——条件熵联合熵及熵的性质PPT学习教案

1、会计学1条件熵联合熵及熵的性质条件熵联合熵及熵的性质条件熵是在联合符号集合XY上的条件自信息量的数学期望。在已知随机变量Y的条件下，随机变量X的条件熵定义为：)/(log)()/()()/()/(1111jimjnijijimjnijijiyxpyxpyxIyxpyxIEYXH要用联合概率加权条件熵是一个确定值，表示信宿在收到Y后，信源X仍然存在的不确定度。这是传输失真所造成的。有时称H(X/Y)为信道疑义度，也称损失熵。称条件熵H(Y/X)为噪声熵。)/(log)()/()/(211ijnimjjiijxypyxpxyIEXYH条件熵第1页/共34页联合离散符号集合XY上的每个元素对 的联合

2、自信息量的数学期望。)(log)()()()(jinimjjijinimjjiyxpyxpyxIyxpXYH21111)(jiyx联合熵第2页/共34页)()()()()(YXHYHXYHXHXYH熵、条件熵、联合熵关系第3页/共34页一个二进信源X发出符号集0,1,经过离散无记忆信道传输,信道输出用Y表示.由于信道中存在噪声,接收端除收到0和1的符号外,还有不确定符号“2”已知X的先验概率: p(x0)=2/3, p(x1)= 1/3,符号转移概率： p(y0|x0)=3/4, p(y2|x0)=1/4 p(y1|x1)=1/2, p(y2|x1)=1/2，XY0101 23/41/21/2

3、1/4信源熵H(X)bitHXH92. 031log3132log32)31,32()(例题第4页/共34页)/()()/()()(jijijijiyxpypxypxpyxpbitxypyxpXYHijijji88. 021log6121log6141log6143log21)|(log),()|(由例题 条件熵H(Y|X)第5页/共34页)()(),()(11imjjijnijixpyxpypyxp得 p(y0) = p(xiy0) = p(x0y0) +p(x1y0) =1/2+0 = 1/2 p(y1) = p(xiy1) = p(x0y1) +p(x1y1) = 0+1/6 =1/6

4、p(y2) = p(xiy2) = p(x0y2) +p(x1y2) = 1/6+1/6=1/3 由bitHYH47. 161log6131log3121log21)61,31,21()(例题信源输出熵H(Y)第6页/共34页)()()()()|(1jjinijijijiypyxpyxpyxpyxp由12/12/1)()()|(00000ypyxpyxp得0)()()|(00101ypyxpyxpbityxpyxpYXHjiijji33. 0)|(log),()|( 条件熵H(X|Y)例题或 H(X|Y)= H(XY)-H(Y)=1.8-1047=0.33bit/符号第7页/共34页第8页/共

5、34页KkkkKpppppHXH121log),()(),.,2 , 1(0, 11KkppkKkk熵的基本性质KKpppxxxPX2121概率矢量第9页/共34页非负性 非负性 H(X)0 由于0pk1,所以logpk0，-logpk0，则总有H(X)0。第10页/共34页),.,(),.,(12121KKKppppHpppH 根据加法交换律可以证明，当变量交换顺序时熵函数的值不变, 即信源的熵只与概率空间的总体结构有关，而与各概率分量对应的状态顺序无关。 对称性第11页/共34页确定性当信源X的信源空间X，P中，任一概率分量等于1，根据完备空间特性，其它概率分量必为0，这时信源为一个确知信

6、源，其熵为0。 确定性HHH( , )( , )( , , ,. )100110 000第12页/共34页),(),(lim21210KKKKpppHpppH 这说明信源空间中增加某些概率很小的符号，虽然当发出这些符号时，提供很大的信息量，但由于其概率接近于0，在信源熵中占极小的比重， ，使信源熵保持不变。 0loglim20 扩展性扩展性第13页/共34页)/()()()/()()(YXHYHXYHXYHXHXYH1)/()/()()(:)/()()/()/()(log)()/(log)()(log)/()()/()(log)()(log)()(22222jijijijijijiiiijij

7、jiiijijiijiijjijiijjixypxypxpyxpXYHXHXYHxypxpxpxypyxpxpxypxpxypxpyxpyxpyxpXYH利用证明:可加性第14页/共34页KXH2log)(信源X中包含K个不同离散消息时，信源熵 ，当且仅当X中各个消息出现的概率全相等时，上式取等号。 表明等概信源的不确定性最大，具有最大熵，为 K2log极值性KXH2log)(第15页/共34页n定理：1. H(X/Y) H(X) （条件熵不大于无条件熵） 2. H(XY) H(X)+H(Y)证明：)()()/()(,)()(log)()(log)/()()(log)/()()/(log)/(

8、)()/(log)()/(22222ijjijjijiiiiijjijjiijijjjiijijjiijjixpyxpyxpypXHxpxpxpyxpypxpyxpypyxpyxpypyxpyxpYXH 其中基本定理第16页/共34页基本定理推广)(121mnnnsnnnnUUUHUUUUHNnms1121()()NNnnH U UUH UH(X/Y) H(X)H(XY) H(X)+H(Y)第17页/共34页第18页/共34页)|()|()|()(),()(12121312121LLLiiiiiiiiiiiiiixxxxpxxxpxxpxpxxxppx 设信源输出的随机序列为 X =(X1X2

9、XlXL) 序列中的变量Xlx1,x2, xn离散无记忆信源LliiiiiiiiilLLxpxpxpxpxpxxxpp1)()()()()(),()(32121x离散无记忆:第19页/共34页LllLliiiiLliiniiiXHxpxpxpxpxpxpHllL1111L)()(log)()(log)()(log)()X()()X(LXLHH进一步化简 平均符号熵)()X(1)X(LXHHLHL?第20页/共34页LllLliiiiLliiniiiXHxpxpxpxpxpxpHllL1111L)()(log)()(log)()(log)()X()()X(LXLHH进一步化简 平均符号熵)()X

10、(1)X(LXHHLHL?第21页/共34页iiixpxpXH)(log)()(11 LiLiLiLiiiiiiLLxpxpxpxpxp11111231321)(log)()()()(LiLiLiLiiiiiiLLlxpxpxpxpxp1111123321)()()()(log)(LiiiXHxpxp1111)()(log)(iiillxpxpXH)(log)()(离散无记忆信源的序列熵 )()()X(1LXLHXHHLll LiLiLiLiiiLxpxp11111231)(log)(第22页/共34页bitXH12log)(2bitH24log)X(22bitHH1)X(21)X(22即用

11、1比特就可表示该事件。如果以两个符号出现(L=2的序列)为一事件，则随机序列X(00,01,10,11)，信源的序列熵即用2比特才能表示该事件。信源的符号熵离散无记忆信源实例)X(2)X(2HH第23页/共34页414121)(321xxxxpX求：二次扩展信源的熵X2信源信源的元素的元素 a1 a2a3a4a5a6a7a8a9对应的对应的消息序列消息序列 x1x1x1x2x1x3x2x1x2x2x2x3x3x1x3 x2x3 x3概率概率p(ai) 1/4 1/81/81/81/16 1/161/81/16 1/16离散无记忆信源实例第24页/共34页bitapapXHiii3)(log)(

12、)(912bitxpxpXHiii5 . 1)(log)()(31)(2)(2XHXH信源熵为 信源的序列熵离散无记忆信源实例平均符号熵为 bitXHXH5 . 12/ )()(22第25页/共34页a0a1a2a09/112/110a11/83/41/8a202/97/9 例:已知离散有记忆信源中各符号的概率为:41943611210aaaPX 设发出的符号只与前一个符号有关,这两个符号的概率关联性用条件概率p(aj|ai)表示,如表p(aj|ai) 求离散信源的序列熵和平均每个符号的熵? 离散有记忆信源实例第26页/共34页a0a1a2a01/41/180a11/181/31/18a201

13、/187/36当考虑符号之间有依赖性时,计算得条件熵bitaapaapXXHiijjij872. 0)|(log)()|(202012离散有记忆信源实例bitaapaapXXHijijij41. 2),(log),(),(202021 发二重符号序列的熵 第27页/共34页符号之间存在关联性bitXHH21. 1)(21)X(22)X()X(2HH比较有记忆信源实例而信源X的信息熵为符号/543. 1)(log)()(20bitapapXHiii H(X2| X1)H(X)，信源的条件熵比无依赖时的熵H(X)减少了0.671比特,这正是因为符号之间有依赖性所造成的结果。)X()XX(12HH第

14、28页/共34页)|()(),|()()|()()|()()(12221121212121XXHXHXXHXHXXHXHXXHXHXXH)()|(),()|()()()(2121212121XHXXHXHXXHXHXHXXH当前后符号无依存关系时,有下列推论：离散有记忆信源的序列熵第29页/共34页)()|()|()|()()()(11112121LLlllLLLXHXXHXXXHXXHXHXXXHHX平均符号熵为： )(1)X(XHLHL极限熵: 离散有记忆信源的序列熵)(limXHHLL第30页/共34页离散有记忆信源特点（3）平均符号熵HL(X)随L的增加非递增)|(lim)(lim)(121LLLLLXXXXHXHXH H0(X)H1(X)H2(