第五章 速度运动学

1、机器人原理与应用机器人原理与应用2022-4-261徐心和 郝丽娜 丛德宏东北大学人工智能与机器人研究所第五章 速度运动学 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-262本章将进一步讨论运动的几何学及与时间有关的量，本章将进一步讨论运动的几何学及与时间有关的量，即讨论机器人的速度运动学问题。即讨论机器人的速度运动学问题。速度运动学问题重要是因为操作机不仅需要达到某个速度运动学问题重要是因为操作机不仅需要达到某个（或一系列的）位置，而且常需要它按给定的速度达（或一系列的）位置，而且常需要它按给定的速度达到这些位置。到这些位置。主要内容：主要内容： 5.1 5.1 操作机的微分移动操作机的

2、微分移动 5.2 5.2 微分转动的两个定理微分转动的两个定理 5.3 5.3 微分算子微分算子 5.4 5.4 雅可比矩阵及其变换雅可比矩阵及其变换 5.5 5.5 雅可比矩阵的力学意义雅可比矩阵的力学意义 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-2635.1 操作机的微分移动操作机的微分移动 所谓微分运动指的是无限小的运动，即无限小的移动和所谓微分运动指的是无限小的运动，即无限小的移动和无限小的转动。它既可以用指定的当前坐标系来描述，也可无限小的转动。它既可以用指定的当前坐标系来描述，也可以用基础坐标系来描述。以用基础坐标系来描述。 对于微分移动（平动）的齐次变换矩阵对于微分移动（

3、平动）的齐次变换矩阵T可表示为可表示为 1000100010001),(dzdydxdzdydxTrans式中式中 是微分位移矢量在基础坐标系或当前坐标系的是微分位移矢量在基础坐标系或当前坐标系的分量。分量。 dzdydx, 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-2645.2 微分转动的两个定理微分转动的两个定理 若绕若绕x轴转微小轴转微小 角表示为角表示为 ，并考虑，并考虑， 则对则对x,y,zx,y,z多轴多轴微分转动的齐次变换矩阵微分转动的齐次变换矩阵R R应该有如下形式：应该有如下形式： xxx sin1cos x100001 00 100001),(xxxxRot10000

4、10 00100 01),(yyyyRot10000100001 00 1),(zzzzRot 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-265100001 0 1 0 1),(),(),(xyxzyzyxzzxyzyxzyxzRotyRotxRot100001 0 1 0 1xyxzyz上面的近似等式上面的近似等式是在略去二阶与三阶无穷小量的条件下获得的。是在略去二阶与三阶无穷小量的条件下获得的。 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-266定理定理1 1 绕任意单位向量绕任意单位向量 转动转动 的微分转动等的微分转动等效于绕轴效于绕轴x，y，z的的3个微分转动个微分转动 ，

5、 ， ，并有并有TzyxKKKK,_xyzxxKyyKzzK于是总的转动微分于是总的转动微分 可由如下的齐次矩阵描述可由如下的齐次矩阵描述),(KRot),(),(),(),(zyxzRotyRotxRotKRot1000 1 01xyxzyzKKKKKK 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-267证明证明：取以下的两个相继微分转动，则有取以下的两个相继微分转动，则有 1000010 00100 01100001 00 100001),(),(yyxxyxyRotxRot100001 0 100 1xyxyyx100001 0 1 0 01),(),(xyxyxyxyxRotyRo

6、t略去二阶无穷小量后得：略去二阶无穷小量后得： ),(),(),(),(xyyxxRotyRotyRotxRot定理定理2 微分转动与微分转动的次序无关微分转动与微分转动的次序无关 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-2685.3 微分算子微分算子 已知坐标系下操作机的手部位姿可用齐次矩阵已知坐标系下操作机的手部位姿可用齐次矩阵T来描述，来描述，经过微分运动后变为经过微分运动后变为T+dT。应用相对于基础坐标系的左乘法。应用相对于基础坐标系的左乘法则，则，T+dT可以表示为：可以表示为： TdKRotdzdydxTransdTT),(),(TIdKRotdzdydxTransdT)

7、,(),(得得定义微分算子定义微分算子 IdKRotdzdydxTrans),(),(000 - 0 0 0 - 0 xyxzyzdzdydxTdT得得 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-269例例：设操作机的位姿为设操作机的位姿为 ，求先实施转动求先实施转动 ，再实施移动，再实施移动 的微分运的微分运动动dT，以及其后操作机的新位姿，以及其后操作机的新位姿T+dT。1000001020015100T) 1 . 0 ,(xRot)5 . 0 , 0 , 1 (Trans 解：解：由于由于 =0.1，dx=1； =0，dy=0； =0，dz=0.5xyz00005 . 001 .

8、0001 . 0001000由定义式得：由定义式得： 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-2610100000102001510000005 . 001 . 0001 . 0001000TdT00007 . 0001 . 0001 . 001000则则操作机实施微分运动后的新位姿为：操作机实施微分运动后的新位姿为： 00007 . 0001 . 0001 . 0010001000001020015100dTT10007 . 0011 . 0201 . 016100 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-26115.4 雅可比矩阵及其变换雅可比矩阵及其变换 5.4.1 雅可

9、比矩阵雅可比矩阵 dtdJdtdrTfJ),( 即为著名的雅可比矩阵。通过即为著名的雅可比矩阵。通过 可以实现从关节速度可以实现从关节速度到基坐标速度的变换。到基坐标速度的变换。 JJ 考虑操作机的手爪位姿考虑操作机的手爪位姿 r 和关节变量和关节变量 的关系用正运动的关系用正运动学方程学方程 表示的情况。表示的情况。 )(fr 对于对于6 关节的操作机关节的操作机 ，有有 ， ).,(62111fr ).,(62166fr )(fr 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-2612展开为：展开为： 66661612111ijJffffffJjiijfJ同样对于同样对于mn维的空间的机

10、器人，其雅可比矩阵维的空间的机器人，其雅可比矩阵 nmijnmmmnJffffffJ112111 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-2613雅可比矩阵的一般形式：雅可比矩阵的一般形式： n一般地一般地,对于对于n个自由度的机械手末端手爪的角速度和线速个自由度的机械手末端手爪的角速度和线速度，在基坐标系中的描述记为度，在基坐标系中的描述记为 , 。如果写成一个向量。如果写成一个向量kkkkx具体的推导结果可表示为一个雅可比矩阵形式具体的推导结果可表示为一个雅可比矩阵形式)(Jx其中其中,为为n1的机械手关节的机械手关节(旋转或平移关节旋转或平移关节)的位移向量。的位移向量。 雅可比

11、矩阵雅可比矩阵J()表明了机械手关节速度与末端表明了机械手关节速度与末端(手爪手爪)直角直角坐标速度之间的线性变换关系。坐标速度之间的线性变换关系。 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-26145.4.2 雅可比逆矩阵雅可比逆矩阵当机械手有六个自由度时当机械手有六个自由度时, , 雅可比矩阵雅可比矩阵J J()()为为6 66 6方阵。如果方阵。如果J J()()可逆可逆, ,那末只要给定机械手末端的直角坐标速度那末只要给定机械手末端的直角坐标速度, ,就可以求就可以求得相应的关节速度得相应的关节速度xJ)(1 但是但是, , 雅可比矩阵雅可比矩阵J()J()是随着机械手的形态变化

12、的是随着机械手的形态变化的, ,某些形态某些形态下的下的值就可能使值就可能使J()J()成为奇异成为奇异, ,这时的机械手末端位置称之为机这时的机械手末端位置称之为机械手的奇异点。械手的奇异点。 当机械手处于奇异形态时当机械手处于奇异形态时, ,它在直角坐标空间的自由度就有所它在直角坐标空间的自由度就有所减少减少, ,这意味着在直角坐标空间的某些方向上这意味着在直角坐标空间的某些方向上, ,无论选取什么样的关无论选取什么样的关节速度节速度, ,机械手都不能沿着那些方向运动。奇异点可能处于机械手机械手都不能沿着那些方向运动。奇异点可能处于机械手工作空间的边界或工作空间内部。工作空间的边界或工作空

13、间内部。 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-26155.4.3 操作机的雅可比矩阵及其逆矩阵操作机的雅可比矩阵及其逆矩阵 r对于对于 操作机操作机 r根据雅可比矩阵的定义根据雅可比矩阵的定义式有：式有：rJyxsincosryrxcossinsincosrrJ则则rrryxcossinsincos 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-2616由由 操作机几何关系得：操作机几何关系得： r222yxr对对 t 求导得求导得 yryxrxrxytg另外，有另外，有xrcos1sec对对 t 求导得求导得 yrxxryyxrxxxrxy22222221yxrxryryrxr

14、22221rxryryrxJ则则求雅可比逆矩阵求雅可比逆矩阵 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-26172L1LYXo1221112211sLsLycLcLx解：解：1222122111122212211,cLycLcLysLxsLsLx1221221112212211cLcLcLsLsLsLJ得得例例5-1 试求图所示的试求图所示的2自由度机械手的雅可比矩阵自由度机械手的雅可比矩阵 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-26185.4.4 雅可比矩阵的物理意义雅可比矩阵的物理意义 11J22Jr YX121L2L1 ,EP2,EP关节关节1关节关节2 和和 分别为分别

15、为 和和 反反时针转动时针转动 而成。而成。 将雅可比矩阵定义为列向量将雅可比矩阵定义为列向量 21,JJJ 12RJi以上述例题为例：以上述例题为例： 2211JJr有有1J2J1EP2EP2如何验证？如何验证？ 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-2619解：解：已知已知 ，则，则 ，又知，又知 ，则由已知矩阵式可知，则由已知矩阵式可知 1y0y 1x 1222xxxyxxxrxr112222xxyxyxry分析分析：当当x0时时, 。又因为已假设了。又因为已假设了y1，以以致致 ，即操作机手臂长度不为零，上式分母不为零，不，即操作机手臂长度不为零，上式分母不为零，不会出现奇异

16、问题。会出现奇异问题。1max0r例例5-2：已知：已知： ，当手部沿着，当手部沿着y=1的直线以均速的直线以均速 运动，试将运动，试将 ， 表示为表示为 x 的函数的函数 。yxrxryryrxr22r 1x 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-2620（1）对于）对于 ，当，当 r 趋于趋于 0 时，时， 操作机出现奇异问题。操作机出现奇异问题。此时操作机失控，即遇到速度趋于无穷大的困难。此时，此时操作机失控，即遇到速度趋于无穷大的困难。此时， 若若 或或 为有限值时，为有限值时， 和和 趋于无穷大。事实上趋于无穷大。事实上 的条件是很容易辨别和避免的的条件是很容易辨别和避免的

17、；1Jrx y r 0r（2）由以上）由以上 操作机的雅可比矩阵及其逆阵的推导操作机的雅可比矩阵及其逆阵的推导可以看出，当操作机具有可以看出，当操作机具有6关节时，雅可比矩阵的推导将关节时，雅可比矩阵的推导将会更加复杂。会更加复杂。r由以上分析可以得出两点结论由以上分析可以得出两点结论： 第五章第五章 速度运动学速度运动学2022-4-26215.5 雅可比矩阵的力学意义雅可比矩阵的力学意义类似于速度的雅可比矩阵形式类似于速度的雅可比矩阵形式, ,我们也可以得到一个我们也可以得到一个力域中的雅可比矩阵形式力域中的雅可比矩阵形式, ,而且可以证明而且可以证明, ,在此在此, ,速度速度雅可比矩阵是以转置的形式出现的雅可比矩阵是以转置的形式出现的)(TJ其中其中, 为为n1向量向量,表示表示n个关节上的平衡力个关节上的平衡力/平衡力矩平衡力矩,而而 为作用在手爪上的直角坐标力为作用在手爪上的直角坐标力/力矩形成的力矩形成的61向向量。因此量。因此, 实际上实际上 表示把手爪上的直角坐标力表示把手爪上的直角坐标力/力矩映射为等价的关节力力矩映