浅谈一般化特殊化

1、东北师范大学远程与继续教育学院网络教育本科毕业论文题 目 浅谈一般化,特殊化 学生姓名 熊 辉 专 业 数 学 教 育 年 级 0402级 学习中心 陕西汉中教育学院 奥鹏学习中心 8 学 号 04025042704045 指导教师 沈 广 艳 通讯地址 陕西省南郑县黄官中学 2006年12 月10 日浅谈一般化，特殊化陕西省南郑县黄官中学 熊 辉摘 要：特殊化和一般化是数学思维中的两中基本形式，它们在数学领域里发挥着重要的作用，同时它们也是我们常用的数学解题思想，理解掌握它们是我们学习数学，研究数学的前提条件。关键词：一般化 特殊化 抽象 认识 作用 反思 启示1 对一般化、特殊化的基本认识

2、11 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式 “从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式文1111 “一般化”(generalization)也可称为“弱抽象”，指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论，并使前者成为后者的特例 由现实原型出发去建构相应的数学模型显然就是一个弱抽象的过程；另外，除真实的事物和现象以外，我们也可以已经得到建立的数学概念或理论为原型去进行抽象，例如，由“全等形”的概念出发，通过分离出“形状相似”和

3、“面积相等”的特性，我们就可以分别获得“相似形”和“等积形”的概念，从而，相对于后者而言，全等形的概念就可说是一个原型，而由全等形的概念出发去建立相似形和等积形的概念则就是一个弱抽象的过程 弱抽象在数学中有着十分广泛的应用例如，数学中有很多概念是密切相关、互相联系的，而如果从生成的角度去进行分析，它们就可看成一个“弱抽象概念链”，即由某一概念出发经多次弱抽象逐步生成的例如，如果用符号“（-）”表示弱抽象的关系，那么，函数概念的历史演变事实上可以看成一系列弱抽象的过程，即有(图1)：十八世纪的函数概念（解析函数）十九世纪的函数概念（建立在“变量”的概念之上）现代的函数概念（建立在“集合”的概念之

4、上）早期的函数概念（代数函数）(-)(-)(-) 对弱抽象在数学中的具体应用，可归结为：第一，只有结构内容较为丰富的对象才能作为弱抽象的原型；第二，实现弱抽象的关键在于如何对原型的性质作出具体分析，并从中分离出某个或某些特性；第三，为了最终完成所说的弱抽象，我们必须用明确的规范化语言去表达分离出来的特性，并以此为定义构建出新的、更为一般的对象112 “特殊化”(specialization)也叫做“强抽象”，是指通过引入新特征强化原型来完成抽象，因此，所获得的新概念或理论就是原型的特例 例如，由一般三角形的概念出发，通过引入“边相等”与“一个角为直角”的条件，我们就分别获得了“等腰三角形”和“

5、直角三角形”的概念，它们显然都可看成前者的特例与弱抽象的情况相类似，在数学的历史发展中我们也可找到不少强抽象的例子一般地说，这往往是与概念的澄清(分化)直接相联系的 就最终的表现形式而言，强抽象即可看成概念的适当组合强抽象的最终表现形式也是较为简单的但是，就实际的数学研究过程而言，这又往往并非是现成概念的简单组合，而必须通过新的特征的“发现”或”引入，才能由原型中分化出更为特殊的概念或理论 具体的说，为了实现强抽象，数学家们往往必须首先在原形中引入某种新的关系，如某种映射，对应关系或运算等，然后，如果这种新的关系造成了原有概念的分化，我们就可以所得出的子类的共同特性去定义新的、更为特殊的对象例

6、如：通过曲线(点)与方程(数组)之间建立对应关系，我们就可依据方程的类别(一次方程、二次方程)去对相应曲线作出分类，而一次曲线、二次曲线等相对于一般的曲线而言显然是更为特殊的113 弱抽象和强抽象的关系 文2第一，强抽象和弱抽象是方向相反的两种思维方法从思维活动的方向看，弱抽象是“特殊到一般”的过程，强抽象则是“一般到特殊”的过程 由于强抽象是“一般到特殊”的过程，因而其实际是演绎推理的过程，这个过程比较直接，但不易理解用这种方法建构新的数学概念，对思维水平要求较高一些 弱抽象是“特殊到一般”的过程，因而其实际是归纳推理的过程，这个过程比较直观，是通过直接经验来建构新的数学概念，更贴近学生的思

7、维水平，更容易理解。 例如，中学关于四边形的概念是一个强抽象链： 四边形 （+）梯形（+） 平行四边形 （+）矩形(菱形)（+）正方形 但幼儿对四边形概念的认识是完全相反的过程，是弱抽象的过程，在教育心理学上称为“概念形成”的过程。 虽然弱抽象和强抽象的思维方向相反，但并不是互逆的，即弱抽象的产物未必能经过强抽象还原，反之依然例如：对应-（）映射（+）函数 第二，弱抽象与强抽象相互依赖和补充 强抽象依赖于弱抽象，而弱抽象又需要强抽象的补充，不能片面地强调其中的某一个在中小学数学教材里，一些有关的概念常常是以 “强抽象链”的形式表述出来，例如：自然数（+）正有理数（+）有理数（+）实数（+）复数

8、 但是其中一些强抽象所引入的新元素，是在对实际材料进行比较经过弱抽象而得到的，像分数、负数等在数学中正是弱抽象与强抽象的相互依赖和补充，使数学概念不断扩大，并使数学得以发展12希尔伯特的理解 关于一般化与特殊化，希尔伯特有两段精彩的论述： 在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题中的一个环节采取这样的观点以后，不仅我们研究的问题会容易地得到解决，同时还会获得一种能应用于有关问题的普遍方法 在讨论数学问题时，我们相信特殊化比一般化起着更为重要的作用可能在大多数场合，我们寻求一个问题的答案而未能成功的原因是，有一些比

9、手头的问题更简单、更容易的问题还没有完全解决或完全没有解决这时，一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们13波利亚的理解从更广泛的意义上讲，“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小的集合，或仅仅一个对象”文3“一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大的集合。”文4 在数学归纳中，他指出：(1)类比是归纳的基础；(2)特殊化与一般化构成了整个归纳过程的基础，归纳本身是一个一般化的过程然而，这种一般化又是以若干特例的考察(与类比)为基础的，应进一步考察其它的特例(这

10、又是特殊化)去对一般化所得出的猜想进行检验(和改进)；(3)如果一批问题是密切相关的，把这些问题联系起来加以考察有时要比单独去解决其中一个孤立的问题更容易 14梅森的理解 特殊化与一般化正是数学思维的核心，同时也是怎样解题的关键所在 (1)梅森指出，由于数学中特殊化具有明确的目的性，如为了更好地了解所面临的问题、发现可能的解题途径等，因此，我们在此就不应对任意的特例去进行考虑，而应特别注意那些较为熟悉的、较有信心进行操作的对象因此，梅森写道：“特殊化是一个相对的概念”这就是说，特殊化是与各个人的特殊经验和能力直接相关的例如，在某个人看来是特殊化的东西对另一个人来说就可能是十分抽象的于是，有如下

11、方法论原则：有效的特殊化意味着使用你能够很有信心地予以操作的对象 (2)梅森指出，相对于特殊化而言，一般化是较为困难的然而，一般化又是数学创造的基本形式，因为，数学认识的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律 (3)梅森指出，尽管特殊化与一般化是在两个相反的方向上进行的，但是，这两者在实际的数学研究中又是密切相关、互相依赖的 具体地说，正是特例的考察为由特殊到一般的抽象提供了必要的素材，而且，我们又必须借助于新的特例的考察来对由一般化所获得的一般结论进行检验并做出必要的修正或改进另外，特殊化在很大程度上是为一般化服务的：“特殊化的目的首先是给抽象命题以内容和意义，其次则是借以发现一般

12、性的结论何以是真的或何以是假的”最后，只有上升到一般的高度，我们才能更为深刻地认识和理解各个特例2. 一般化、特殊化在解题中的作用 当代美国数学家哈尔莫斯说过：“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏.”在数学教学中，解题活动是最基本的活动形式学习数学，关键之一是学会解题解题教学是数学教师的基本功 波利亚的名言：“掌握数学就是意味着善于解题” 数学家解题时，一个最大的特点就是尽量追求问题的普遍化，尽可能把问题推广到更一般的情形数学家的最大愿望是希望通过问题的解决能够得到更多的收获如果教师在指导学生解题时也能做到这样，那就绝不只是解决了一个问题当然，并非所有的问题都是可以特殊化或普

13、遍化的，但即使不能，也会在尽力使之特殊化或普遍化的过程中有所得21作为解题模式 特殊化与一般化贯穿于整个解题过程之中，或者说：“特殊化与一般化构成了整个解题过程的基础.” (1)特殊化在解题过程中的作用：第一，只有通过特殊化才能很好地了解所面临的问题；第二，只有通过特殊化才能认识导致一般化的模式；第三，对于所得出的结论又必须借助进一步的特殊化去进行检验于是有如下的策略： 由随意的特殊化，去了解问题； 由系统的特殊化，为一般化提供基础； 由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验 (2)就一般化而言，我们应努力去引出一般的结论，揭示其内在的依据，并作出可能的推广即一般化是围绕三个问题展开的： 什么看

14、上去像是真的?(猜测) 为什么它是真的?(检验) 它在怎样的范围内看上去也是真的?(新的问题) 一般的解题过程可以划分为三个阶段：进入、着手、回顾对此他提出了建议和问题： 在进入的阶段，应当考虑：什么是已知的?什么是所要求的?什么是可以引进的?(指引进适当的表格或图像来对已知的东西进行整理，或是引进适当的符号以使对象更易于处理) 在着手的阶段，主要的工作就是提出猜想并对猜想进行改进，这时以下的思维模式(循环程序)特别有用：(图2)对猜测进行明确的表述就所有已知的情况对猜测进行检验 弄清猜测为什么是真的或如何对它进行改进努力发现反例去驳倒猜测 就回顾的阶段而言，则应包括以下工作：对解答进行复查；

15、对解题过程中的主要思想进行回顾；对已有的结果进行推广 可以看出，特殊化与一般化的确贯穿于整个解题过程之中另外，上述的“循环程序”事实上就是特殊化与一般化的交互作用22作为解题策略 “ 如果你不能解决所提出的问题，那么可先去解决一个更特殊的问题或解决这个问题的一部分，或者，可考虑一个更一般的问题” 文5 一般化与特殊化在进退互化的解题策略中具有重要作用：向前推进是人们认识事物的自然趋向，数学知识的发展和命题序列的形成无一不是一个前进的过程但是，这种趋势和进程又是不平坦的，有时要以退求进，有时要先进后退，恰当运用进退互化正是辨证思维的一条蕈要策略具体到一个问题，如果直接下手有困难，就应转而考虑一个

16、更特殊的问题，或一个更普遍的问题 一般说来，发现新结论更多用“进”，而寻找解题思路更多用“退”，先足够地退。，退到我们最易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去，这是解决难题的一个诀窍23特殊化与一般化是常用的化归途径 转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式问的转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂化归通常需要进行特殊与一般的

17、互化 一般情形比较熟悉时，就要沿着一般化的途径去实行化归反之，对特殊形式比较熟悉时，就要沿着特殊化的途径去实现化归；两条途径是相辅相成的一般化总是与特殊化结合在一起去实现化归的，就其过程来说，又有以下模式：(图3) 文6一般原型原问题一般化一般原型的结论原问题结论特殊化 我们知道，方程、不等式与函数相比较，前者是特殊形式，后者是一般形式方程、不等式的解可理解为对应函数处在某特定状态时的自变量的值，其个数、大小、范围都与函数有着密切的关系因此，当我们研究方程、不等式时，一方面可以把它们化为特殊形式去解决；另一方面，又可用一般化方法，将它们置于函数之中，以便能在更一般、更广阔的领域中，在变化之中去

18、寻求化归的途径 例1 当k为何值时，关于x的方程：7x2- (k+13)x+k2- 2=0的两个根分别在(0，1)与(1，2)区间内 思路分析：用函数的观点，借助数形结合容易解决24 作为思想方法的理解与领悟 特殊化与一般化是矛盾的两个方面，它们互相对立又互相统一同时它们也是反映与认识事物的两种重要的思想方法对于数学解题，丝毫没有例外这两种思想方法，有时可以单独使用，有时又必须结合起来使用241 特殊化的思想方法 事物的一般性(普遍性)存在于事物的特殊性之中，因此可以从事物的特殊性去认识事物的一般性在数学解题中，我们也经常这样去寻找解题的方法 特殊化的思想方法是指，在研究一个较大的集合性质时，

19、先研究某些个体或某些较小的集合作为过渡，从中发现每个个体都具有的特性后，再回过头来归纳猜测一般集合的性质，最后用严格的逻辑推理的方法论证猜测的正确性特殊化的思想方法的一般模式如下图所示:(图4) 一般的问题 转 化 特殊问题的特性 结猜果测 猜测的正确 逻辑论证 一般问题的性质 有许多数学问题，由于抽象、概括程度较高，直接发现或论证这些性质往往感到困难这时，可以先试探它的特殊、局部情况的特性，从中发现规律与解答的方法例如，对于变量的问题，我们可从特殊数值人手探索；对一般的图形问题，可先考虑特殊图形或图形的特殊位置的问题等等这样就先把问题简化，从中发现规律后，再去解决一般性的问题 特殊化的思想方

20、法可以广泛用于标准化题型的解题过程当问题对于一般的情况都正确时，对于特殊情况一定正确；而当问题对特殊情况都不正确，那么对于一般情况肯定不正确，这使得我们用特殊化法解标准化题目可以更快速、准确必须强调的是这种方法并不是严格证明，切不可以偏概全例2: 如果甲的身高和体重的两项数目中至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，则称之为棒小伙子.那么这100个小伙子中，棒小伙子最多可能有( ) A1个 B2个 C50个 D100个思路分析：数目太大，不易判断，先从特殊人手当2人的情况，甲比乙高，乙比甲重，两人都是棒小伙子可推广知，在100个小伙子中，如果出现这种情况：

21、这100人身高从高到矮排列，而他们的体重恰好是从小到大的排列，那么其中任1人在身高、体重两项指标中总有一项超过其余99人，即说明他们中每个人都是棒小伙子答案应选D 可见，特殊化不仅能促使问题的转化，而且能发现问题的解法，揭示问题的规律和探求问题的结果罗增儒教授将特殊化的功能(作用)概括为：解题的突破口；寻找解题思路的策略；完成解题的方法242 一般化的思想方法 前面已经指出：事物的一般性(普遍性)存在于事物的特殊性中，因此可以从特殊性去探索一般性另一方面，事物的一般性又包含着事物的特殊性，因此，从事物的一般性中又可以认识事物的特殊性，这样的认识和思考问题的方法称为一般化的思想方法 数学思维的一

22、般化方法是指在解答某个特殊对象或对象的某些特殊性质时，有时由于问题的特殊性掩盖了它的重要性质，使问题难于解答这时先去探索包含这一特殊对象及其性质的更大的集合，如果这个更高一层次的集合的性质易于发现和研究，那么就可以回头指导我们对特殊对象的研究必须注意，对问题一般化后，往往需要再通过更简单的特殊化，去探索问题的特性和规律因此，一般化与特殊化是相辅相成的两种方法，使用时切不可机械地把两者割裂开 在数学解题过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围而去思考比它大的范围的更一般性的问题一般性的问题有时比特殊性问题还易于解决因此，只要解决一般性的问题，特殊性的问题就迎刃而解了用一般化方法既可发现解题

23、思路或规律，又可完成解题(如用公式法解方程x2+3x-5=0). 25一般化、特殊化与提出问题 几乎所有的数学家都认为：“问题是数学的命脉”一个领域中的问题越多，其生命力越强，也就越有发展潜力提出一些好的数学问题，对于数学发展来说，有着非常重要的作用例如，历史上著名的费马大定理、哥的巴赫猜想，七桥问题，柳卡趣题（文7），均体现了或仍在体现着这一点 作为解决问题的一部分，提出数学问题实施素质教育和创新教育的切人点，正成为当前数学教育课程改革关注的焦点 提出数学问题(以下简称提出问题，)是指在一个独立的数学问题情境中创造新问题或对已知数学问题的再阐述提出问题是一项重要的课程目标，它要求在数学课堂上

24、增加学生的提出问题活动，“这个活动是做数学的核心” 对于一个给定的数学问题，它含有已知的信息、未知的信息和一些内在的和外在的限制条件，通过改变问题信息的种类和考虑证明问题、逆向题、特殊例子、一般例子和类似例子，可以提出许多新的问题就研究性学习而言，需要培养学生发现问题和提出问题的能力，发现问题和提出问题需要一定的方法，而特殊化与一般化正是问题产生的重要策略3. 特殊化，一般化的反思与启示31反思 反思一：影响使用特殊化，一般化思想方法的因素分析 第一，知识因素(包括陈述性知识、程序性知识、策略性知识)文8 陈述性数学知识主要是关于一些数学概念、命题、公式、法则、定理、公理等方面的知识。 程序性

25、数学知识主要是关于数学运算、算法之类的操作性知识程序性知识具有以下特点：首先，从信息的处理方式和结果来看，程序性知识主要是说明性的，它是一种动态的过程性知识，它不仅要知道“是什么”，而且要对信息进行识别或转换来做出相应的动作反应其次，从对信息的表征来看，程序性知识是按照产生式规则来进行表征的产生式规则是由于人经过学习，其头脑中储存了一系列的“如果那么”的规则“如果”指明了规则运用的条件，“那么”是行为，不仅包括外显行为，还包括内在的心理活动或运算。产生式规则在某种特定条件得到满足时发生，然后使个体做出某种动作或行为简单的产生式只能完成单一的活动，当需要的任务是一连串的活动时，就需要把许多简单的

26、产生式联合起来，通过控制流而相互形成联系，组合成复杂的产生式系统 策略性数学知识是关于如何获取数学知识的知识，它侧重于知识学习过程中内在的数学思想方法。 策略性知识具有如下特点：首先，从信息的处理来看，策略性知识具有高度的灵活性认知对象、相关背景及认知过程本身都处于不断的变化之中，因此，在应用策略性知识时，个体必须根据认知对象、当时的数学情境、认知过程的深入等因素变化不断调整认知策略其次，从信息加工的结果来看，策略性知识具有极强的创造性面对新的情境时，原有的策略完全失效，那就只有根据全新的情况来监控和调查策略，而新的策略只有依靠个体去创造才能获得.最后,从信息的表征来看，策略性知识也是由产生式

27、来表征的，但它更侧重对规则以及策略的调节和监控，能根据情况的变化及时地确定应对策略 “一般化”，与特殊化”思想方法属于认知策略按照认知心理学的研究结论可知，认知策略一般由相应的陈述性知识转化而成的“一般化”与“特殊化”思想是陈述性知知识阶段的心理表现，须达到“知道”、“初步了解”这种认知水平 文9 第二，经验因素 特殊化(一般化)的途径可能不只一条，不同的人会根据自己的情况或喜好来选择；一般化推广的程度依赖于特殊问题的解法，认识越深刻，解法越本质，一般化的结论越有价值 第三，环境因素 环境的改变会影响人选择使用哪一种方法或策略学生在竞赛环境下，解答需快速且准确：而教师在自主环境下探索，有较大的

28、自由度：可思考一个小时，两个小时，一天，两天或更长时间；可连续也可间断；可翻阅资料；可同别人交流等另外，题目以选择题还是解答题的形式出现也是环境因素. 第四，品质与情感因素 探索的过程充满了挑战性，个中滋味，一言难进，而当历尽艰辛，最终得到结论时的激动和兴奋又无法用语言来表达，回味无穷波利亚说：“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的，决心与情绪所起的作用很重要” 第五，几种心理因素 畏难心理，从而中途放弃。满足心理，一旦有一种理解或解决方案，就不再深入思考依赖心理，不愿自己深思依靠书本或别人盲从心理，缺少独立思考和判断，人云亦云 第六，观念因素 第七，原认知 有实验表明，认知策略的原认知成分是策

29、略训练成败的关键，也是影响认知策略迁移的重要因素 第八，问题的表征 第九，对问题的心理表征 反思二：如何运用特殊化，一般化思想方法. (1)关于特殊化思想方法的运用 第一，特殊化元素的选择：一般选中点、端点、零点、垂直关系、平行关系、最大角、最小角、定值、零值、最值、最小正整数等总之，要考虑特殊的数、形、位，先用特殊探路，然后推及一般 第二，利用题目本身的特殊性(特殊形式、特殊结构、特殊数字)解题，常可得到简捷解法。 运用特殊化法需注意的几点： 首先，选择要得当即选择的特殊元素要既能说明问题，又便于讨论或计算一个问题可能有多种方法进行特殊化，并非每个都有用，也决非每个都简捷。数学题目千变万化，

30、特殊化元素的选择也决不能千篇一律要具体问题具体分析 其次以特殊代替一般是不符合逻辑规律的，用特殊化法来探路常常是有效的，但也潜藏着相当大的危险尽管可能是符合实际的猜想，不经严格的逻辑论证是决不能认可的 再次，运用特殊化法时常需综合考虑，和其它方法联合应用；需明确，决非所有的数学问题都能用特殊化法来解决 (2)关于一般化思想方法的运用 不难理解，用一般化解决问题的过程及用特殊化解决问题的过程，均是特殊化及一般化的统一体，是二者相继运用的过程二者的区别仅仅在于特殊化与一般化运用的先后次序不同：一般化解决问题的方法是先一般化、后特殊化；特殊化解决问题的方法是先特殊化、后一般化 用一般化解决问题，有两种基本情形：一是给定问题是某一般问题的特殊情况，而此一般问题已有了明确的结论，只要将给定问题纳