大学物理上刚体定轴转动02

1、第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理.力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理.2.4 2.4 刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理Kinetic Energy Theorem of Rigid Bodys Rotation 2.4.1转动动能转动动能Rotational kinetic energy2222121iiiikirmvmE 对刚体中距转轴为对刚体中距转轴为ri处的质点，若其质量为处的质点，若其质量为mi，

2、速度为速度为vi，则其动能为：，则其动能为： 将刚体内所有质点的动能相加得将刚体内所有质点的动能相加得刚体的转动动能为：刚体的转动动能为：22221)(21JrmEniiikviri第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院ddddttrFsFrFWddMW 21dMW力矩的功力矩的功2.4.2 力矩作功力矩作功Work done by a torque MtMtWPdddd力矩的功率力矩的功率:orvFxvFoxrtFrdd结论：刚体内力矩的功的代数之和恒为零。结论：刚体内力矩的功的代数之和恒为零。第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效

3、应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院21222121d21JJMW2.4.3 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理Kinetic Energy Theorem of rigid bodys rotation21dMW 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量 .2111ddddJtJ例例1：一质量为：一质量为m、长为、长为L的均匀细棒，可绕其一端的均匀细棒，可绕其一端在竖直平面内转动。细棒从水平位置开始自由下摆，在竖直平面内转动。细棒从水平位置开始自由下摆，求求: 细棒摆至竖直位置时的角速度。细棒摆至竖直位置时

4、的角速度。第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院OCmgC设棒摆到竖直位置时角速度为设棒摆到竖直位置时角速度为，则由转动动能定理，则由转动动能定理得：得：细棒以一端为转轴的转动惯量为：细棒以一端为转轴的转动惯量为：3/2mLJ Lg /3代入得：代入得：解：下摆时，棒所受的力矩只有重力力解：下摆时，棒所受的力矩只有重力力矩矩mgLsin/2，所作的功为：，所作的功为：mgLdmgLW21sin2102021212JmgL第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院本题也可用机械能守恒定律求解，即：本题也可

5、用机械能守恒定律求解，即：021212mgLJ 这说明，一般质点系的功能原理和机械能守恒定这说明，一般质点系的功能原理和机械能守恒定律同样可用于刚体转动。律同样可用于刚体转动。 在刚体定轴转动中，机械能守恒定律的数学表达在刚体定轴转动中，机械能守恒定律的数学表达式为：式为：常常数数CmghJ221其中：其中：hC为刚体质心到重力势能零点的为刚体质心到重力势能零点的 距离。距离。第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、冲量矩、角动量、角动量定理角动量定理.ipjp0,0p2.52.5角动量定理和

6、角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律 Theorem of Angular Momentum and Conservation of Angular Momentum in Rigid Bodys Rotation 22kvvmEmp 质点质点运动状态的描述运动状态的描述 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理. 22kJEJL刚体刚体定轴转动运动状态的描述定轴转动运动状态的描述0,0p第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院v(1) 质点的角动量质点的角动量vmrprLvrLLrpmo 质点以角速度质点以角

7、速度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量rJmrL2Lrxyzom 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的角动量点的角动量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.L2.5.1 角动量角动量Angular Momentum 第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院（2）质点系的角动量：）质点系的角动量：（3）刚体的角动量：）刚体的角动量：iiiiiiiiiiirmvmrPrL)

8、()()(2 质点系内部所有质点的动量对某一定点的转质点系内部所有质点的动量对某一定点的转矩，即：矩，即： 作定轴转动的刚体，其内部所有质点具有作定轴转动的刚体，其内部所有质点具有相同的角速度：相同的角速度：JrmrmLiiiiii)()(22第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩 ，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.FrtprtLdddd0,ddptrvv2

9、.5.2 角动量定理角动量定理Theorem of Angular MomentumprL第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该的合力矩为零时，质点对该参考点参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量. LM,0 恒矢量恒矢量 冲量矩冲量矩tMttd2112d21LLtMtt2.5.3 角动量守恒定律角动量守恒定律Low of Conservation of Angular MomentumtLMdd结论：合外力矩的角冲量等于物体角动量的增量，结论：合外力矩的角冲量等于物体角动

10、量的增量， 即是角动量定理。即是角动量定理。00dtMLLt第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院角动量守恒定律讨论：角动量守恒定律讨论：（1）单个刚体）单个刚体single rigid body J=恒量，角动量守恒恒量，角动量守恒 =C 即：刚体作惯性转动。即：刚体作惯性转动。（2）多个刚体）多个刚体 rigid bodies system ，角动量守恒表，角动量守恒表达式为：达式为：CJLiii（3）质点和刚体）质点和刚体a particle and a rigid body ，角动量守，角动量守恒表达式为：恒表达式为：JvmrJvmr00

11、0注意：注意： 是质点速度在转动平面内的分量。是质点速度在转动平面内的分量。vv、0第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院（4）对于非刚体）对于非刚体nonrigid body ，即转动惯量变化。角，即转动惯量变化。角动量守恒的表达式：动量守恒的表达式：0)(dJdJJdLd若动作后角速度增加，则若动作后角速度增加，则 与与d 同向，所以同向，所以JJJJdJdJdJdJJJ0000lnln000即即：例如：花样滑冰运动员。例如：花样滑冰运动员。 the figure skater问题：花样滑冰运动员由伸臂到收臂动能问题：花样滑冰运动员由伸臂到收

12、臂动能 如何变化？如何变化？第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院质点运动规律和刚体的定轴转动规律对比质点运动规律和刚体的定轴转动规律对比 dtrdvdtd22dtrddtvda22dtddtddmrJ2FFrMamFJM 质点的运动质点的运动 刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度 角速度角速度 加速度加速度 角加速度角加速度 质量质量 m 转动惯量转动惯量 力力 力矩力矩 运动定律运动定律 转动定律转动定律 vmP动量动量 角动量角动量 vmrLJL 第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院dtvm

13、dF)(dtJdM)(0iiF0MiiivmJBAABrdFWBAABdMW221mvEk221JEk动量定理动量定理 角动量定理角动量定理 动量守恒动量守恒 时时 角动量守恒角动量守恒 时时 恒量恒量 恒量恒量力矩的功力矩的功 动能动能 转动动能转动动能 力的功力的功222121ABmvmvW222121ABJJWmghEPCPmghE动能定理动能定理 动能定理动能定理 重力势能重力势能 重力势能重力势能 第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院练习题练习题1、质量为、质量为m、长为、长为l的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的的棒，可绕通过棒中心且与

14、棒垂直的竖直光滑固定轴竖直光滑固定轴O在水平面内自由转动在水平面内自由转动(转动惯量转动惯量Jm l 2 / 12)开始时棒静止，现有一子弹，质量也是开始时棒静止，现有一子弹，质量也是m，在，在水平面内以速度水平面内以速度v 0垂直射入棒端并嵌在其中则子弹嵌入垂直射入棒端并嵌在其中则子弹嵌入后棒的角速度后棒的角速度_ 3v0 / (2l)2、一转台绕竖直固定光滑轴转动，每、一转台绕竖直固定光滑轴转动，每10 s转一周，转台转一周，转台对轴的转动惯量为对轴的转动惯量为1200 kgm2质量为质量为80kg的人，开始的人，开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，问当人离转台时站在台的中心，随后沿半

15、径向外跑去，问当人离转台中心中心2m时，转台的角速度为时，转台的角速度为_ 0.496 rads1第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院例例2 一长为一长为 l , 质量为质量为 m 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转动自由转动 . 一质量为一质量为m、速率为、速率为v 的子弹射入竿内距支点为的子弹射入竿内距支点为a 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少 ? A thin stick can rotate about a fixed fulcrum O freely. Now a bullet is

16、 shot into the stick, and the distance between the bullet and the fulcrum is a when the bullet rests in the stick. The impulse force of the bullet makes the angle of deflecting of the stick is 30. Try to determine the initial speed of the speed. (The mass of the stick is m and the length of the stic

17、k is l, the mass of the bullet is m.) 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守恒子弹射入竿的过程系统角动量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamv第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院oamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒 .2233malmamv第二

18、章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院 例例3：长为：长为L的匀质细棒，一端悬于的匀质细棒，一端悬于O点，自由下垂，点，自由下垂，紧接紧接O点悬一单摆，轻质摆绳的长为点悬一单摆，轻质摆绳的长为L，摆球的质量为，摆球的质量为m，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与细杆作完，单摆从水平位置由静止开始自由下摆，与细杆作完全弹性碰撞，碰后单摆停止。全弹性碰撞，碰后单摆停止。 求：求：(1) 细杆的质量；细杆的质量； (2) 细杆摆动的最大细杆摆动的最大 角度角度max。OLm第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学

19、院解解: :mgLmv 221222121Jmv JmvL)cos1 (2212LMgI解得解得: :31cos3mMOLm第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院例例4：如图，质量为：如图，质量为M，半径为，半径为R 的边缘的边缘有光滑挡板围成侧槽的圆盘，可以绕有光滑挡板围成侧槽的圆盘，可以绕中心轴自由转动，开始时盘静止。今中心轴自由转动，开始时盘静止。今有一质量为有一质量为m，半径为，半径为r 的棋子以初的棋子以初速速 v0沿圆盘边缘的切线方向进入侧槽，沿圆盘边缘的切线方向进入侧槽，若棋子与圆盘表面的摩擦系数为若棋子与圆盘表面的摩擦系数为。求：

20、多长时间后棋子与圆盘处于相对求：多长时间后棋子与圆盘处于相对静止状态？静止状态？mv0oR光滑侧槽光滑侧槽第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院解：棋子进入侧槽后，与盘面之间存在摩擦力解：棋子进入侧槽后，与盘面之间存在摩擦力f= mg ，由于它的作用使得圆盘作加速转动而棋子，由于它的作用使得圆盘作加速转动而棋子作减速转动，最后两者相对静止具有共同角速度作减速转动，最后两者相对静止具有共同角速度。整个系统在转轴方向上所受合外力矩为零，整个系统在转轴方向上所受合外力矩为零，则系统的角动量守恒：则系统的角动量守恒：)(000JJJrRvMRJrRmmr

21、J00222021)(21其中：第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院)(rRmgM对圆盘而言，摩擦力矩为：对圆盘而言，摩擦力矩为：设在设在t 时间内圆盘角速度由时间内圆盘角速度由0-则由角动量则由角动量定理可得：定理可得：0JtM)(/1 (21)(002rRJJvMRtrRmg即：)(/1 (00rRJJv即：)/1 ()(20202JJrRmgvMRt第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院)2()2(200MmgMvtRMmmv讨论：若讨论：若r R ，即可认为棋子是质点，求，即可认为棋子是质

22、点，求最终角速度和所需时间。最终角速度和所需时间。第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动力矩的累积效应力矩的累积效应哈尔滨工程大学理学院 例例4 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并并背离点背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率小虫应以多大速率向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹