浅谈微分方程模型在经济学中的应用

1、浅谈微分方程模型在经济学中的应用摘要：从实际问题出发，研究如何应用数学工具来分析具体的经济问题，并进而影响决策。关键字：经济问题；处理决策；数学模型前言：当今社会，随着经济的全球化和世界金融市场的不断发展，各国越来越意识到在经济的腾飞中产生的问题的严重性。前不久的英国石油公司在墨西哥湾的原油泄漏，导致附近海域的生态直线下降。最近美国出台的第二轮量化宽松的货币政策引来各国的一直声讨。再比如最近中国股市的疯狂和十一月十二日股市的跳水。各种经济问题的处理，或者决策的产生，都越来越离不开一种工具数学经济模型。一、数学经济模型及其重要性 数学经济模型可以按变量的性质分成两类,即概率型和确定型。概率型的模

2、型处理具有随机性情况的模型,确定型的模型则能基于一定的假设和法则,精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多,加之相互交叉渗透,又派生出许多分支,所以一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型,既要视问题而定,又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科,充分发挥自己的特长。 数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题,就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻划。或者说,数学经济建模就是为了经济目的,用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、

3、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。数学经济建模促进经济学的发展;带来了现实的生产效率。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统与客户进行商业谈判。 二、构建经济数学模型的一般步骤 1.了解熟悉实际问题,以及与问题有关的背景知识。2.通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象,明确模型中诸多的影响因素,用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之问的关系。一般情况下用数学表达式

4、来表示,构架出一个初步的数学模型。然后,再通过不断地调整假设使建立的模型尽可能地接近实际,从而得到比较满意的结论。3.使用已知数据,观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。4.运行所得到的模型。把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况基本一致,表明模型是符合实际问题的。我们可以将它用于对实际问题进一步的分析或者预测;如果模型的结果与实际观测不一致,不能将所得的模型应用于所研究的实际问题。此时需要回头检查模型的组建是否有问题。问题的假使是否恰当,是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素。并对模型进行必要的调整修正。重复前面的建模过程,直到建

5、立出一个经检验符合实际问题的模型为止。一个较好的数学模型是从实际中得来,又能够应用到实际问题中去的。 三、应用实例 如果研究的问题具有动态演化特点，即任一个时刻的状态与前一个时刻的状态有关，则可通过前后状态关系建立数学模型。如果模型是研究状态本身演化特性，称为动态分析模型这类模型通常含有未知函数(状态演化函数)的导数或不同 “时点”关系或其累积效果关系含未知函数导数的方程称为微分方程；含未知函数两期以上关系的方程称为差分方程；含未知函数累计效应的方程为积分方程微分、差分方程模型的建立通常采用微元分析法或前提假设法微元分析法是在微小的时间间隔内, 考查函数改变量的关系, 再让时间间隔无限小(微分

6、)或取时间间隔为一个单位(差分)得到方程；最后给出考查初期所处状态, 得到含初始条件的微分 (差分) 方程模型。微元分析必须建立在正确的科学定律或经济原理之上，才能正确反映问题变化的本质。如果问题的定律或原理不十分清楚，仅知道某些增减关系，这时只能通过对问题作出一定的假设，根据假设建立方程就是前提假设法结果要进行检验湖水污染问题某湖湖水容量为 V=1012 m3，上游下游各有一年流量为 Q=1011m3 的河水流进流出该湖。20年前, 上游建了某工厂,生产中使用某有害物质。近来发现湖水中这种有害物质浓度已达0.03毫克/m3，河水污染浓度达到了0.05 毫克/m3. 环保部门提出该工厂整改，

7、并拟处罚款。该厂辩称: 过去排放废水从未使河水污染超过环保要求的0.001,只是最近疏忽, 才使河水污染, 请求从轻发落。试建立数学模型对湖水污染问题作出分析。分 析湖水的污染由河水的污染引起，并且，任意时刻湖水污染程度都与上一个时刻的污染程度及新引起污染有关，有动态特征，建立动态数学模型。符号：V湖水容量；Q河水流量；t考察问题的时刻。模型假设1. 河水是湖水的唯一水源；2. 湖水容量不变；3. 河水进入湖中立刻与湖水充分混合；4. 不考虑湖水河水的自净化作用；5. 污染物全部溶解在河水、湖水中；6. 不考虑雨水、蒸发等作用对湖水的影响；7. 污染物在河水、湖水中分布均匀.建立模型模型求解污

8、水处理分析 某厂拟修建生物治污水池，已知该微生物是依赖于污水中的污染物生存，同时消耗分解污染物，试建立数学模型分析如何设计水池合适？(污水中污染物浓度103102克/m3，流量10m3/h,环保要求5×104克/m3)问题分析1. 微生物靠污水生存，而分解污染物，微生物增加，污染物减少，污染物减少，又降低微生物生存能力，因此，当水池容积一定时，微生物、污染物含量经一段时间后必然达到稳定，稳定后污染物、微生物含量决定了污水治理效果。故，应从微生物、污染物含量出发讨论水池容积与治理效果关系。2. 任一时刻微生物、污染物含量显然与前一时刻含量有关，即任一时刻状态与前一时刻状态有关，故问题是

9、一个动态分析问题。3. 污染浓度越高，微生物繁殖的就越快，分解掉的污染物速度也就越快，即单位时间、单位微生物分解污染物的多少与污水浓度正相关。微生物增加量也与污水浓度正相关。模型假设：1. 进出水流量保持不变，且从进水到出水经过较长时间；(即池内微生物和污染物可以达到平衡)2. 单位时间内，每单位微生物分解掉单位浓度污染物数量为常数(记为k1)；3. 单位时间内，每单位微生物在单位浓度污染物中繁殖数量为常数(记为k2)；4.单位时间内，每单位微生物中死亡的数量为常数(记为k3)。符号：V容积；Q流量；a 流进的污染物浓度。建立模型这是一个非线性方程, 不易求解析解. 利用数学软件可以求数值解。

10、这时需要通过实验，先确定几个比例系数。求出数值解，通过作图得变化曲线。实测： k1=0.1,k2=1.26,k3=105这个水池若按三米深建造，则需占地5000多m2。为了节约土地考虑能否建造多级生物降解池？代入k1,k2,k3,a,Q，分别取u1=5×103，u2=5×104(环保要求), 解得 V1=1590 m3，V2=1447 m3 如此以来大大节约了占地面积。经济增长分析 国民收入通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于投资，可以增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可以反过来促进生产,试建立数学模型分析这种关系。问题分析产出转化储蓄，储蓄化为投资，投资增加产出，任一时

11、刻产出都与前一时刻产出状态有关，因此是一个动态问题。关键是储蓄投资产出关系，符号说明：记国民收入为Y(t) (产出), 消费为C(t), 储蓄为I(t), k为边际资本产出比 (即单位边际产出所需资本) ；s 为边际储蓄倾向(单位产出产生的储蓄)；1s为边际消费倾向(单位产出用于消费的量)；基本假设：1. 产出增长率与资本投入成正比；2. 储蓄全部用于投资；3. 消费、储蓄比例不变；4. 产出增长速度与储蓄成正比。建立模型： 上述模型是一个简单模型。只考虑了自发投资，即消费剩余,而实际上消费增加也会刺激投资(称为引致投资)，进而刺激生产。假设引致投资与消费增长率成正比，则得到新的经济增长模型。

12、方程特解为：经济增长分析2 马克思将经济生产分为生产资料部类与消费资料部类两大部类。我国建国后提出了主要经济力量，全力发展重工业的发展战略. 建立数学模型分析两部类经济增长比例关系。 基本假设：1. 二部类(生活资料)的终产品全部被消费；2. 只考虑两种生产要素：资本Ki劳动力Li，并且两部类生产要素可以自由流动，劳动力工资相同，工资总额为消费品产量；3. 各部类资本与劳动力比值 Ki/Li =ai 为常数(称资本强度)；劳动力与产量的比值 Li/xi=bi 为常数 (称劳动力投入系数) ；资本与产量的比值 Ki/xi=aibi 为常数(称资本投入系数)；4. 劳动力以固定增长率 n 增长；5

13、. 资本变化速度等于第一部类(生产资料)产值x1；6. 不考虑价格因素。其他符号：L,K分别为总劳动力和总资本；W=x2 /L为工资率；记 xi(t) 为i部类终产品.模型求解：a1=a2时，由L=L0ent>dsolve(diff(L(t),t)=n*L(t),L(0)=L0,L(t);解的说明：由x2>0，得 n<1/a1b1 。即当 a1=a2 时，要保证经济发展，劳动力增长率不能超过资本产出率( 资本投入系数的倒数)。这时，经济保持按比例均衡增长。当 a1<>a2 时，有方程得：结果分析：1. 均衡增长(两部类比例不变)的充要条件是B1=B2=0，即 K0

14、=a2L0/1(a1a2)b1n，K0、L0为初始值；或 a1=a2，n<1/a1b1 。 均衡增长解：xi=Aie nt；2. 要保证各部类经济增长逐渐稳定在均衡增长解，则要a2>a1;3. 要保持经济增长率与劳动力增长同步，则要 n>1/b1(a1a2); 即随时间的推移，两部类的生产差距会不断拉大，形成严重的比例失调。2 期货商品市场动态均衡模型211 商品市场均衡在没有期货市场的情况下, 本文假定生产者使用适应性预期来形成其价格预期。Nerlovian 模型并没有讨论投资行为, 而本文讨论的是可储存商品(如白糖, 大豆等) , 所以必须对Nerlovian 模型进行改

15、进。Peck (1976)在分析商品市场投机行为时, 对Nerlove 的模型进行了扩展, 引入了存货方程。在没有期货市场的情况下, 本文的模型跟Peck (1976) 类似。在线性的假设下, 以下所有变量都采取离差形式:Dt = a Pt (需求方程)Yt = bPet(供给方程)Pet+ 1 - Pt = g It (存货方程)It = It - 1 + Yt - Dt (市场出清)Pet+ 1 - Pet= ( Pt - Pet) (适应性预期)由上述公式, 可推出商品市场均衡价格二阶齐次差分方程:Pt + 1 = 1 - + ( gb +) - 1- 1 + gaPt +1 - - 1

16、 + gaPt - 1对于不同的特征根, 上述二阶齐次方程有不同的解,如果是复根, 即:1 - + ( gb +) - 1- 1 + ga2+ 41 - - 1 + ga< 0 ,则: Pt =- (1 - )- (1 - ) + gat( A1 cost + A2 sint)其中A1 , A2 为常数, 由初始条件决定, 是参数的函数。由于a < 0 , g > 0 , 所以0 <- (1 - )- (1 - ) + ga< 1 ,这说明Pt 是趋于0 的, 由于Pt 是离差形式, 所以, 在没有期货市场的情况下, 商品价格趋于其长期均衡值。212 期货商品市场

17、均衡如果在有期货市场的情况下, Peck (1976) 还假定生产者会继续按照适应性预期来产生价格预期, 这就显得不再合理了。因为期货市场的存在会给商品市场带来新的信息, 这些信息必然会影响到生产者的预期, 从而改变其生产计划。Pindyck (2001) 比较详细地论述了期货价格,现货价格以及价格预期之间的关系。首先, 活跃的套利活动会使得套利者无利可图, 所以按照无套利原则, 现货价格与期货价格必须满足以下关系:t , t + 1 = (1 + rt + 1 ) Pft - Ft , t + 1 + kt + 1 其中, 为了方便区分, Pft 为存在期货交易下的现货商品价格, t , t

18、 + 1为便捷性收入(convenience yield) , 指商品持有者为了能方便地使用商品(不用到市场上去交易) 而愿意支付的价格。rt + 1 为市场无风险利润率, Ft , t + 1 是t + 1期交割的远期合约价格, kt + 1为储存货物所需的成本。其次, t + 1 期价格Pt + 1f 是不确定, 而收入也是有风险且预期收入必须等于t + 1 Pft , t + 1 是商品的风险调整折现率( risk - adjusted discount rate for the commodity) 。所以有:Pet+ 1 - Pft +t , t + 1 - kt + 1 =t +

19、1 Pft 合并和, 我们得到:Ft , t + 1 = Pet+ 1 + ( rt + 1 - t + 1 ) Pft 为了分析简便, 本文假定rt + 1 , t + 1 不随时间变化, 改为r , 。由此:Ft , t + 1 = Pet+ 1 + ( r - ) Pft 由于商品的需求相对比较稳定, 商品的期货多受商品的供给影响, 即受产量Yt + 1 与存货It 的影响, 本文假定这种影响是线性的:Ft , t + 1 = d1 It + d2 Yt + 1 其中, 合并, 式, 我们得到:Pet+ 1 = Ft , t + 1 - ( r - ) Pft = d1 It + d2

20、Yt + 1 - ( r - )Pft 即市场参与者(包括生产者、消费者和投机者) 对市场价格的预期可以由期货价格减去风险补偿来决定。从式可以看出, 在信息对称的假设下期货市场的存在会改变市场参与者的价格期望形成机制, 市场参与者除了得到过去价格波动信息之外, 他们还能得到商品供给方面的信息, 这部分信息都可以通过竞争产生的期货价格来体现。本文将式形成的价格预期称为“竞争性价格预期”。竞争价格预期能很好地反映期货市场的价格发现功能。接下来我们可以讨论期货商品市场的均衡了:Dt = a Pft (需求方程)Yt = bPet(供给方程)Pet+ 1 - Pft = g It (存货方程)It =

21、 It - 1 + Yt - Dt (市场出清)Pet+ 1 = d1 It + d2 Yt + 1 - ( r - ) Pft (竞争性价格预期)求解上述方程, 可以得到:Pet+ 1 =g ( r - ) + d1d1 + ( d2 b - 1) gPft =Pft , Pft =- 1 +bg- 1 + agPt - 1f ,由于, d2 b - 1 < - 1 , - 1 < r - < 0 , 所以, 0 <<1 , 式类似于Muth (1961) 的理性预期假设, 文中指出如果投机行为对短期价格波动的影响越大, 值就越接近于1 , 相反影响越小就越接近于0 。显然当存在期货市场时, 值会非常接近于1 。实际上竞争性价格预期要比理性预期具有更加丰富的内容, 而且更能体现期货市场价格发现功能的本质: 市场参与者不只能根据过去的价格的变化去调整