选修4-4第一讲简单曲线的极坐标方程2.直线的极坐标方程

1、选修选修4 44 4坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第一讲第一讲 坐标系坐标系三三. . 简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程1. 圆的极坐标方程圆的极坐标方程曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程 一、定义：一、定义：如果曲线如果曲线C上的点与方程上的点与方程f( , )=0有如下关系有如下关系 (1) 曲线曲线C上任一点的坐标上任一点的坐标(所有坐标所有坐标中至少有一个中至少有一个)符合方程符合方程f( , )=0； (2) 方程方程f( , )=0的所有解为坐标的的所有解为坐标的点都在曲线点都在曲线C上。上。 则曲线则曲线C的方程是的方程是f( , )=0。 探究探究1 如图，半径为如图

2、，半径为a的圆的圆的圆的圆心坐标为心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标表示圆上任意一点的极坐标( , )满足满足的条件？的条件？xC(a,0)O 探究探究1 如图，半径为如图，半径为a的圆的圆的圆的圆心坐标为心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标表示圆上任意一点的极坐标( , )满足满足的条件？的条件？MxC(a,0)O 探究探究2 如图，半径为如图，半径为a的圆的圆的圆的圆心坐标为心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标式表示圆上任意一点的极坐标( , )满满足的

3、条件？足的条件？xC(a, 0)O 探究探究2 如图，半径为如图，半径为a的圆的圆的圆的圆心坐标为心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标式表示圆上任意一点的极坐标( , )满满足的条件？足的条件？MxC(a, 0)O 例例1 已知圆已知圆O的半径为的半径为r，建立怎，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？简单？题组练习题组练习1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点，半径为中心在极点，半径为2；(2)中心在中心在C(a,0)，半径为，半径为a；(3)中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a

4、；题组练习题组练习1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点，半径为中心在极点，半径为2； =2(2)中心在中心在C(a,0)，半径为，半径为a；(3)中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a；题组练习题组练习1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点，半径为中心在极点，半径为2； =2(2)中心在中心在C(a,0)，半径为，半径为a； =2acos (3)中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a；题组练习题组练习1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点，半径为中心在极点，半径为2； =2(2)中心在中心在C(a,0)，半径为，半径为a

5、； =2acos (3)中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a； =2asin 题组练习题组练习1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点，半径为中心在极点，半径为2； =2(2)中心在中心在C(a,0)，半径为，半径为a； =2acos (3)中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a； =2asin 练习练习2 极坐标方程分别是极坐标方程分别是=cos和和=sin的两个圆的圆心距是多少的两个圆的圆心距是多少? 练习练习2 极坐标方程分别是极坐标方程分别是=cos和和=sin的两个圆的圆心距是多少的两个圆的圆心距是多少?22 练习练习3 以极坐标系中的点以极坐标系中的

6、点(1,1)为圆为圆心，心，1为半径的圆的方程是为半径的圆的方程是)1sin(2.)1cos(2.)4sin(2.)4cos(2. DCBA 练习练习3 以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆为圆心，心，1为半径的圆的方程是为半径的圆的方程是)1sin(2.)1cos(2.)4sin(2.)4cos(2. DCBAC *小结小结*1. 曲线的极坐标方程概念曲线的极坐标方程概念2. 怎样求曲线的极坐标方程怎样求曲线的极坐标方程3. 圆的极坐标方程圆的极坐标方程在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：1 1、根据题意画出草图、根据题意画出草图( (包括极坐标建系

7、包括极坐标建系) )；2 2、设设P P(，) 为所求曲线上的任意一点；为所求曲线上的任意一点；3 3、连结、连结OPOP，寻找寻找OPOP满足的几何条件；满足的几何条件；4 4、依照、依照几何条件几何条件列出关于列出关于，的的方程并化简方程并化简；5 5、检验检验并确定所得方程即为所求。并确定所得方程即为所求。探究探究: :直线的极坐标方程直线的极坐标方程 思考思考1 1：如图，过极点作射线：如图，过极点作射线OMOM，若从极轴到射线，若从极轴到射线OMOM的最小正角为的最小正角为45450 0，则射线，则射线OMOM的极坐标方程是什的极坐标方程是什么？过极点作射线么？过极点作射线OMOM的

8、反向延长线的反向延长线ONON，则射线，则射线ONON的极坐标方程是什么？直线的极坐标方程是什么？直线MNMN的极坐标方程是什的极坐标方程是什么？么？ M M4545x xO ON N射线射线OMOM： ； 4射线射线ONON： ；544和和54思考思考2 2：若若0 0，则规定点，则规定点(，) )与点与点( (，) )关于极点对称，则上述直线关于极点对称，则上述直线MNMN的极坐标方程是的极坐标方程是什么？什么？M M4545x xO ON N()4R或或5()4R 和前面的直角坐标系里和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很极

9、坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？成。原因在哪？0 可以考虑允许极径可以取全体实数。可以考虑允许极径可以取全体实数。思考：思考：设点设点P P的极坐标为的极坐标为A A ，直线，直线 过点过点P P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 , ,求直线求直线 的极坐标方的极坐标方程。程。 ( ,0)a ll解：如图，设点解：如图，设点( , )M 为直线为直线 上异于上异于P P的点的点l连接连接OMOM， oMx p在在 中有中有 MOP sin()sin()a 即即sin()sina显然显然P P点也满足上点也满足上方程。方程。探究：探究

10、：过点过点A(A(a a，0)(0)(a a0)0)，且垂直于极轴的直线，且垂直于极轴的直线l l的极坐标方程是什么？的极坐标方程是什么？M M当当a a0 0时，时，coscosa a； x xO OA Ax xO OA AM M当当a a0 0时，时，coscosa a. .求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1 1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2 2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；( , )M 3 3、连接、连接MOMO；4 4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，程，并化简；并化简；, 5 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检

11、验并确认所得的方程即为所求。(2,)4A 变变题题、求求过过点点平平行行于于极极轴轴的的直直线线。OBAM( ， )( , )MlA 解解：如如图图，设设是是直直线线 上上除除点点 外外的的任任意意一一点点(2,)2 sin244AMBsin ,sin2Rt OMBMBOM在在中中，即即sin2 故故所所求求直直线线方方程程为为x(2,)4A 可可以以验验证证，点点 的的坐坐标标满满足足上上式式，思考思考4：设点设点P P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 , ,求直线求直线 的极坐标方的极坐标方程。程。 11(,) lloxMP 1 1 解

12、：如图，设点解：如图，设点( , )M 点点P P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OMOM为直线上除为直线上除则则 由点由点P P的极坐标知的极坐标知 ,OMxOM1OP 1xOP 设直线设直线L L与极轴交于点与极轴交于点A A。则在。则在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin() 11sin()sin()显然点显然点P P的坐标也的坐标也是它的解。是它的解。练习：1.1.在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程：的极坐标方程：（1 1）过极点倾斜角是）过极点倾斜角是 的直线；的直线；3（2 2）过极点（

13、）过极点（2 2， ），并且和极轴垂直的直线；），并且和极轴垂直的直线；3（3 3）圆心在）圆心在A A（1 1， ），半径为），半径为1 1的圆；的圆；4（4 4）圆心在（）圆心在（a a， ），半径为），半径为a a的圆。的圆。32.sin2) 3();(65)2(; 5) 1 (R*练习练习*6.6.说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图. .7.7.把下列直角坐标方程化成极坐标方程：把下列直角坐标方程化成极坐标方程：.16)4(; 0132)3(; 02)2(; 4) 1 (22yxyxyx.sin4cos2)4(;cos10)3(; 04)sin5cos2()2(; 2sin) 1 (8