工程力学第十二章

1、12- -1 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力12- -2 惯性矩的计算惯性矩的计算12- -3 梁弯曲时的强度计算梁弯曲时的强度计算12- -4 梁弯曲时的切应力梁弯曲时的切应力12- -5 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施第十二章第十二章 弯曲应力弯曲应力QFM 梁横截面上 与弯矩M对应， 与剪力F对应。 FMFACFCQFM纯弯曲纯弯曲 (pure bending) 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。12-1 12-1 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力一、弯曲分类一、弯曲分类 横力弯曲横力弯曲 (bending by transverse f

2、orce) 梁横截面上既有弯矩又有剪力；相应的，横截面既有正应力又有切应力。二、二、 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力u计算公式的推导计算公式的推导 (1) 几何关系几何关系变形与应变观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况 . 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长； . 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而

3、无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中性轴中性轴 (neutral axis)。（f)推论(假设)：平面假设平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。若中性层的半径为r(如图c)，则有rddxryxyOOBBABBBdd211113纵向线应变在横截面范围内的变化规律纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的横截面上

4、距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为(c)(2)(2)物理关系物理关系力与变形（应力、应变） 梁的材料在线弹性范围内工作（胡克定律），且拉、压弹性模量相同时，有ryEE 这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按线性规律变化M 即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变与该点至中性轴的距离 y 成正比。 (3)静力学关系静力学关系 应力与内力。MAyMAzd 梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素dA(图d )不可能组成轴力( )，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩( )，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即0dNAAF0dAyA

5、zM(d)将 代入上述三个静力学条件，有ryE0ddNrrzAAESAyEAF(a)0ddrryzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzrrdd2(c) 以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，属于截面的几何性质，而 其中 为截面对于z轴的静矩(static moment of an area)或一次矩（形心计算公式），其单位为m3。AzAySd 为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。AyzAyzId 为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita of an area)或二次轴矩，其单位为m4。AzAyId2 由于式(a)，(b

6、)中的 不可能等于零，因而该两式要求：rE 1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， ；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；0dAAy 2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零， ；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。0dAAyz0ddNrrzAAESAyEAF(a)0ddrryzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzrrdd2(c)由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为 上式中的EIz称为梁的抗弯刚度（对Z轴）。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化,所以纯弯曲梁段轴线为一段圆弧。zEIMr1 将上式代入得

7、出的式子 即得弯曲正应力计算公式：ryEzIMy(c)MEIAyEAyMzAAzrrdd2 应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。zIMyu纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广 工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(b

8、earing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况.hl中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。dzyo(b) yc,max yt,maxyz bd1 hOd2(c) hbzyo(a)zzzWMyIMIMym

9、axmaxmax中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值max为式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）(section modulus in bending)，其单位为m3。hbzyodzyo 中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,maxc,(1) 矩形截面矩形截面12dd32222bhybyAyIhhAz622bhhIWzz12dd32222hbzhzAzIbbAy622hbbIWyyu简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数思考

10、思考: : 一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于形心轴 z 的惯性矩是否也是 ？123bhIz(2) 圆截面圆截面在等直圆杆扭转问题中已求得：32d42pdAIAr32ddd4222pdIIAzAyAIyzAAArzoyyzdAdr而由图可见，2=y2+z2 , 从而知而弯曲截面系数为6424pdIIIyz 32223ddIdIWWyzyz 根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得zoyyzdAdr(3) 空心圆截面空心圆截面 由于空心圆截面的面积等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有444444222216464646

11、4ddddDdDdDAyAyAyAyIdDdDAAAAAz式中， 。DddOyzD根据对称性可知：思考思考： 空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？zyzyWWII ,431322DDIWzz而空心圆截面的弯曲截面系数为dOyzD 例题例题12-1 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力max。 解：解：在不考虑梁的自重( )的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为mkN041.

12、1 mkN3754m10kN1504maxFlM由型钢规格表查得56a号工字钢截面3cm2340zW4cm65600zIMPa160m102340mN10375363maxmaxzWM于是有显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为MPa7 .165Pa107 .165m102340mN103886363maxMPa7 . 5MPa1607 .165远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。mkN388mkN13mkN375842maxqlFlM 如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为 工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例

13、题中所示的两种横截面。12-2 12-2 惯性矩的计算惯性矩的计算 在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心且平行于组合截面某个轴(例如x轴)的惯性矩时，组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求得。 y2 y1yx bd1 hOd2 已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC和yC的惯性矩 ，现需导出该截面对于与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy。截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为yxII，。和aybx1. 1. 惯性矩的惯性矩的平行移轴公式平行移轴公式因截面上的任一元素dA在x，y坐标系内的坐标为ayybxx ，于是有AaSaIAaAyaAyAayAyIxx

14、AAAAAxC222222 dd2dddAaIIxx2注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 等于零，从而有CxS同理可得 以上二式就是惯性矩的平行移轴公式。AbIIyy2AaIIxx22. 2. 组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩分别为niyiynixixIIII11 ， y2 y1yx bd1 hOd2x12-312-3 梁弯曲时的强度计算梁弯曲时的强度计算 正应力强度条件： max式中，为材料的许用弯曲正应力。对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作 zWMmax 由拉、压许用应力t和c不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分

15、发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力t,max和最大工作压应力c,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力t和许用压应力c 。zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,maxc,(a)(b) 例题例题12-3 图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力=152 MPa 。试选择工字钢的号码。解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示mkN375maxM强度条件 要求： zWMmax 366maxm102460Pa10152mkN375MWz363m102450cm2450zW 此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%

16、，故可以选用56b工字钢。由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为MPa153max此时危险截面上的最大工作应力为 其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。MPa159m102450mN101 .389363maxmaxzWMmkN1 .389mkN1 .14mkN3758mkN3752maxqlM 如果计入梁的自重 ，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为mkN1.127mkg115q MPat60MPac150IZ=18000cm4，解：（1）约束力KNFKNFBA110,30弯矩图)2(BC截面为危险截面C（3）强度校核最大压应力位

17、于B截面下方，最大拉应力需要综合考虑BC两处拉应力MPayIMZBcB9 .884 . 010180001040832maxMPayIMZBtB3 .3315. 010180001040831maxMPayIMZCtC7 .664 . 010180001030832max ttC所以不安全12-4 12-4 梁弯曲时的切应力梁弯曲时的切应力1dN2AAFAIyMMAzd)d(11AyIMMAzd)d(11AySAzd11*N2)d(zzSIMMF*N1zzSIMF*N2)d(zzSIMMF*N1zzSIMFxbxbFddd 0 xF0dN1N2FFFxbSIMSIMMzzzzd)d(*xbIM

18、Szzdd*xMFddQbISFzzQ*bISFzzQ*QFzI*zSbbISFzzQ*ddbA 11)4(2dd22*zAAyhbbAS)4(2)(22QyhIFyz0bhFbhhFhIFQz231284232Q2Qmax)4(2)(8)(2222QyhbhHBbIFyzmm240mm400m3kN85bhlFmm240mm400m3kN85bhlFkN85 mkN5 .127maxQmaxFM4933mm1028. 11240024012bhIzzaBaIyMMPa201028. 1200105 .1279649mm1028. 1zIMPa10zcBcIyMMPa0dMPa96. 9e92MPa.19ffa49mm1028. 1zIbISFzzec*Q2401028. 1150)240100(1085930MPa1maxdAF23Q33MPa. 14002402108533一一 合理配置梁的荷载和支座合理配置梁的荷载和支座12.5 12.5 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施2m