第五章--向量范数和矩阵范数讲解学习

1、第五章-向量范数和矩阵范数一、一、 从向量的长度或模谈起从向量的长度或模谈起 ，当且仅当，当且仅当 时，等号成立。时，等号成立。、()xy C C复数复数 的长度或的长度或指的是量指的是量22|xab显然复向量显然复向量 的模的模 具有下列三条性质：具有下列三条性质：|xx( , )xa baib j=+=+(2) | |;()xxR 3| | |xyxy （ ）。(1)x | 0 x ，当且仅当，当且仅当 时，等号成立。时，等号成立。22212|( , )nxx xxxx 显然向量显然向量 的模的模 也具有下列三条性质：也具有下列三条性质： 维欧氏空间中向量维欧氏空间中向量 的长度或模定义为

2、的长度或模定义为xn|xx、()nxy R R(2) | |;()xxR 3| | |xyxy （ ）。(1)x | 0 x 二、二、 向量范数的概念向量范数的概念(2) ()| |;()xxF 正正齐齐性性3()| | |xyxyxyV（ ），角角不不、三三等等式式(1) ()| 0;| 0 xxx 正正定定性性如果如果 是是数域数域 上的线性空间，对上的线性空间，对 中的任中的任意向量意向量 ，都有一个，都有一个非负实数非负实数 与之对应，并与之对应，并且具有下列三个条件（且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式正定性、正齐性和三角不等式）：）：则称则称 是向量是向量 的的，称定义了

3、范数的线，称定义了范数的线性空间性空间 为为。|xxVVFxV V|x拓扑空间拓扑空间线性空间线性空间Hausdorff空间空间赋范空间赋范空间 距离空间距离空间(度量空间度量空间)拓扑线性空间拓扑线性空间完备距离完备距离线性空间线性空间距离线性空间距离线性空间内积空间内积空间Hilbert空间空间Banach空间空间欧氏空间欧氏空间 和和nRnC 设设 是内积空间，则由是内积空间，则由V|,xVxx x定义的定义的 是是 上的向量范数，称为由内积上的向量范数，称为由内积 。这说明范数未必都可由内积导出这说明范数未必都可由内积导出。例如后。例如后面介绍的面介绍的 和和 。 | |V,g gg

4、g| | 1| | 在赋范线性空间在赋范线性空间 中，定义任意两向量之间的中，定义任意两向量之间的距离为距离为则称此距离则称此距离 。此时。此时按此式定义了距离的按此式定义了距离的 满足度量空间的满足度量空间的距离三公理距离三公理（对称性、三角不等式和非负性对称性、三角不等式和非负性），所以赋范线性空，所以赋范线性空间按由范数导出的距离构成一个特殊的间按由范数导出的距离构成一个特殊的。 | |V,( , )|d x yxyx yV-V( , )d g gg g三、三、 常用的向量范数常用的向量范数 对任意对任意 ，由，由定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为或或 范数，也称为

5、范数，也称为 。 12( ,)Tnnxx xxF 222122|nxxxx+ + + + +L L2| |nF2l 对任意对任意 ，由，由1/1,1|pnppiixxp= =骣骣琪琪 琪琪琪琪琪琪桫桫 定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为或或 范数。范数。 | |pnFpl12( ,)Tnnxx xxF 对任意对任意 ，由，由121|nxxxx+ + + L L定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为或或 范数或范数或，也被风趣地称为，也被风趣地称为。 特别地，特别地，p = 1 时，有时，有1| |nF1l12( ,)Tnnxx xxF 遗憾的是，当遗憾的

6、是，当 时，由时，由1/21|pppiixx= =骣骣琪琪 琪琪琪琪琪琪桫桫 定义的定义的 不是不是 上的向量范数。上的向量范数。111222| 因为因为 时，取时，取 ，则，则111222|1,|4 122,np(1,0) ,(0,1)TT | |pnF01p 对任意对任意 ，由，由|max|iixx 定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为 或或 范数或范数或。 在在广义实数广义实数范围内，范围内，P P能否取到正无穷大呢？具体而能否取到正无穷大呢？具体而言，如何计算这种范数呢？言，如何计算这种范数呢？lim |ppxx + + 也就是也就是| | nFl 12( ,)Tn

7、nxx xxF 证明：证明： 验证验证 是向量范数显然很是向量范数显然很容易。下证容易。下证 。令令 ，则有，则有1/1|(|)|pppjipixxxx 1/1/|()|pppjn xnx 由极限的两边夹法则，并注意到由极限的两边夹法则，并注意到 ，即得，即得欲证结论。欲证结论。1/lim1ppn |max |iijxx |max |iixx lim |max |ppiixx 计算向量计算向量1,2,.p=(3 ,0,4 ,12)Tii= =- - -的的p范数，这里范数，这里141|3 |4 |12|19.kkxii= = = =+ + - -+ + - -= = |max|max(3,0,

8、4,12)12.kkx = = = =42221212|(|)|3 |4 |12|13.kkxii= = = =+ + - -+ + - -= = %ex501.m i=sqrt(-1);a=3*i,0,-4*i,-12; norm(a),norm(a,1),norm(a,inf) ans = 13ans = 19ans = 12这些范数在几何上如何理解呢？这些范数在几何上如何理解呢？ 对任意对任意 ，对应于，对应于 四四种范数的种范数的闭单位圆闭单位圆 的图形分别为的图形分别为212( ,)Txx xC |1x 1,2, , p 对任意对任意 ，由，由定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上

9、的向量范数，称为 范数。范数。 特别地，特别地， 范数、范数、 范数和范数和 范数分别为范数分别为1L2LL 1|( )|( )|bpaf tf tdt 22|( )|( )|baf tf tdt |( )|max|( )|atbf tf t = =( ) , f tCab 1/|( )|(,)1|pbppaf tf tdtp骣骣琪琪 琪琪琪琪桫桫 , C a bpL| |p定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为或或。 若矩阵若矩阵 为为Hermite正定矩阵，则由正定矩阵，则由()()| | |TAATxkkx A kxxkxkx A= = = =对于任意对于任意 ，有，有

10、k C 当当 时，时， ；当；当 时由时由 对称对称正定知正定知 ，即，即 。Ax |0|Ax= =x 0Hx Ax |0|Ax nC|,|HAnxx AxxC n nA C | |A由于由于 为为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵正定矩阵，故存在酉矩阵 ，使得，使得从而有从而有2|)|(|AB xxyy+ + += =12( ,)TnU AUdiag = = =L L这里这里 的特征值的特征值 都为正数。都为正数。TTTAUBU UUB= = = 此时此时2| |()|TTTATx Axx B BxBBxxxxB 因此对任意因此对任意 ，22| | |AAxBByyx = =+ + +ny

11、 C (1,2, )i in= =L LAUA2() (|)|HAWxWxWxx= = =这从几何上可以理解成求可逆变换这从几何上可以理解成求可逆变换 的像的的像的“长长度度” 。这说明只要运算这说明只要运算 成立即可，因此对成立即可，因此对矩阵矩阵 的要求可放宽为列满秩矩阵的要求可放宽为列满秩矩阵。 W2|WxWWx如果如果 ，此时，此时 ，这就是这就是或或名称的由来。名称的由来。 2 1/21| |(| )nAiiiwxx= = = 1(,)nWdiag ww= =L L一般地，由于一般地，由于 是是Hermite正定矩阵，从而存在正定矩阵，从而存在Cholesky分解，即存在可逆矩阵分解

12、，即存在可逆矩阵 （未必是酉矩（未必是酉矩阵），使得阵），使得 ，因此，因此WAHAW W= =为为，这里，这里 是正定对是正定对称矩阵。大家已经知道，此函数是讨论线性和非线称矩阵。大家已经知道，此函数是讨论线性和非线性系统稳定性的重要工具。性系统稳定性的重要工具。P在现代控制理论中，称二次型函数在现代控制理论中，称二次型函数2( )|PHV xx P xx = =（模式识别中的模式分类问题模式识别中的模式分类问题）2|( , ) ()TxyxD x yyxy - -= =- - -的问题指的是根据已知类型属性的观测样本的问题指的是根据已知类型属性的观测样本的模式向量的模式向量 ，判断未知类型

13、属性的模式，判断未知类型属性的模式向量向量 归属于哪一类模式。其基本思想是归属于哪一类模式。其基本思想是根据根据 与与模式样本向量模式样本向量 的相似度大小作出判断。的相似度大小作出判断。最简单的方法是用最简单的方法是用两向量之间的距离两向量之间的距离来表示相似度，来表示相似度，距离越小，相似度越大距离越小，相似度越大。最典型的是。最典型的是Euclidean距离距离1,MssL LxisxP其他其他距离测度距离测度还包括还包括1111|tan( , )( ,;max|;|)(;|;, )( , )njjjjjjnjjjnmmjjjManhatD x yChebyshevD x yMinkow

14、skiD x yChebyshevD x yxyxyxyxy= = = = - - - - - -骣骣琪琪 - -琪琪琪琪 桫桫 距距离离距距离离距距离离距距离离以及与椭圆范数类似的以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离距离：12() ( , )() ,TTdyyxyxx- - - - -这里这里 是从正态母体是从正态母体 中抽取的两个样本。中抽取的两个样本。( ,)N , x y四、四、 向量范数的性质向量范数的性质22|U xx= =Euclid范数是范数是的，即对任意酉矩阵的，即对任意酉矩阵 以及任意以及任意 ，均有，均有这个定理的结论是显然的，因为酉变换保持向量的这个定理的结论

15、是显然的，因为酉变换保持向量的内积不变内积不变，自然也保持了，自然也保持了Euclid意义下的意义下的几何结构几何结构（长度、（长度、角度角度或或范数范数等）等）不变不变。nxC n nUC 12|CxxCx注意这个结论对注意这个结论对无限维无限维未必成立。另外，根据等价未必成立。另外，根据等价性，处理向量问题（例如向量序列的敛散性）时，性，处理向量问题（例如向量序列的敛散性）时，我们可以基于一种范数来建立理论，而使用另一种我们可以基于一种范数来建立理论，而使用另一种范数来进行计算。范数来进行计算。有限维线性空间有限维线性空间 上的上的，即对即对 上定义的任意两种范数上定义的任意两种范数 ，必

16、存在，必存在两个任意正常数两个任意正常数 ，使得，使得V12,CC| |, | |g gg gV2、矩阵范数、矩阵范数 向量是特殊的矩阵，向量是特殊的矩阵， 矩阵可以看矩阵可以看成一个成一个 维向量，因此自然想到将向维向量，因此自然想到将向量范数推广到矩阵范数。量范数推广到矩阵范数。m n mn一、一、 矩阵范数的概念矩阵范数的概念 对对 中的任意矩阵中的任意矩阵 ，都有一个非负实，都有一个非负实数数 与之对应，并且具有下列三个条件（与之对应，并且具有下列三个条件（正定性、正定性、正齐性和三角不等式正齐性和三角不等式, ,矩阵乘法相容性矩阵乘法相容性）：）：则称则称 是矩阵是矩阵 的的。(2)

17、 ()| |;()AAF 正正齐齐性性(1) ()| 0;| 0AAOA 正正定定性性3()| | |m nABABA BF 三三角角不不等等式式（ ）， 、|AAm nF A|A(4) (矩阵乘法相容性矩阵乘法相容性)ABA B 对任意对任意 ，由，由111|mni jijmaA= = = 邋邋定义的定义的 是是 上的矩阵范数，称为上的矩阵范数，称为 范数。范数。 1| |mm nF 1l()m ni jAaF 对任意对任意 ，由，由1,1max|i jimjnmAa 定义的定义的 是是 上的（广义）矩阵范数，称为上的（广义）矩阵范数，称为 范数。范数。 | |m m nF l ()m ni

18、 jAaF 对任意对任意 ，由，由( () )1/22111/2|()|mni jFiHjtr AAAa= = =骣骣琪琪琪琪琪琪琪琪 = = 邋邋定义的定义的 是是 上的矩阵范数，称为上的矩阵范数，称为 范范数，数，或或。| |Fm nF 2l()m ni jAaF 二、二、 算子范数和范数的相容性算子范数和范数的相容性矩阵不仅仅是向量，它还可以看成变换或算子。矩阵不仅仅是向量，它还可以看成变换或算子。 实际实际中，从算子或变换的角度来定义范数更加有用。中，从算子或变换的角度来定义范数更加有用。 对对 中的任意矩阵中的任意矩阵 ，用一个非负实，用一个非负实数数 表示对于任意向量表示对于任意向

19、量 ， 可以可以“拉伸拉伸”向量向量 的最大倍数的最大倍数，即使得不等式，即使得不等式成立的最小的数成立的最小的数 。称。称 为范数为范数 和和 或或。m nF A|AnxF Ax|CxAx C|A| | | | 由矩阵范数的正齐性可知由矩阵范数的正齐性可知 的作用是由它对单位向的作用是由它对单位向量的作用所决定，因此可以等价地用量的作用所决定，因此可以等价地用单位向量在单位向量在 下下的像的像来定义矩阵范数，即来定义矩阵范数，即| |1|maxmax |xxxAxAxA 从几何上看，矩阵范数反映了线性映射把一个向量映从几何上看，矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，射为另一个向量

20、，向量的向量的“长度长度”缩放的比例缩放的比例 的上界。的上界。AA 而且考虑到而且考虑到矩阵乘法的重要地位矩阵乘法的重要地位，因此讨论矩阵范数，因此讨论矩阵范数时一般附加时一般附加“”条件（这里的范数一般条件（这里的范数一般要求是要求是同类的同类的）：）： 注意到注意到即即|AABB ,m nn pAFBF创创 |xAAx |AAxx 1|AAmBFB ， 为为 或或可以证明，前面给出的矩阵范数可以证明，前面给出的矩阵范数 都都满足满足“相容性条件相容性条件”，即成立，即成立但是矩阵范数但是矩阵范数 不满足不满足“相容性条件相容性条件”。例如。例如对于矩阵对于矩阵1 11 1A 就有就有22

21、|2 |2|1|mmmAAA | |m 1| | |mF、要使矩阵范数要使矩阵范数 满足满足“相容性条件相容性条件”，则可以，则可以修正其定义为：修正其定义为：1,1max|i jimjnmanA | |m 在在“相容性条件相容性条件”中，如果中，如果 而且而且范数范数 与范数与范数 相同时，即如果有相同时，即如果有则称则称。| | | | |AAxx nBxF=| | | | 1/21212|mini jjjAxxa= = =骣骣琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫= = 1/2211|nijjmijax= = =骣骣琪琪琪琪琪琪骣骣琪琪琪琪琪琪琪琪 琪琪桫桫桫桫 ： 上的矩阵上的矩阵F-范数与范数与

22、上的向量上的向量2-2-范范数相容。数相容。mnF nF1/22121/211|mnniijjjjax= = = =骣骣骣骣琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫= =桫桫 2|FAx= =1/212211|nnimjjjijax= =轾轾骣骣骣骣琪琪琪琪犏犏琪琪琪琪犏犏琪琪琪琪琪琪骣骣琪琪琪琪琪琪琪琪 桫桫桫桫犏犏臌臌桫桫 根据算子范数的定义，当向量范数根据算子范数的定义，当向量范数 分别为分别为 时，我们可时，我们可诱导出诱导出相应的相容相应的相容矩阵范数矩阵范数 。| | 12| | | | 、12| | | | 、设任意矩阵设任意矩阵 ，则，则1-1-范数范数单位球单位球121| |(

23、, , ,1)|TnnSxx xxxF = = L L 在在 下的下的像像中的任意向量中的任意向量 满足满足11111|(| )|njnjjjjjxAxx= = = = 邋邋11|max|jnj AAx12,m nnA F =L L111max|j njA 从而从而1111|max|knjkjAe= = =如果如果 ，则选取，则选取 ，此时由，此时由 ，得，得因此因此类似地可得，类似地可得，11|max|ni ji mjaA 11111|maxx|ma|mi jj njij naA 111|max|jjkn= =kxe= =1|1ke= = 实际上，实际上，这些诱导矩阵范数具有如下的这些诱导矩

24、阵范数具有如下的表示定理表示定理。111|max|mi jj niAa 对对 中的任意矩阵中的任意矩阵 ，有，有m2ax|()HAA A 11|max|ni ji mjaA 最大最大列和列和 最大最大行和行和 最大最大谱谱m nF A22() ()|0HHHx A AxAxAxAx= = = 所以所以 是半正定是半正定矩阵矩阵,因此特征因此特征值全部为非负实数。设为值全部为非负实数。设为120n吵吵吵吵L L 并设对应的两两互相正交且并设对应的两两互相正交且2-范数都为范数都为1的特的特征向量为征向量为 ，那么，对于，那么，对于任意的单位任意的单位2-范数向量范数向量 ，必成立，必成立1 12

25、 2nnx x x x= =+ + + +L L12,nxxxL LHA A1()nHHiiiA AxA A x= = = 由于由于11()()nnHiiiiiii A Ax x=邋邋因此有因此有2211|()nnTiiiiiiiAx x x=邋邋211121|niniiii= = = = = = 所以所以2221| |1|max |xAAx= = = 因此成立因此成立212111111|HHHAxx A Axx x= = = =21max|()HAA A= 另外，由于另外，由于 ，而且，而且12|1x= =同样给出这些范数在几何上的理解。同样给出这些范数在几何上的理解。 求矩阵求矩阵的的 范

26、数（范数（ ），并考察对应于），并考察对应于 的三种向量范数的的三种向量范数的闭单位球闭单位球在矩阵在矩阵 作用下的效果。作用下的效果。2|1|pxSxF= = 1,2,p 1202A p1,2,p A%ex502.m A=1 2;0 2; norm(A),norm(A,1),norm(A,inf) ans = 2.9208ans = 4ans = 3123112310123,01122eeeAee AeAe骣骣骣骣骣骣骣骣骣骣琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪= = = = = = =琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫桫桫桫桫桫桫11211211112,12AeeAeeA骣骣琪琪= = =

27、=琪琪琪琪桫桫22212221212,212 2AeeAeAe骣骣琪琪= = = = = 琪琪琪琪 22332,22AeeeAAe 骣骣琪琪= = = =琪琪琪琪桫桫鬃鬃 上的上的谱范数谱范数具有下列性质：具有下列性质：222| | |1(1) | |m ax|,HnmxyAy Axx F y F= = = =挝挝22(2) |HAA= =222(3) |HA AA= =三、矩阵范数的一些性质三、矩阵范数的一些性质mnF (1)(1)222| |Hy AxyAxA设有设有 使使 ，令令 ，则有，则有 2020002202|HAxy AxAxAAx=：02|1x= =022|AxA= =0002

28、/ |yAxAx= =(2)(2)222| | |1|max|HxyAy Ax= = = =222| | |1max|HHHxyx A yA= = = = =(3)(3)22222| |HHA AAAA = =设有设有 使使 ，则，则 02200|1|max |HHHxA Ax A Ax= = =0 222022|1max |xAxA= = = =02|1x= =022|AxA= = 上的矩阵上的矩阵F-F-范数和谱范数都是范数和谱范数都是，即对任意酉矩阵，即对任意酉矩阵 ，恒有，恒有|FFFUAAAV= = =令令12(,)m nnA F = = L L则则2212|(,)|FnFUAU U

29、U= =L L222|UAAAV= = =2222211|nnjjFjjUA= = = = = =邋邋mnF UV、即即|FFUAA= =|() |HHHFFFAVAVV A= = =|HFFAA= = =对于对于谱范数谱范数的情形，利用定义即可。的情形，利用定义即可。222| |1|max |xUAUAx 222| |1max |xAxA 对于对于谱范数谱范数， 这个定理的结论可以推广到这个定理的结论可以推广到，即，即的情形，此时仍然成立的情形，此时仍然成立222|UAAAV= = =利用定理利用定理9 9可以证明这个推广结论。可以证明这个推广结论。,HHmnU UIV VI= = =3、

30、范数的应用范数的应用 长度和距离在长度和距离在实分析实分析和和复分析复分析中的应中的应用，我们已经有充分认识，而范数是长度用，我们已经有充分认识，而范数是长度和距离的推广，因此和距离的推广，因此范数范数作为一种推广的作为一种推广的度量，由于其抽象性和概括性，其应用范度量，由于其抽象性和概括性，其应用范围自然也随之扩展。至少在围自然也随之扩展。至少在矩阵分析矩阵分析和和数数值线性代数值线性代数领域，范数有着深刻的应用。领域，范数有着深刻的应用。一、谱半径与矩阵范数一、谱半径与矩阵范数根据矩阵的诱导范数的含义，结合特征值，根据矩阵的诱导范数的含义，结合特征值，设设 为为 的任意的任意，则，则| |

31、 |x=|Ax= =| x| |Ax 从而从而这说明矩阵特征值的模都不超过它的范数这说明矩阵特征值的模都不超过它的范数。| |A A( , ) xmax)|(|iiA 设设 的特征值为的特征值为 ，称，称为矩阵为矩阵 的的。|)|(AA 对对 的任意矩阵范数的任意矩阵范数 ，恒有恒有当当 是是正规矩阵正规矩阵时，等号对时，等号对2-范数范数成立。成立。An nAF |AAn nAF 1,nL L当当 是正规阵时，有是正规阵时，有HAU U= =从而从而222|HU UA= = =2221max | |( |1)niixx= = = = = ( ) A= =故结论成立。故结论成立。21max|n

32、iii = =骣骣琪琪琪琪= =琪琪琪琪桫桫 max|i ：A 求矩阵求矩阵1 1 04 3 010 2A轾轾- -犏犏= -= -犏犏犏犏臌臌的谱半径的谱半径 ( ) A%ex503.m A=-1 1 0;-4 3 0; 1 0 2;D=eig(A)； %eig函数虽然不能求出广义特征向量，但能求出所函数虽然不能求出广义特征向量，但能求出所%有特征值，这里有特征值，这里D为所有特征值构成的列向量为所有特征值构成的列向量norm(D,inf)ans = 2|(|)MAA 对对 ，存在存在 上矩阵范上矩阵范数数 ，对任意，对任意 ，恒有，恒有定理定理2 2给出了矩阵谱半径的的一个上界，那么给出了

33、矩阵谱半径的的一个上界，那么矩阵谱半径的下界呢？矩阵谱半径的下界呢？注意这里的矩阵范数与矩阵注意这里的矩阵范数与矩阵 有关。有关。 An nF | |Mg gn nAF 0 11211nnkPAPJIk- - -骣骣琪琪琪琪琪琪琪琪= = = + +琪琪琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫O O% %O O对任意矩阵对任意矩阵 ，存在，存在Jordan标准型标准型其中其中 ，：01,1,2,1ikin= = =- -L L或或12(,)ndiag = =L LA111()DPAP DDIJD- - - -= = =+ +% %令令 ，则，则从而从而易证函数易证函数 是是 上上的矩阵范数，这里的矩阵范数，这里1

34、|MASAS- - = =max|iiik=+=+max|()ii A+=+=+1|MAS AS- - .SPD n nF 21(1, ,)nDdiag - -= =L L例例5 5 设设 为为 的单位列向量的单位列向量 ,令令 ， 则则(1) ；(2) ；(3) ()1B nR2BB TBI 2|1.B 22()2TTTTBII = =- -= =- -+ +(1) 因为因为 ，所以，所以2.TTTIIB= =- -+ += =- -= =()max|1i B=(2) 因为秩因为秩 ，并且，并且 是对称矩阵，是对称矩阵，所以所以1是矩阵是矩阵 唯一的非零特征值，因此矩唯一的非零特征值，因此矩

35、阵阵 的特征值为的特征值为 ，从而，从而(3) 2maxmax2()()TBB BB= = =max()()1.B B= = = =T()1Tr = =TB0,1,1L L1T = =二、矩阵逆和线性方程组解的扰动分析二、矩阵逆和线性方程组解的扰动分析1210.9910.990.981xx 例例 6 6 线性方程组线性方程组的精确解为的精确解为如果系数矩阵和常数项分别有一个如果系数矩阵和常数项分别有一个,00000.010.001 12100,100 xx 1210.9910.990.991.001xx 则则为为它的精确解为它的精确解为11220.1,10 / 9xxxx 显然，由于原方程组本

36、身的固有性质导致显然，由于原方程组本身的固有性质导致原始原始数据的小扰动引起解的很大变化数据的小扰动引起解的很大变化，我们称这样，我们称这样的问题是的问题是（）或）或下面下面定量分析定量分析系数矩阵和常数项的扰动对线性系数矩阵和常数项的扰动对线性方程组解的影响。方程组解的影响。()()AA xxbb 设设非奇异非奇异线性方程组线性方程组 ，经扰动后仍有，经扰动后仍有唯一解唯一解 ，即成立，即成立因此因此AA xxAxb 111AAAxxxbAA xx+ +Axb 两边取范数，并缩放，得两边取范数，并缩放，得11|AAxAbx 1|AxA 11|(|)1 |AAxbxAA 如果有如果有 ，则，则

37、绝对误差估计式绝对误差估计式1|1AA 1|Axb 再由再由 ，可得，可得即即11| |1 | |xAbAxAAx 因此因此11| | |1 | |AAbxAAAbx Axb | |bAx 11| | |1 |AAAbAAbAAA | |AbAb 这里这里1| | ,1|AAAA 相对误差相对误差估计式估计式显然在相对误差估计式中，系数显然在相对误差估计式中，系数 反映了方反映了方程组解程组解 的相对误差对于系数矩阵的相对误差对于系数矩阵 和常数和常数项项 的相对误差的依赖程度。的相对误差的依赖程度。 越大，方程组越大，方程组解的相对误差也越大。解的相对误差也越大。1( )| |(|)|con

38、d AAAA- -汉汉 对非奇异线性方程组对非奇异线性方程组 ，称数，称数为为Axb= =Axb 问题是非奇异线性方程组问题是非奇异线性方程组 经过扰动后经过扰动后未必有唯一解，也即未必有唯一解，也即非奇异矩阵非奇异矩阵 经过什么经过什么样的扰动后得到的矩阵样的扰动后得到的矩阵 仍然是可仍然是可逆的呢？扰动对逆矩阵又有何影响？逆的呢？扰动对逆矩阵又有何影响？111111()BAAA B BAAB 1111| | |BAABA 由于由于两边取范数，并缩放，得两边取范数，并缩放，得BAA AAxb 1111| |BABAA 因此因此1|AAAB 下一步需要缩放下一步需要缩放 ，由于，由于1()BA

39、A IAAA 假定假定 可逆可逆，两边取范数，并缩放，两边取范数，并缩放，得得1IAA 1|B 1111|(|)|IAAAB 111|()| |IAAA 因此因此1111|BAAABAA 111| | |() |AAIAAAA 111() ()()()IICICICICC 令令 ，由于，由于1CAA 11()()ICIICC 即即两边取范数，并缩放，得两边取范数，并缩放，得11|() | |() |ICICIC 如果有如果有 ，则，则1|()|1 |IICC 下一步需要缩放下一步需要缩放 。11|() |IAA |1C 并且并且 的任意特征值的任意特征值 ，从，从而而 的特征值的特征值 均不为零，因