平面汇交力系

1、第 2 章 平面汇交力系2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法F2F1Fno平面汇交力系的定义： 各力的作用线在同一平面且相交于一点的力系。如图所示。本章研究的两个问题：平面汇交力系的简化和平面汇交力系的平衡。几何法和解析法。研究方法：2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法F1F2F3o1. 力系的合成FR=F1+F2+F3FR=F1+F2+Fn （注意：矢量首尾相连）（力系合成满足交换律）F1F2F3FR力多边形F2F3F4F1F1F2F3F42. 平衡平衡平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零，即(1) FR=0 ;(2) 在几何法中，合力为零即为力多边

2、形自行封闭。3. 三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理 若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的作用线相交于一点，则三个力的作用线必汇交于同一点，而且共面。画图示简支梁的受力图。例 题 2- 1FAB2m3mCFCBFRAFRBA 水平梁水平梁AB中点中点C作用着力作用着力F，其大小等于，其大小等于2 kN，方，方向与梁的轴线成向与梁的轴线成60角，支承情况如图角，支承情况如图(a) 所示，试求所示，试求固定铰链支座固定铰链支座A和活动铰链支座和活动铰链支座B的约束力。梁的自的约束力。梁的自重不计。重不计。 6030aa图 (a)例 题 2- 2EFFBFA6030HK 解：1. 取梁AB作为研究

3、对象。 FA = F cos30=17.3 kN FB = F sin30=10 kN2. 画出受力图。3. 作出相应的力三角形。FBFADC6030FBA4. 由力多边形解出：例 题 2- 22-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法1. 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影yxOABab图a平行光线照射下物体的影子yxOBAabFFxFyFxFyb1a1图b力在坐标轴上的投影由图b知，若已知力F 的大小F 和其与x轴、y轴的夹角为a、b，则a ab bsincosFFFy a acosFFx 图b力在坐标轴上的投影yxOBAabFFxFyFxFyb1a1ab即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力

4、与该轴的正向间夹角的余弦。当a、b为锐角时，Fx、Fy均为正值；当a、b为钝角时，Fx、Fy为负值。故力在坐标轴上的投影是个代数量。 而如将力F沿正交的x、y坐标轴方向分解（图b），则所得分力Fx 、F y 的大小与力F在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。但是当Ox、Oy两轴不正交时，则没有这个关系。图b力在坐标轴上的投影yxOBAabFFxFyFxFyb1a1ab式中cosa 和cosb 称为力F 的方向余弦。注意:力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。22yxFFF 22cosyxxFFF a a22cosyxyFFF b b图b力在坐标轴上的

5、投影yxOBAabFFxFyFxFyb1a1ab2. 合力投影定理合力投影定理合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。nynxyxxyyyFxxxFyyFxxFacF,bcx,abx 21R21R21R21RR21OxyF1F2FRabcABC3. 合成2R2RRyxFFF xRRtanFFyayyxxFFFF RRxOyFRxFR yFRF1F2Fna4. 平衡02R2RR yxFFFxOyFRxFR yFRF1F2FnyyxxFFFF RR则 Fx=0 ， Fy=0 由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零，即 FR= 0 xOyFRxFR yFRF1F

6、2Fn0)()(22yFxF即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影之代数和均等于零。由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。Fx=0 ， Fy=0 xOyFRxFR yFRF1F2Fn 重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，AB、BC杆的内力。例 题 2- 3ABC6045。(a)本题中取谁作为研究对象比较方便？Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0FAB=880 N， FC

7、B=71.8 N。 解：取铰B为研究对象，其上作用有三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力）及AB杆的约束力FAB（设为压力），坐标轴如图(b)所示，列出平衡方程联立上述两方程，解得：例 题 2- 3yxBmgFCB30。FAB45。(b)由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设的方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与原假定的方向相反。例题 2- 3yxBmgFCB30。FAB45。(b)ABC6045。(a)OPFTFNxyFx=0, FT-P sin30 =0。(c)可求得FT为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个

8、未知力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为零，这个投影方程就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中 (b) 这样建立坐标系FT 和FN相互耦合OPFTFNxy注意：30。OP(a) 如图所示，重物P=20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。3060例 题 2- 4列平衡方程060cos30cos, 0030cos60cos, 02121 F FFF F FFFBCyABx解方程得杆AB和BC所受的力:kN32.27366. 1kN321. 7366. 0 PF PFBCAB 解：取滑轮B与销钉组成的整体为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。30603060显然，F1=F2=P例 题 2-4求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：(1)弄清题意，明确已知量和待求量；(2)恰当选取研究对象，明确所研究的物体；(3)正确画出研究对象的受力图（主动力，约束力，二力构件，三力汇交平衡）；(4)合理选取坐标系，列平衡方程求解；(5)对结果