计算方法-83初值问题差分格式的有效性

1、2022-4-271 8.3 初值问题差分格式的有效性初值问题差分格式的有效性场有关。与时间无关，仅与空间的变换情况问题，的问题，这是一个定常单纯的性问题，对于商代替空间微商的近似上节我们讨论了空间差uxfdxdu)(。了所谓的“初值问题”题，由此引出是与时间差商有关的问本节中要讨论的问题则2022-4-272 在一个空间区域R上，给出表征流体运动的状态矢量U(r,t)，其中r=(x, y, z)为空间点的坐标，t为时间变量。设在t=0时刻，U(r,0)=U (0)是确定的，并假定对于全部时间0t T在R的边界上，U满足一定的条件。那么，对于整个时间系统的状态可以作为初值方程的解得到8.3.1

2、 8.3.1 初值问题的定义初值问题的定义 一个偏微分算子对于偏微分方程，它是一个代数算子对于常微分方程，它是,LUtU)0()0 ,(UrU：微分算子L2022-4-273定义的含义:（1） U(r,t)是时间t和空间r的函数；（2） t=0时刻（称为初始时刻）， U(r,0)=U (0)是已知的；（3） 对于0t T 的任一时刻，U在R的边界上满足一定 的条件，这一条件一般是已知的（称为边界条件）；（4） 给出的方程是LUtU（5） U在0t T 的任一时刻，可由给出的方程初始条给出的方程初始条 件边界条件件边界条件来求出。本节主要讨论差分方程与原微分方程之间的关系2022-4-274 由

3、前两节可知，同样的运动方程可以构造不同的差分格式。由于不同差分格式具有不同的内在性质，与原微分方程有不同的近似关系，呈现不同的数值效应。要使采用这些差分格式得到的数值解能反映真实流动现象，因此，如何分析、判断格式的有效性、可靠性就显得十分重要。本节将对与差分格式特征性质相联系的基本概念如差分格式的相容性、收敛性、稳定性、耗散性和色散性等进行介绍，为后面章节数值解法的定性分析提供基础。定义：要求在小的时间步长和小的空间步长趋于零的 极限条件下，差分方程近似于微分方程。8.3.2 8.3.2 差分近似的几个准则：相容性差分近似的几个准则：相容性, ,精确性精确性, ,收敛性收敛性, , 稳定性稳定

4、性 2022-4-2751. 相容性 将方程中的微分运算采用差分近似时，被要求的第一个性质是差分近似的相容性，即差分系统在某种程度上应该近似于微分系统，或更确切地说要求差分系统和微分系统相协调。 由相容性定义可知由相容性定义可知 导数与其差分近似式之间存在截断误差 当时间步长t和空间步长x都趋近于零时，差分方程的截断误差也趋近于零，差分方程的极限形式就是原偏微分方程 这时，认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种相容性表示差分方程“收敛”于原偏微分方程以一维平流方程 例，用差商代替微商，得0 xuctu011xuuctuunininini截断误差)()(xOtO分方程是相容的。此时，称差分方程与

5、微方程，差分方程变为原微分时，当00 xt2022-4-2762. 精确性2022-4-277 由差分方程求得的微分方程的数值解，它的精确性主要受两种原因两种原因产生的误差所损害：（1）截断误差：截断误差：由差分方程模拟微分方程的近似所造成。这种误差依赖于时间格距t和和空间格距的大小。因此要选择截断误差尽量小的差分格式。（2）舍入误差：舍入误差：是由计算机的记忆系统所描述变量的精度造成的。每一步计算的舍入误差可能影响不大，但是由于求解差分方程是逐步进行的，自然提出这样的问题：这种舍入误差在全部计算过程中是否无界地增长（误差的放大效应）？2022-4-2783. 差分近似的收敛性的大小。的差和与

6、之相容的差分格式的真解题，考察微分方程初值问固定区域的所有网格点上，是在求解随之减小。我们的目的保证数值解的误差一定但并不能差达到所要求的精度，使得差分格式的截断误充分小，可以和时间步长格距在差分格式中，当空间| ),(|),(tniuuutniutntnini。则称差分格式是收敛的，时，当0|),(|0,tniuuMaxtni定义：在任何初值条件下都能给出收敛解的差分格式通常称为收敛格式x-ct=constPixACBntxt2022-4-2790 xuctu讨论一维平流方程案不可能收敛。二者无关，因此差分方的值点和偏微分方程的真解在点的数值近似解即差分方程解出小数值解的误差，取得如何小，都

7、不会减和保持不变，不管之比和意大的误差。只要以有任近似解有影响，因此可点的在依存区外，不可能对点的初值数值解的依存域，”点在内的区域称为包含“”的点决定的，图中标有“值解由特征线。差分格式的数为有关，仅与依赖点点的真解时刻右图中，在),(),(tnxiuPuPtxtxPAPAAtnxiuPtnni2022-4-2710 xtc1 差分格式收敛的必要条件必要条件是，真解的特征线必须在相应的数值解的依存域内，必须满足这个必要条件，才可能收敛，这个条件称为柯朗条件柯朗条件，即或xct若这种误差积累积累保持有界有界，则差分方程是稳定的稳定的；若这种误差积累无界无界，则差分方程是不稳定不稳定的4. 稳定性差分格式有关。与所选用的算下去，出现这种情况来越严重，甚至无法计被歪曲得越进行越来越大，数值解种计算的误差随计算的，否则，这度下保证数值解的质量越小，能够在一定的精响保持一定或越来的值。若这种误差的影，的层以及更后层次上响第时的舍入误差必然会影计算。因此，层的时，要用到第层上的的。在计算第间逐层进行的过程中，计算是按时在用差分方法求数值解21111nininininiuunuunun2022-4-27112022-4-2712 Lax等