第二讲-3椭圆参数方程

1、椭圆的参数方程椭圆的参数方程例例1 1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a a，b b（a ab b0 0）为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B B是大圆半径是大圆半径OAOA与小圆的交点，过点与小圆的交点，过点A A作作ANoxANox，垂足为，垂足为N N，过点，过点B B作作BMANBMAN，垂足为，垂足为M M，求当，求当半径半径OAOA绕点绕点O O旋转时点旋转时点M M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. . OAMxyNB分析：分析：点点M M的横坐标与点的横坐标与点A A的横坐标相同的横坐标相同, ,点点M M的纵坐标与点的纵坐标与点B B的纵坐标相同的纵坐

2、标相同. . 而而A A、B B的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系. . 设设XOA=XOA=例例1 1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a a，b b（a ab b0 0）为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B B是大圆半径是大圆半径OAOA与小圆的交点，过点与小圆的交点，过点A A作作ANoxANox，垂足为，垂足为N N，过点，过点B B作作BMANBMAN，垂足为，垂足为M M，求当，求当半径半径OAOA绕点绕点O O旋转时点旋转时点M M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. . OAMxyNB解：解： 设设XOA=, M(xXOA=, M(

3、x, y), , y), 则则A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知: :即为即为点点M M的轨迹的轨迹参数方程参数方程. . sinbycosax)( 为参数为参数 消去参数得消去参数得: :,bya12222x即为即为点点M M的轨迹的轨迹普通普通方程方程. .参数方程参数方程普通方程普通方程 sincosbyax sincosaybx12222 byax12222 bxay1 1 . .参数方程参数方程 是椭圆的参是椭圆的参 数方程数方程. .cosxasinyb2 2 . .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a a、b b分别是椭圆

4、的长半分别是椭圆的长半轴长和短半轴长轴长和短半轴长. . abab另外另外, , 称为称为离心角离心角, ,规定参数的取值范围是规定参数的取值范围是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦点在 轴cos ,sin .xbYya焦点在 轴【练习【练习1 1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. . 22149xy2211 6yx(1)(1)(2)(2)3 c o s5 s inxy8 c o s1 0 s inxy(3)(3)(4)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2 c o s(1)3 s inxyco s(2 )4 sinxy2264100(4)1

5、yx22925(3)1yx练习练习2：已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 ( 是是参数参数) ，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为），短轴长为（ ），焦点坐标是（），焦点坐标是（ ），离心率是），离心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线 l：x-y+4=0的距离最小.xyOP分析分析1 1：),y,y(288P设设2882|4yy|d则则分析分析2 2：),sin,cos(P 22设设222|4sincos| d则则分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭

6、圆相切，切点即为所求.小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。最大值和最小值吗？的的前提下，求出满足进行类比，你能在实数与简单的线性规划问题思考：yxzyxyx211625,2289,89 1 , 1)cos()cos(89sin8cos5)sin4 ,cos5(00zzM是椭圆上的一点，则设例例3、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos ,8sinA解 设20c

7、os,16sin2016sincos160sin 2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX练习练习3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx:,ABCABP解 椭圆参数方程 设点P(3cos,2sin) S面积一定 需求 S最大即可264132212360|cossin6 |2 sin()23,yxPABxyddP3322即求点到线的距离最大值线AB的方程为66所以当=时有最大值 面

8、积最大4这时点 的坐标为(, 2)练习练习41、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin29422yx)2, 0(),3 , 1 ()0 , 3(),3 , 2()sin2 ,cos3(1、点、点、点、点确定的曲

9、线必过所变化时，动点、当参数DCBAP( )B?_)( , 0cos3sin2cos42222方程为通，那么圆心的轨迹的普为参数、已知圆的方程为yxyx14)(sincos21)sin()cos2(0cos3sin2cos42222222yxyxyxyxyx化为普通方程是为参数所以圆心的参数方程为可以化为解：方程。点连线的中点轨迹方程上各为参数和椭圆、求定点)(sincos)0 ,2(2byaxa144)()(2sin2cos2),(2222byaaxbyaaxyxM得上述的方程消去参数，为参数则点连线的中点为解：设定点与椭圆上的的坐标为点，则的倾斜角为为原点在第一象限，上一点，且为参数是椭圆、POOPyxP3)()(sin32