第三讲刚体力学基础

1、-第三讲第三讲 刚体力学基础刚体力学基础3-1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 以及角动量守恒定律以及角动量守恒定律 -3-1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 刚体，是指在任何情况下都没有形变的物体。刚体，是指在任何情况下都没有形变的物体。 一、刚体定轴转动的描述1. 平动和转动平动和转动 刚体在平动中，其上任意两点的连线始终保持平刚体在平动中，其上任意两点的连线始终保持平行。行。 如果物体上的所有

2、质元都绕某同一直线作圆周运如果物体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为动，这种运动就称之为转动转动，这条直线称为，这条直线称为转轴转轴。 -平动和转动是刚体运动中两种基本形式平动和转动是刚体运动中两种基本形式. AA 若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动.这个转轴称为固定轴，这个转轴称为固定轴，2.定轴转动定轴转动 转动平面：转动平面：垂直于固定轴的平面垂直于固定轴的平面 3.刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点所有质点的所有质点的线线量量一般不同，但一般不同，但角量都相同角量都相同;质点的线量与该质点的距离轴矢径大小成正比质点的线量与

3、该质点的距离轴矢径大小成正比 iir iira 2niiarr - 刚体的一般运动：刚体的一般运动： 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+-刚体可以看作质点系刚体可以看作质点系zLzir m iip tLMzzdd 外 )(iiizrmL2 zzJL)(1 zniizJdtdM zJdtdJ z zzJM 外 绕定轴转动的刚体，其角加速度与作用于刚体上绕定轴转动的刚体，其角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。这就的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。这就是刚体定轴转动中的是刚体定轴转动中的转动定律转动定律. 3-2 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转

4、动定律-例例: 已知两物体已知两物体 m1、m2(m2 m1)和一和一滑轮滑轮( m、R), 滑滑轮可看成质量均匀的圆盘轮可看成质量均匀的圆盘, 轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩为 Mf（设（设绳轻，且不伸长绳轻，且不伸长,与滑轮无相对滑动）。求与滑轮无相对滑动）。求: 物体的加物体的加速度及绳中的张力。速度及绳中的张力。m1m2mRMf解解: 分别对分别对m1, m2, m 分析运动、受力，分析运动、受力，设各量如图所示设各量如图所示1am1gT12am2gT22T 1T mRMfmgN因绳不伸长因绳不伸长,有有 a1= a2= a-因绳轻因绳轻,有有2211TTTT ,以以加速度方向为正加速

5、度方向为正，可列出，可列出对对m1有有: T1 - m1g = m1a (1)对对 m2有：有：m2g - T2= m2 a (2)对滑轮对滑轮 m 由转动方程由转动方程 21221mRJMRTRTf (3)再从运动学关系上有再从运动学关系上有 Raa (4)(以以“ 方向方向”为正为正)-联立四式解得：联立四式解得： mmmRMgmmaf212112 2222111211mmmRMmgmmmagmTf 2222122122mmmRMmgmmmagmTf 当不计滑轮质量和摩擦力矩时当不计滑轮质量和摩擦力矩时: m = 0, Mf = 0gmmmma1212 gmmmmTT2121212 -1.

6、转动动能转动动能2222)(2121 iiiikrmrmE221 JEk 刚体作定轴转动时的转动动能等于刚体的转动刚体作定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。惯量与角速度平方乘积的一半。 比较比较：JLEk22 mpEk2 2 221 mEk 221 JEk 3-3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理-2.力矩的功力矩的功 ziriFrdd i iiirdFdW iiirdF cos i iF rd dMi 对对i求和，则力矩的元求和，则力矩的元功功 dMdWi MddMi )(M为作用于刚体上为作用于刚体上外力矩之和外力矩之和 (内力矩之和为零内力矩之和为零

7、) MddW 21 MdW力矩的功率为：力矩的功率为： MdtdMdtdWP 当输出功率一定时当输出功率一定时, 力矩与角速度成反比。力矩与角速度成反比。-3. 刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理： MdW 21 dJ 21 ddtdJ 212122212121 JJdJW )21(221 JMd 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，动能的增量， 这就是刚体定轴转动时的动能定理。这就是刚体定轴转动时的动能定理。-3-4 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律 1. 刚体对定轴的角

8、动量定理刚体对定轴的角动量定理 作定轴转动的刚体，其质元角速度作定轴转动的刚体，其质元角速度 相同，因此，相同，因此， 1()nzizzidLdMJdtdt000 tLzztLM dtdLJJ 定轴转动刚体的角动量的增量等于合外定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩的冲量矩。力矩的冲量矩。-2. 刚体定轴转动时的角动量守恒刚体定轴转动时的角动量守恒 0 izM若若则则 L=J = 恒量恒量 外力对某轴的力矩之和为零，则该物外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒体对同一轴的角动量守恒。 刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒 总角动量总角动量 ：L= J

9、1 1 +J2 2 += 常量常量 -角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种情况：(1) 转动惯量保持不变的刚体转动惯量保持不变的刚体00,0 则时，当JJM例：回转仪例：回转仪(2) 转动惯量可变的物体转动惯量可变的物体当当J增大时，增大时， 就减小就减小 当当J减小时，减小时， 就增大就增大 而而 保持不变保持不变 J例：旋转的舞蹈演员例：旋转的舞蹈演员J1 -装置反向转动的双旋翼产装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消生反向角动量而相互抵消前旋浆顺时针转动前旋浆顺时针转动机身逆时针转动机身逆时针转动后旋浆逆时针转动后旋浆逆时针转动机身顺时针转动机身顺时针转动相互抵消！相互抵

10、消！-例例: 一根质量为一根质量为m长为长为2l的均匀细棒，可在竖直平面内的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置，一质量为，一质量为m/的小球，以速度的小球，以速度u垂直落到棒右端点。垂直落到棒右端点。设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹速度速度u/及棒的角速度及棒的角速度 ？（忽略轴处摩擦）（忽略轴处摩擦）om/u解：杆的角速度解：杆的角速度 如图示如图示,假设小球碰后瞬时的速度假设小球碰后瞬时的速度u/ 向上向上u/ 系统系统：小球：小球+杆杆条件条件：M外外=0 角动量守恒（轴力无力矩；小球的角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）/2/1(2 ) )12lm umllm u (1)-因为弹性碰撞因为弹性碰撞, 所以所以动能动能(机械能机械能)守恒，则守恒，