第六章定积分应用

1、第六章定积分应用定积分的几何定积分的几何应用应用平面图形的面积体积平面曲线的弧长xy第三节第三节 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用定积分物理应用之一变力沿直线作功问题从物理学知道，若物体在作直线运动过程F中受常力 作用从a移至b（力的方向与物体运动方向一致），力对物体所作的功为问题的提出：问题的提出：ab)(abFWF若若 为变力，力对为变力，力对物体所作的功物体所作的功W=？F解解:在上述移动过程中，电场例例1带电量为q0与q1的正电荷分别放在空间两点，求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作的功。 如图建立坐标系： aborq0 q1对q1作用力是变化的。(i)取r为积分变量

2、，则,bar(ii)相应于a,b上任一小区间r,r+dr 的功元素drrqqkdrFdW210(iii)所求功drrqqkWba210)11(10baqkqbarqkq)1(10解解:等温条件下，压强p与体积V的乘积为常数，即 pV=k 而 F=pS例例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等温条件下，由于气体膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S）从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作的功。 如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。 ab注意到气体膨胀过程中注意到气体膨胀过程中V V= =V V( (x x) )即即F F= =F F( (x x),),故采用元素法。故采用元素法

3、。(i)取x为积分变量，则,bax(ii)相应于a,b上任一小区间x,x+dx 的功元素(iii)所求功dxxkWbaabklnbaxklnoxx x+dxpSdxSdxVkSdxxSkdxxkdxFdW解解:如图选取x轴。 (i)取x为积分变量，则5 , 0 x(ii)相应于0,5上任一小区间x,x+dx 的一薄层水的重力为 (iii)所求功dxxW502 .88)(3462 kJ50222 .88xxdx238 .9xdx2 .88xVdW例例3一圆柱形的储水桶高5米，底圆半径3米，桶内盛满了水。问把桶内的水全部吸出需作多少功？（水的比重为 ）3/8 . 9mkNdxV23这薄层水吸出桶外

4、需作之功近似为x3m5moxx+dx解解:如图建立坐标系。 (i)取x为积分变量，则,rrx(iii)所求功dxxrxrWrr)(22434r(ii)相应于小区间x,x+dx ，对应薄片由A升至B在水中行程为 r+x,在水上的行程为2r-(r+x)=r-x 。 )()(2dxxyxrdW思考练习思考练习半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同。欲将球从水中取出，需作多少功？（水的比重为） 由于球的比重与水相同，薄片所受浮力与重力合力为零，不作功 ，由水面再上升到B时需作功，即功元素 yxorAB2rdxxrxr)(22定积分物理应用之二水 压 力从物理学知道，在水深为h处的压

5、强为问题的提出：问题的提出：ApP若平板铅直放置在若平板铅直放置在水中，平板一侧所水中，平板一侧所受的水压力受的水压力P=？p=h（为水的比重）。xhA 因此，一面积为A的平板水平放置在水深为h处时，其一侧所受的水压力为定积分元素法问题的解决方法：问题的解决方法：dxxxfdP)(设平板铅直位于液体中形状如图。 距离液面x、高为dx、宽为f(x) 的矩形平板所受压力的近似值，即压力元素为以液面为y轴，x轴铅直向下。xyoaby=f(x)dxxxfPba)(所求压力xx+dx（为液体比重）解解:依题意，如图建立坐标系。则端面周界方程为： (i)取x为积分变量，则, 0Rx(iii)所求压力dxx

6、RxPR0222323R(ii)相应于0,R上任一小区间x,x+dx 的窄条上各点压强 x dxxR222)0 (222RxRyxdxxRxdP222例例4一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水（如图1）。设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一个端面上所受的压力。xx+dxxyoR，窄条面积近似于 ，即压力元素为解解:如图建立坐标系,则腰OB的方程为： (i)取x为积分变量，则6 , 0 x(iii)所求压力dxxxP60) 3(34)(65. 1N(ii)相应于0,6上任一小区间x,x+dx 的窄条上各点压强 ) 3( xdxx)32(2 xy32dxxxdP)3(34例例5一个底为8cm

7、，高为6cm的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm，试求它每面所受的压力（水的比重为）。 窄条面积 压力元素xyoAB(6,4)xx+dx解解:如图建立坐标系。 (i)取x为积分变量，则sin,bhhx(iii)所求压力dxxPbhhasinsin)sin2(2bhah(ii)相应于小区间x,x+dx ，对应薄板的宽为 sindxsindxaxdP思考练习思考练习边长为a和b的矩形薄板，与液面成角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深h处，设ab，液体的比重为，试求薄板每面所受的压力。 ，窄条面积为 压力元素xyosindxa ahsinbhdx定积分物理

8、应用之三引 力 从物理学知道，质量分别为m1、m2，相距为r的两质点间的引力大小为问题的提出：问题的提出：221rmmGF 其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线。oxrm1 m2 如何计算一根如何计算一根细棒对一个质点的细棒对一个质点的引力引力F=？解解:例例6设有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m 的质点M。试计算该棒对质点M的引力。 如图建立坐标系： (i)取y为积分变量，则2,2lly(ii)相应于sin,cos,22yadymGdFdFFdyx(iii)引力dyyaayamGFllx22222222412laalGmoxMy2l2l2,2ll上任一小区间y,y+dy 的引力元素yy+dyradyyayyamGFlly2222220解解:练习练习设有一半径为R、中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数。在圆心处有一质量为m 的质点M。试求这