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1、第十章双线函数(1)()( )( )fff (2)()( )f kkf 设设V是数域是数域 P上的线性空间，映射上的线性空间，映射 ，若满足：若满足：:f VP,V kP 则称则称 为为V上的一个线性函数上的一个线性函数.f1.(0)0,()( )fff 2. 若若 ， 则则 1122sskkk1122()()()()ssfk fk fk f 3.设设 为一个线性函数，为一个线性函数， 为为:f VP12,n V1 122,nnVkkk (),1,2,iifa in 的一组基，的一组基，1122( )()()()nnfk fk fk f 则则1122nnk ak ak a 即即 可由可由 的基

2、的象确定的基的象确定. fV反之，设反之，设 是是P中任意中任意 个确定的数，个确定的数，12,na aan而而 为发为发V的一组基的一组基.12,n 则则 为线性函数，且为线性函数，且:f VP1 122,nnVkkk 1( ),niiifk a 令令(),1,2,iifa in 是是 到到 P的一个线性函数的一个线性函数.nP例例1. 设设1212,(,)nnna aaPx xxP 1( )niifa 则则三、例题讲析三、例题讲析例例2.设设 是数域是数域 上的线性空间，上的线性空间， 为为 的的P12,n VV一组基，一组基， 是是 上的一个线性函上的一个线性函数，已知数，已知 fV13

3、2312()1,(2)1,()3fff 求求1 12233().f xxx 解：解： 132312()()1()2 ()1()()3ffffff 1 12233123()473.f xxxxxx 所以所以 123()4()7()3fff 设设V为数域为数域 P上的一个上的一个n 维线性空间，维线性空间， 1,2, .iifain ，为为V的一组基，的一组基，12,n 为为 P中中12,na aa任意任意n 个数个数. 则存在唯一的则存在唯一的V上线性函数上线性函数 f 使使四、结论四、结论证明：映射证明：映射 ，:f VP112233112233xxxx ax ax a 即为即为 上的线性函数，且上的线性函数，且 V(),1,2,iifa in 若还有若还有 是是 上线性函数使上线性函数使gV(),1,2, ,iiga in 则则 有有1 12233,xxxV1122( )()()()nngx gx gx g 1122()()()nnx fx fx f fg 1 122nnx ax ax a1 122()( )nnf xxxf ()n nijAaP 1()niiif AtraceAa 1、 设设 ，证明，证明是是到到 的一个线性函数的一个线性函数.n nP P 2、 是数域是数域 上的上的3维线性空间，维线性空间， 是

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