全等三角形总复习

1、全等三角形（复习）全等三角形（复习）一、全等三角形一、全等三角形1. 1.什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？到它的全等形？2 2：全等三角形有哪些性质？：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形等形（1 1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2 2）全等三角形的周长相等、面积相等。）全等三角形的周长相等、面积相等。（3 3）全等三

2、角形的对应边上的对应中线、角平分）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。线、高线分别相等。2.全等三角形的判定全等三角形的判定: 一般三角形全等的判定：一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：1.1.定义（重合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HLHL. .包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状

3、的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法3.三角形全等的证题思路：三角形全等的证题思路： 已知一边一角 ASA找夹边已知两角 SAS找夹角已知两边SSS找另一边HL找直角 SAS找夹角的另一边边为角的邻边AAS找任一角ASA找夹角的另一角AAS找边的对角AAS找任一边边为角的对边1. 1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法择恰当的判定方法2.2.全等三角形，是证明两条全等三角形，是证明两条线段线段或两个或两个角角相等的重要方相等的重要方法之一，证明时法之一，证明时 要观察待证的线段或角，在哪两个可能全

4、等的三要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。角形中。 分析分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。什么条件。 有有公共边公共边的，的，公共边公共边一定是对应边，一定是对应边， 有有公共角公共角的，的，公共角公共角一定是对应角，有一定是对应角，有对顶角对顶角，对顶角对顶角也是对应角也是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。例题选讲例题选讲1 1：如图，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定ABEACD的是( )AAD=AE B AEB=ADCCBE

5、=CD DAB=ACB2 2：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形共有( )A1对 B2对 C3对 D4对 D3. 3.如图：在如图：在ABCABC中，中，C =90C =900 0，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB交交ABAB于于E E，BC=30BC=30，BDBD：CD=3CD=3：2 2，则，则DE=DE= 。12cABDE4 4 已知：已知： ACBCACBC，BDADBDAD，AC=BD. AC=BD. 求证：求证：BC=AD.BC=AD.ABCD5 5:下面条件中, 不能证出RtABCRtA BC的是 (

6、A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC(C.) AB=BC , AC=AC (D.)B=B , AB=ABC 6：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使ADB CEB。BE=BDBA=BCDA=EC7：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，已知：如图，AD是是ABC 的中线，求证：的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：中线延长它一倍中线延长它一倍课堂练习课堂练习1. 1.已知已知BDBDCDCD，ABDABD

7、ACDACD，DEDE、DFDF分别分别垂直于垂直于ABAB及及ACAC交延长线于交延长线于E E、F F，求证：，求证：DEDEDFDF2.点A、F、E、C在同一直线上，AFCE，BE = DF，BEDF，求证：ABCD。证明：4. 4.已知，已知，ABCABC和和ECDECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B B，C C，D D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=ADBE=AD EDCAB证明证明： ABC和和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ ACE即即BCE=DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC

8、 BCE=DCA DC=EC ACD BCE (SAS) BE=AD EDCAB3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C顺时针旋转一定顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转10时，时， 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C顺时针旋转一定顺时针旋转一

9、定角度，以上的结论还成立吗？角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转60时，时，EDCAB 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C顺时针旋转一定顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转120时，时，EDCAB 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕

10、点绕点C顺时针旋转一定顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转180时，时，EDCAB 3.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C顺时针旋转一定顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转当顺时针旋转240时，时，EDCAB4.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，当都是等边三角形，当ABC绕绕点点C顺时针旋转顺时针旋转时，连接时，连接BE，DA；结论；结论BE

11、=AD还成立还成立吗？若成立请加以证明。吗？若成立请加以证明。EDCABEDCAB 引申：引申：.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，在一条直线上，AC与与BE相交于相交于M，CE与与AD相交于相交于N，试判定，试判定的形状的形状 EDCABMN解：解：是等边三角形是等边三角形证明：证明：（）先证（）先证ACE（）证明（）证明BCE ACDBECADC（）在证（）在证MCE NCDCM=CN5：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，1=2， 3=4，那么那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由

12、：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS) BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS) AC=AD6：如图，已知，如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。证明。FEDCBA答：答：ABC DEF证明： ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABC DEF （SAS）7：如图，已知，：如图，已知，EGAF，请你从下面三个

13、条件中，再，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：已知： EGAF 求证：求证：GFEDCBA高高8.如图，在等边如图，在等边ABC中，中，D，E，F分别为分别为AB，BC，CA上的点，（不是中点）且上的点，（不是中点）且ADBECF，图中全等三角形有那些？图中全等三角形有那些？解：共六个解：共六个AFEDCBGIH BEH CFIBH BCI CAGBE BCF CADHF BID CGEBF BCD CAE8引申

14、如图，在等边引申如图，在等边ABC中，中，D，E，F分别为分别为AB，BC，CA上的上的点，（不是中点）且点，（不是中点）且DEF也是等边三角形，图中（）除已知相也是等边三角形，图中（）除已知相等的边外，还有那些相等的线段？（）你所证明的相等的线段，等的边外，还有那些相等的线段？（）你所证明的相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程解：（）解：（）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）这些相等的线段可以看出平移）这些相等的线段可以看出平移 旋转而得到，如旋转而得到，如AE和和BF，把，把AE绕这绕这A点沿顺时针方向选旋转点沿顺时针方向选旋转，

15、再沿着再沿着AB方向平移使点方向平移使点A至点至点F即可即可得到得到BF，其余类同，其余类同AFEDCB8引申如图，在等边引申如图，在等边ABC中，中，D，E，F分别为分别为AB，BC，CA上的上的点，（不是中点）且点，（不是中点）且DEF也是等边三角形，图中（）除已知相也是等边三角形，图中（）除已知相等的边外，还有那些相等的线段？（）你所证明的相等的线段，等的边外，还有那些相等的线段？（）你所证明的相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程解：（）解：（）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）这些相等的线段可以看出平移）这些相等的线段可以看出

16、平移 旋转而得到，如旋转而得到，如AE和和BF，把，把AE绕这绕这A点沿顺时针方向选旋转点沿顺时针方向选旋转，再向下然后再向左平移使点再向下然后再向左平移使点A至点至点F即可得到即可得到BF，其余类同，其余类同AFEDCB.阅读理解阅读理解（）如果两个三角形均为直角三角形，显然它们全等（）如果两个三角形均为直角三角形，显然它们全等1阅读：阅读：我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等。等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等。（）如果两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（）如果两个三角

17、形均为钝角三角形，可证它们全等（）如果两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等（）如果两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等2证明：证明：请你从（）（）选择一个加以证明请你从（）（）选择一个加以证明（）如果两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等（）如果两个三角形均为锐角三角形，可证它们全等已知：已知：ABC和和ABC均为锐角均为锐角，且，且AB=AB，AC=AC，B=B，求证：，求证：ABC ABC，ABCDABC已知：已知：ABC和和ABC均为锐角均为锐角，且，且AB=AB，AC=AC，B=B，求证：，求证：ABC ABC，ABCDABCD 证明：分别作证明：分别作B，B两点作两点作BDCA于

18、于D，BDCA于于D，先证：先证：ABD ABD 再证：再证：ABC ABC（3）由此你得出一个什么结论：）由此你得出一个什么结论：结论：两边及其中一边的对边分别相等的两个锐角（直结论：两边及其中一边的对边分别相等的两个锐角（直角三角形或者钝角三角形）三角形是全等三角形角三角形或者钝角三角形）三角形是全等三角形10 已知命题：如图点已知命题：如图点A，D，B，E在同一条直线上，且在同一条直线上，且ADBE，A=FDE，则，则ABC DEF，判定这个命题是真命题还是假命，判定这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请加以证明；如果是假命题，请题，如果是真命题请加以证明；如果是假命题，请 添加一个

19、适当添加一个适当的条件使它称为真命题，并加以证明的条件使它称为真命题，并加以证明AFCEDB解答：题设命题是假命题；可以下解答：题设命题是假命题；可以下添加一个条件均可证明三角形全等添加一个条件均可证明三角形全等（1）当）当ACDF（）（）CBAE（）（）CF证明：略证明：略1 已知：如图线段已知：如图线段AC与与BD 相交与点相交与点O，连接，连接AB，DC，E为为OB的中点，的中点，F为为OC的中点，连接的中点，连接EF；ABCDOFE（1）添加条件）添加条件A=D，OEF=OFE，求证：，求证：ABDC（）分别将（）分别将AD记为记为；OEFOFE记为记为；AB=DC记为记为；添加条件；

20、添加条件，以，以为结论构成命题为结论构成命题1；添加条；添加条件件，以，以为结论构成命题为结论构成命题2，命题，命题1是是命题；命题命题；命题2是是命题（选命题（选“真真”或或“假假”）证明：（证明：（1）略）略（）命题（）命题1为真命题；可以为真命题；可以AAS证明；命题证明；命题2是假命题，此命是假命题，此命题的条件为题的条件为SSA，不能证明全等，不能证明全等13 已知点已知点A，E，F，C在同一条直线上，且在同一条直线上，且AECF，过，过EF两两点分别作点分别作DEAC，BFAC，且，且ABCD，（）求证：，（）求证：BD平平分分 EF（2）若将）若将DEC的边的边EC沿沿AC方向移

21、动，变化为方向移动，变化为2时，其余时，其余条件不变，上述结论是否成立，说明理由条件不变，上述结论是否成立，说明理由ADBCEFG图图1ADBCEFG图图2E证明：在证明：在DC上截取上截取DEDB，连接连接AEACDB。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BC上的高为上的高为AD，且，且B=2C求证：求证：CD=ABBD15 已知已知AFD和和CEB中，点中，点A，E，F，C在同一条直线上，有在同一条直线上，有如下四个论断：（如下四个论断：（1）ADCB（）（）AECF （3）B=D（4)AD /BC ,请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，

22、编一道数学问题，并写出解答过程。道数学问题，并写出解答过程。其中其中的组合是错误的，无法证明的组合是错误的，无法证明ABCEFD解：解：由（由（1）（）（2）（）（3）为条件（）为条件（4）为结论）为结论由（由（1）（）（2）（）（4）为条件（）为条件（3）为结论）为结论由（由（1）（）（3）（）（4）为条件（）为条件（2）为结论）为结论由（由（2）（）（3）（）（4）为条件（）为条件（1）为结论）为结论下面我们以下面我们以为例写出已知，求证，并进行证明为例写出已知，求证，并进行证明 已知：已知：AECF ，B=D，AD /BC 求证：求证：AD=BC证明：略证明：略16 在正方形在正方形AB

23、CD中，中，E是是AD是中点，是中点，F是是BA的延长线的一点，的延长线的一点，AF=AE，已知，已知ABE （）在图中可以通过平移，翻折，旋转（）在图中可以通过平移，翻折，旋转中的哪一种方法，使中的哪一种方法，使ABE变到变到的位置的位置FEDCBA（）线段（）线段BE与与DF有什么位置关系？有什么位置关系？证明你的结论证明你的结论解：图中通过绕解：图中通过绕A点按逆时针方向旋转点按逆时针方向旋转，使使ABE变到变到的位置（图）的位置（图）理由：延长理由：延长BE交交DF于点于点G，FEDCBAGABE ABE=ADF 又又AEB=DEGDGB=DABBEDF17。如图在三角形。如图在三角形

24、ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是过点是过点A的一条直线，且的一条直线，且BC两点在两点在AE的异侧，的异侧，BDAE于于D，CEAE于点于点E求证：（）求证：（）=DE +CECBAED提示证明：提示证明：ABD ACE（AAS）证明：证明：17。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是过点是过点A的一条直线，且的一条直线，且BC两点在两点在AE的异侧，的异侧，BDAE于于D，CEAE于点于点E求证：（）求证：（）=DE +CECBAED（）若直线（）若直线AE绕点绕点A旋转到右旋转到右图位置时，（图位置时，（BDCE），其余条），其余条件不变，问

25、件不变，问BD与与DE和和CE的关系的关系如何？请直接写出结果，不需证如何？请直接写出结果，不需证明明提示证明：提示证明：ABD ACE（AAS）得到）得到BD=DE-CE17。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是过点是过点A的一条直线，且的一条直线，且BC两点在两点在AE的异侧，的异侧，BDAE于于D，CEAE于点于点E求证：（）求证：（）=DE +CECBAED（）若直线（）若直线AE绕点绕点A旋转到右旋转到右图位置时，（图位置时，（BDCE），其余条），其余条件不变，问件不变，问BD与与DE和和CE的关系的关系如何？请直接写出结果，不需证如何？请直接写

26、出结果，不需证明明（）若直线（）若直线AE绕点绕点A旋转到右图位置时，（旋转到右图位置时，（BDCE），其余），其余条件不变，问条件不变，问BD与与DE和和CE的关系如何？请直接写出结果，不需的关系如何？请直接写出结果，不需证明证明提示证明：提示证明：ABD ACE（AAS）得到）得到BD=DE-CE17。如图在三角形。如图在三角形ABC中，中，BAC=90，AB=AC，AE是过点是过点A的一条直线，且的一条直线，且BC两点在两点在AE的异侧，的异侧，BDAE于于D，CEAE于点于点E求证：（）求证：（）=DE +CECBAED（）若直线（）若直线AE绕点绕点A旋转到右旋转到右图位置时，（图位

27、置时，（BDCE），其余条），其余条件不变，问件不变，问BD与与DE和和CE的关系的关系如何？请直接写出结果，不需证如何？请直接写出结果，不需证明明（）若直线（）若直线AE绕点绕点A旋转到右图位置时，（旋转到右图位置时，（BDCE），其余），其余条件不变，问条件不变，问BD与与DE和和CE的关系如何？请直接写出结果，不需的关系如何？请直接写出结果，不需证明证明（）归纳（）（）（）请用简洁的语言表达（）归纳（）（）（）请用简洁的语言表达BD，DE和和CE的关系的关系归纳：当归纳：当B，C在在AE的异侧时，的异侧时，BDDE+CE； 当当B，C在在AE的同侧时，的同侧时，BD=DE-CE拓展题拓展

28、题1.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEFBCAFED2.已知AB=AE,AC=AD,ACAD,ABAE;ECAB21D(2)怎样变换ABC和AED中的一个位置,可使它们重合?(3)观察ABC和AED中对应边有怎样的位置关系?(4)试证EDBC(1)观察图中有没有全等三角形?3.如图如图,已知已知ACBD，EA、EB分别平分分别平分CAB和和DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请相等吗？请说明理由。说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线两条线段的和与一条线段相等段相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取

29、长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩余，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。的线段与另一条线段相等。2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）线段和（差），延长线段和（差），延长（截取）证相等（截取）证相等4.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1） ；（2） ；?4?3