点，产生位移11；单位力作用在2点，在1点产生位移12。在惯性力和荷载共同作用下，质点的位移为11121112( )()( )yIP tmyP t121111( )myk yP t第35页/共84页16-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动作为基础，需要先考察在瞬时冲量作用下的振动问题Q

14、P t在t=0时，假设质点初位移、初速度均为零。有冲量Q作用，由动量定理，质点获得速度0Qmy0Qym或第36页/共84页质点获得初速度，同时不产生初位移。在这种冲击下，结构产生自由振动000,QyymsintQyetm000(cossin )tyyyeytt若瞬时冲量不是在t=0，而是在t=时加于质点上()sin()()tQyettm一般形式的动力荷载，可以认为是一系列微小冲量Pd连续作用的结果。第37页/共84页()01( )( )sin()tty tPetdm任意荷载作用下的质点动态位移。如果不计阻尼0,01( )( )sin()ty tPtdmDuhamel积分如果在t=0，还有初始位

15、移y0和初始速度0y 000()0( )(cossin )1( )sin()tttyyy teyttPetdm0001( )cossin( )sin()tyy tyttPtdm无阻尼时，有第38页/共84页对于各种动力荷载，带入上式进行积分运算，可以得到强迫振动的解1）突加荷载突然施加在结构上，并保持常量第39页/共84页此时P()=P()01( )( )sin()tty tPetdm2( )1cossin1cossinttstPy tettmyett可求得产生位移极值的时刻22 sin0t 0dydt得t(1)1dstyyee 相应最大动位移若无阻尼影响（0，=）(1cos)1cosstyy

16、tt2dstyy第40页/共84页2) 短期荷载t=0时突然作用在结构上，t=t0时又突然消失。t=0时突加荷载，一直作用在结构上；t=t0等值反向突加荷载，抵消ot0P(t)Pt一般t0较小，荷载作用时间很短，位移衰减很小，可忽略阻尼影响。000000,(1 cos),(1 cos)1 cos()2sinsin22ststststttyytttyytyttttyt 前一段时间，为突加荷载情况；后一段时间为自由振动第41页/共84页02Tt 最大位移发生在后一阶段022tt有最大位移02sin2dsttyy动力系数002 sin2 sin2ttT0.00.10.20.30.40.50.00.5

17、1.01.52.0t0/T022Tt短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同第42页/共84页16-6 多自由度结构的自由振动多自由度结构振动微分方程建立的两种方法：1）刚度法列动力平衡方程2）柔度法列位移方程无重量简支梁，n个质点，n个自由度。一、刚度法1）假想加入附加链杆阻止所有结点的位移，在各结点的惯性力-mii（i=1,2,n）作用下，各链杆的反力等于mii；2）各结点发生与实际位置相同的位移，第43页/共84页各链杆的反力为Ri(i=1,2,n)。如不考虑阻尼，把1）和2）两种情况叠加，各附加链杆上的总反力0。0iiim yR11iiiiiinnRk yk yk y其中kij结构的刚度系

18、数，j点发生单位位移时，i点处附加链杆的反力。由反力互等定理，kij=kji110iiiiiiinnm yk yk yk y111111221222112222112200.0nnnnnnnnnnnm yk yk yk ym yk yk yk ym yk yk yk y第44页/共84页11111211222122221200000nnnnnnnnnmykkkymykkkymykkky 0MYKY多自由度结构无阻尼自由振动方程。M质量矩阵，对于集中质点的结构，为对角矩阵；K刚度矩阵，对称矩阵；加速度列向量；Y位移列向量。第45页/共84页1111112221221112222211122200

19、.0nnnnnnnnnnnnnym ym ym yym ym ym yym ym ym y11112111221222221200000nnnnnnnnnymyymyymy 0YMY结构柔度矩阵，由位移互等定理， ij= ji，为对称矩阵第46页/共84页2）柔度法建立振动微分方程将各质点的惯性力看成静力荷载，在它们作用下，任一质点mi的位移为11 1()()()iiijjjinnnym ym ym y第47页/共84页 0YMY 0MYKY1 0YMY1 K柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵。一般柔度系数比刚度系数好求，采用柔度法更简单。2. 按柔度法求解 0YMY方程的解为sin()iiyAt第4

20、8页/共84页1111122212211122222211122221010.10nnnnnnnnnnnnmAm Am Am AmAm Am Am AmA102M -E A122TAAAA各质点振幅组成的振幅列向量，E单位矩阵第49页/共84页1111221221122222112221101nnnnnnnnnmmmmmmmmm102M -E将行列式展开，得到一个以1/2为未知量的n次方程，可解得1/2的n个正实根，得到n个自振频率1,2, n。称为第一、二、n阶自振频率。把n个自振频率中的任一个k代入微分方程的解( )( )sin()(1,2, )kkiikkyAtin第50页/共84页各质

21、点按同一频率同步（同相）振动，位移的比值( )( )( )( )( )( )1212:kkkkkknnyyyAAA为常数比值，不随时间变化，任何时候结构的振动都保持同一形状，称这种特定的振动形式振型。各阶自振频率和相应的振型是多自由度结构的固有的动态特性。()()()1111122212()()()2111222222()()()11122221010.10kkknnnkkkknnnkkkknnnnnnkmAm Am Am AmAm Am Am AmA第51页/共84页()21(1,2,)kkkn0MEA由于系数行列式102kM -En个方程中只有（n-1）个是独立的，不能求得A1(k), A

22、2(k), An(k)的确定值，但可以确定各质点振幅的相对比值（振型）( )( )( )( )12,kkkkTnAAAA振型向量一般假设第一个分量为1，A1(k)=1，得到的振型称为标准化振型（正则化振型）。第52页/共84页如果一个结构有n个自由度，n个自振频率，有n个主振动和主振型。这些主振动的线性组合，就是振动微分方程的通解( )1sin()(1,2, )nkiikkkyAtin各质点的振动由n个自振频率的主振动叠加而成。 各主振动分量的振幅Ai(k)和初相k由初始条件而定。2n个未知量由n个初始速度和n个初始位移（2n个初始条件决定）。各阶自振频率和相应的振型由结构的质量分布和柔度系数

23、决定，是多自由度结构的固有动态特性。第53页/共84页最简单的多自由度结构两个自由度的结构。振幅方程1 1111 22222 1112 22221010mAmAmAmA1 111 2222 112 222101mmmm频率方程为令1/22211122211221212()()0mmm m 第54页/共84页2211122211122211221212122111222111222112212122()()4()2()()4()2mmmmm mmmmmm m 两个自振频率112211把1代入振幅方程，因为系数行列式0（ 1， 2为根 ），两个方程线性相关，如1212axbxcaxbxc第55页/

24、共84页只有一个方程独立，用其中任一个可求得A1(1)/ A2(1)111(1)2211(1)1122111(2)2221(2)112211mAAmmAAm可求得第一阶振型 和第二阶振型例题讲解第56页/共84页3. 按刚度法求解柔度法的振幅方程102M -E A1102M -A 02K -M A刚度法的振幅方程因A不能全为零，系数行列式0 02K -M刚度法的频率方程最为常用由其可以得到n个自振频率1,2, n第57页/共84页把k代入振幅方程，得2( )()0(1,2, )kkKM Akn可确定相应的主振型。对于两个自由度的结构，频率方程为2111122212220kmkkkm222212

25、11222111 2212()()()0mmk mk mk kk222112211221122121,21212124()1122kkkkk kkmmmmm m可求得自振频率1,2两个主振型(1)2211111(1)112( 2 )2221112( 2 )112AmkAkAmkAk例题讲解第58页/共84页4. 主振型的正交性n个自由度的结构有n个自振频率和n个振型，每一个频率和相应的振型满足2( )()0kkKM A( )2( )( )2( )iiijjjKAMAKAMATT( )( )2( )( )TT( )( )2( )( )jijiiijijjAKAAMAAKAAMA左乘A(j)T左乘

26、A(i)TTT( )( )2( )( )jijijAKAAMA上面第二式转置，又KT=K，MT=M得相减T22( )( )()0jiijAMA第59页/共84页,ijijT( )( )0jiAMA有对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型彼此正交。同样可得T( )( )0jiAKA对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型同样彼此正交。主振型的正交性也是结构本身固有的特性。第60页/共84页16-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动与单自由度结构一样，由于阻尼的存在，自由振动不久即衰减掉，只剩下平稳阶段的强迫振动。n个集中质点，k个简谐周期荷载作用第61页/共84页建立振动微分方程，按柔度法比较简

27、单。任一质点mi的位移1 122iiiinnipyIIIy其中1sinsinkipijjipjyPtt1kipijjjP而ij第j个质点处的单位力在第i个质点处产生的位移（柔度）第j个荷载作用点处的单位力在第i个质点处产生的位移（第二种柔度）ij为各动力荷载同时达到最大值时在质点mi处所引起的静力位移第62页/共84页对n个质点，建立n个这样的方程iiiIm y 1111112221122111222222111222sinsin.sinnnnpnnnpnnnnnnnnpym ym ym ytym ym ym ytym ym ym yt sinptYMY 12Tpppnp 其中荷载幅值引起的静

28、力位移列向量第63页/共84页线性微分方程组的解对应的齐次方程通解特解齐次方程通解结构的自由振动；*特解强迫振动。平稳阶段0sin(1,2, )iiyytin所有质点均按激振力的频率做同步简谐振动10001111122212220002111222222200011122221010.1pnnnpnnnnnnnnnmym ym ym ymym ym ym ymy20np第64页/共84页211(-)0p02ME Y 可求得各质点在强迫振动中的振幅y10, y20, yn0，这样各质点振动方程确定。各质点的惯性力200sinsiniiiiiiIm ymytIt 020iiiImy惯性力最大值0s

29、in(1,2, )iiyytin00( )sinsinsiniiiiiiP tPtyytIIt激振力、位移、惯性力同步变化，同时达到最大值第65页/共84页00011112211210002112222222000112221010.10nnpnnpnnnnnnpnIIImIIImIIIm -11( -)0p02MI 或由于020iiiImy如激振力的频率和任一个自振频率相同(=k)，系数行列式=0，理论上位移、惯性力、内力无限大，共振。第66页/共84页例16-6对称结构受反对称动力荷载，简化为半个刚架。三个自由度：1=x1, 2x2, 3y2第67页/共84页I10m1最大惯性力； I20

30、m2沿水平最大惯性力；I30m2沿竖向最大惯性力000111122133121000211222233222000311322333322101010pppIIImIIImIIIm 由图乘法确定柔度系数第68页/共84页与无阻尼自由振动的方程的建立过程相同，动力平衡方程111111221122211222221122( )( ).( )nnnnnnnnnnnnm yk yk yk yP tm yk yk yk yP tm yk yk yk yP t( ) tMYKYP或第69页/共84页( )sinttPP各激振力为同步简谐荷载12TnPPPP荷载幅值组成的向量0sin tYY解为20()KM

31、 YP振幅方程为求解得各质点的振幅及位移方程，可得各质点惯性力组成的向量200sinsintt IMY =MYI020IMY惯性力幅值向量-1202()KME IP由于位移、惯性力、激振力同时达到最大，可将惯性力、激振力的幅值作为静力荷载施加，求得位移和内力最大值。第70页/共84页16-8 振型分解方法多自由度结构的无阻尼强迫振动微分方程( ) tMYKYP集中质量的结构，M对角矩阵；K对称矩阵，一般不对角。方程组联立（耦联）。如果P(t)非简谐荷载，为一般荷载，求解联立方程组非常困难。如能把方程变为非耦联的方程，使K也成为对角矩阵，求解大为简便。11111211222122220( )0( )mykkyP tmykk