静力学的基本概念和公理

1、 设动点设动点M在圆盘上半径是在圆盘上半径是r的圆槽内相对于圆盘以的圆槽内相对于圆盘以大小不变的速度大小不变的速度vr作圆周运动，同时，圆盘以匀角速作圆周运动，同时，圆盘以匀角速度度绕定轴绕定轴O转动，求转动，求M点牵连、相对、绝对加速度。点牵连、相对、绝对加速度。引引 例例vr动系动系固连于圆盘上固连于圆盘上动点动点 M点点解：ve相对速度相对速度 vr=const牵连速度牵连速度 verOM7474 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理动系动系固连于圆盘上动点动点 M点verreavvv应用速度合成定理var+vr=常量ae = aen，ar = a

2、rn ，aa = aan，ae = aen = ve2 /r= r 2ar = arn = vr2 /raa = aan = va2 /r= (r + vr)2 /raa = vr2 /r + r 2 + 2vr所以M点的绝对运动为沿槽匀速圆周运动 。加速度分析Ovr=const可得所以aa=vr2 /r + r 2 + 2vr 由此可见，在此实例中，点由此可见，在此实例中，点M的绝对加速度的绝对加速度aa并不等于其牵连加并不等于其牵连加速度（大小速度（大小r2）与相对加速度（）与相对加速度（大小大小 ）的矢量和。这里增加了）的矢量和。这里增加了一项一项2vr称为称为科氏加速度科氏加速度，用，

3、用aC表表示。示。rv2r即：即：当牵连运动是定轴转动时，动点的当牵连运动是定轴转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度与相对绝对加速度并不等于牵连加速度与相对加速度之矢量和加速度之矢量和。O如图所示，Oxyz为定参考系，Ox yz为动参考系。动系坐标原点O 在定系中的矢径为rO ，动系的三个单位矢量分别为i、j、k 。动点M在定系中的矢径为rM ，在动系中的矢径为r。牵连点（动系上与动点重合的点）为M，它在定系中的矢径为rM 。动系Oxyz 以角速度 e绕 z 轴转动。 e1.1.牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理显然kjirrrr zyxOM动点

4、的绝对速度动点的绝对速度va 为为1)-(8 kjikjirrv zyxzyxOMa2)-(8 ddrkjirvzyxt3)-(8 ddekjirrvzyxtOM牵连点牵连点M 的速度的速度为为动点的相对速度动点的相对速度vr为为动点的相对加速度为动点的相对加速度为5)-(8 dd22rkjirazyxt 动点的牵连加速度为动点的牵连加速度为6)-(8 dd22ekjirra zyxtOM)(2 akjikjikjirra zyxzyxzyxOM动点的绝对加速度为动点的绝对加速度为(8-4)动点的相对加速度为5)-(8 dd22rkjirazyxt 动点的牵连加速度为6)-(8 dd22ekj

5、irra zyxtOM)(2 akjikjikjirra zyxzyxzyxOM动点的绝对加速度为(8-4)请大家比较以上三式：a2()reaaaxyz ijkiit ddjjt ddkkt dd泊松公式reeeee2 2 )()()(2)(2vkjikjikji zyxzyxzyx由此可得由此可得arecaaaa2()areaaax iy jz k 2()2erx iy jz kv 2cerav上式右端的最后一项称为上式右端的最后一项称为科氏加速度科氏加速度，并用，并用 表示，即表示，即caarecaaaa2cerav令牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理牵连运动是定轴转动时点的加速度合成

6、定理当牵连运动是定轴转动时，动点在每一瞬时的绝对加速度，等当牵连运动是定轴转动时，动点在每一瞬时的绝对加速度，等于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。科氏加速度是于科氏加速度是于1832年由年由法国工程师科里奥利在研法国工程师科里奥利在研究机械理论时发现的，因究机械理论时发现的，因此命名科里奥利加速度，此命名科里奥利加速度，简称科氏加速度。简称科氏加速度。2CeravCarvrnvrv2. 2. 科氏加速度科氏加速度2sinCerav(2) 的大小：的大小：Ca 的方向：的方向：Ca(1) 科氏加速度是牵连转动（科氏加速度是

7、牵连转动（ ）和相对运动（）和相对运动（ ）相互影响）相互影响的结果。的结果。erv(3) 在一些特殊情况下科氏加速度在一些特殊情况下科氏加速度aC等于零：等于零： 的瞬时；的瞬时； 的瞬时；的瞬时； 的瞬时。的瞬时。/erv0e0rv 垂直于垂直于 与与 所确定的平面，由右手规则确定。所确定的平面，由右手规则确定。rvaeraaa即为动系作平动时点的加速度合成定理。因此，当牵连运动为平动时( )，有0et 瞬时在位置t+Dt 瞬时在位置II可以看出，经过Dt 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。 设有已知杆AB在图示平面内绕轴A匀速转动，套筒M（可视为点M）沿直杆AB运动。取套

8、筒取套筒M为动点，动系为动点，动系固结于杆固结于杆AB上。上。下面通过一实例来说明科氏加速度是怎样由牵连运动与相对运动的相互影响而产生的。evrvarevvvevrvarevvv3. 3. 科氏加速度的产生分析科氏加速度的产生分析1rv加速度分析加速度分析: 根据加速度定义根据加速度定义00()()limlimaaererattvvvvvvattD D DD00limlimeerrttvvvvttD D DD0limeeetvvatD D因为因为 是动系上两个不同点（是动系上两个不同点（ 和和 ）分别在瞬时）分别在瞬时 与瞬与瞬时时 t 的速度差，而不是瞬时的速度差，而不是瞬时 t 动系上与动

9、点的重合点动系上与动点的重合点 M 分别在瞬时分别在瞬时 与瞬时与瞬时 t 的速度差的速度差 。 ttD()eevv MMttD1()eevv10limeeetvvatD D经过经过 时间，牵连点由时间，牵连点由 M 位置运动到位置运动到 M1 位置，牵连速度由位置，牵连速度由 变为变为 ：tDev1ev1rv0limrrrtvvatD D把上述运动分解为两步，首先动点把上述运动分解为两步，首先动点 M 随杆随杆运动到运动到 M1 处，然后再相对于杆运动到处，然后再相对于杆运动到 M。00()()limlimaaererattvvvvvvattD D DD00limlimeerrttvvvvt

10、tD D DD0limrrrtvvatD D因为因为 是考虑了杆是考虑了杆 AB 的转动（即牵连运动时），动点的相对速度的转动（即牵连运动时），动点的相对速度之差。动点的相对加速度应该是在杆上看动点的速度变化率。之差。动点的相对加速度应该是在杆上看动点的速度变化率。()rrvv 10limrrrtvvatD DtD经过经过 时间，动点由时间，动点由 M1 位置运动到位置运动到 M 位置，相对速度由位置，相对速度由 变为变为 ：1rvrv从这里可以看到牵连运动是转动的情况与牵连运动是平动时的不同之处。从这里可以看到牵连运动是转动的情况与牵连运动是平动时的不同之处。1rv000limlimlima

11、aeerratttvvvvvvatttD D D DDD111100()()()()limlimeeeerrrrttvvvvvvvvttD D DD11110000limlimlimlimeeeerrrrttttvvvvvvvvttttD D D D DDDD10limrrrtvvatD D1100limlimeerrerttvvvvaattD D DD10limeeetvvatD D10lim?eetvvtD D10lim?rrtvvtD D10limeetvvtD DeevAM11eevAM10limeetAMAMtD D10limetM MtD D 10limrtM MvtD D erv

12、该项是由于相对运动的影响，使动参考系上与动点相重合的点的位该项是由于相对运动的影响，使动参考系上与动点相重合的点的位置发生了改变，导致牵连速度的大小发生改变而产生的附加加速度。置发生了改变，导致牵连速度的大小发生改变而产生的附加加速度。1rv10lim?eetvvtD D这一项是由于牵连转动而引起相这一项是由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。对速度方向改变的加速度。10lim?rrtvvtD D1rv0limrertvvtD DD1rrvv1rviit dd泊松公式10limrrertvvvtD D补充例题火车火车M以等速以等速v0沿子午线自南往北行驶，如图所沿子午线自南往北行驶，如图

13、所示。为了考虑地球的自转，设定坐标系以地心为原点，坐示。为了考虑地球的自转，设定坐标系以地心为原点，坐标轴分别指向恒星。地球的平均半径为标轴分别指向恒星。地球的平均半径为R。求火车求火车M在北纬在北纬度处的绝对加速度。度处的绝对加速度。 解：1. 选择动点与动系选择动点与动系动系动系O xy z ， 固结在地球固结在地球上，原点上，原点O 与地心重合，并使坐与地心重合，并使坐标面标面O y z与铁轨所在的子午与铁轨所在的子午面重合，面重合，O z轴与地轴重合轴与地轴重合。2. 运动分析运动分析 绝对运动绝对运动 空间曲线空间曲线运动运动。 相对运动相对运动 M点在子午面内以点在子午面内以O为圆

14、心、为圆心、R为半径作速度为为半径作速度为v0的的匀速圆周运动。匀速圆周运动。 牵连运动牵连运动地球绕地球绕O z轴的匀轴的匀角速转动角速转动。动点动点火车火车M 。因地球自西向东旋转，所以因地球自西向东旋转，所以动坐标系即地球的角速度动坐标系即地球的角速度的方向是沿的方向是沿Oz轴的正向，轴的正向，其大小为其大小为 srad1027. 7606024253. 加速度分析加速度分析aa：大小大小方向均未知方向均未知；ae： 方向垂直方向垂直于于Oz轴，并指向此轴轴，并指向此轴；,)cos(2eRa ar： 方向指向地心方向指向地心O。;202rrRvRvaaC： 方向指向沿方向指向沿M点纬度线

15、的切线，点纬度线的切线，并且向西并且向西；sin2sin20rCvvacosR据此，可进一步求得的大小和方向据此，可进一步求得的大小和方向应用加速度合成定理应用加速度合成定理aerCaaaaaerCaaaa1012012012sin2)sincos(cosikjjvRvRvR1201202102sincos)(sin2kjiRvRvRv如以如以i，j和和k分别表示沿坐标轴分别表示沿坐标轴Ox， Oy和Oz的单位矢量，则的单位矢量，则M点的加速度点的加速度aa可表示为可表示为例7-11 已知已知曲柄曲柄OAr ，以角速度以角速度0匀速转动。求曲柄匀速转动。求曲柄OA 水水平，平，摇摇杆杆AB与铅

16、垂线夹角为与铅垂线夹角为30o时，摇杆时，摇杆AB的角加速度。的角加速度。1. 选择动点，动系与选择动点，动系与定系定系。动系动系O1xy，固连于摇杆固连于摇杆 O1B2. 运动分析运动分析 绝对运动绝对运动以以O为圆心的圆周运动为圆心的圆周运动相对运动相对运动沿沿O1B的直线运动的直线运动牵连运动牵连运动摇杆绕摇杆绕O1轴的轴的定轴定轴转动转动动点动点滑块滑块 A 定系定系固连于机座固连于机座x1y1解：解：vavrver032vr相对速度1摇杆的角速度10142. 速度分析e012vr已经求得牵连速度3. 加速度分析aa: aa= r02，沿着OA，指向O；ar: 大小未知，沿着O1B，指

17、向B(假设）；aet: ae t = (O1A)=2r ， 为未知，垂直于O1A，指向未知，假设指向左上；aC: 垂直于O1B，指向左上。2Cer1 r000133 2=22 424a vvrraraaaCaetaen 加速度分析加速度分析 1aen: ，沿着O1A指向O1；2108neeavO Ar 加速度分析加速度分析 araaaCaetaen将上式沿将上式沿aet 方向投影，得方向投影，得Cteacos30aaa202043223rrr2083aerCaaaa由加速度合成定理由加速度合成定理即即求得求得摇杆摇杆AB 的角加速度的角加速度（逆时针）（逆时针） 例7-12 7-12 已知凸轮

18、的偏心距已知凸轮的偏心距OCe，凸轮半径凸轮半径 ，并，并且以等加速度且以等加速度绕绕O轴转动，轴转动， 图示瞬时，图示瞬时，AC垂直于垂直于OC， 30o。求顶杆的速度与加速度。求顶杆的速度与加速度。er3解：解：1. 选择动点，动系与选择动点，动系与定系定系。动系动系固连于凸轮。固连于凸轮。2. 运动分析。运动分析。绝对运动绝对运动直线运动。直线运动。相对运动相对运动 以以C为圆心的圆周运动。为圆心的圆周运动。牵连运动牵连运动 绕绕O 轴的定轴转动。轴的定轴转动。动点动点 AB的端点的端点A 。定系定系固连于机座。固连于机座。3. 速度分析aervvv应用速度合成定理绝对速度： va为所要

19、求的未知量，方向沿杆AB，向上。 相对速度：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线，向右上方。牵连速度： veOA 2e ，方向垂直于OA，向左。233 03aevv tgeevv3342ar30aevtgvsin30arvv4.加速度分析aa: 大小未知，为所要求的量，沿着AB，假设指向上方；ae : ae = OA 2=2e2，沿着OA，指向O； ar t ：大小未知，垂直于AC，指向未知，假设指向右上；aC : 沿着CA，指向左上。2Cr4 38 3 2=2 33ea veearnaaaCartaenar n: arn=vr2/AC ，沿着AC，指向C；216 39earnaaaCartaene

20、rntnarCaaaaa根据加速度合成定理将上式沿aC方向投影，得naCrecos30cos30aaaa2a29ae -从而求得顶杆的加速度第一章第一章 静力学的基本概念和公理静力学的基本概念和公理例例7-13 7-13 圆盘半径圆盘半径R R=50mm=50mm，以匀角速，以匀角速度度1 1绕水平轴绕水平轴CDCD转动。同时框架和转动。同时框架和CDCD轴一轴一起以匀角速度起以匀角速度2 2绕通过圆盘中心绕通过圆盘中心O O的铅直轴的铅直轴ABAB转动，如图所示。如转动，如图所示。如1 1=5rad/s, =5rad/s, 2 2=3rad/s=3rad/s。求：圆盘上求：圆盘上1和和2两点

21、的绝对加速度。两点的绝对加速度。第一章第一章 静力学的基本概念和公理静力学的基本概念和公理解：解：1 动点：动点： 圆盘上点圆盘上点1，动系：框架，动系：框架CAD绝对运动：未知绝对运动：未知相对运动：圆周运动（相对运动：圆周运动（O点）点）牵连运动：定轴转动（牵连运动：定轴转动（AB轴）轴） 2 速度（略）速度（略）3 加速度加速度。求：求：已知：已知：2121,mm50,srad3,srad5aaR 0?2122RRaaaaCrea方向方向大小大小第一章第一章 静力学的基本概念和公理静力学的基本概念和公理点点1的牵连加速度与相对加速度在同一直的牵连加速度与相对加速度在同一直线上，于是得线上

22、，于是得点的牵连加速度点的牵连加速度相对加速度大小为相对加速度大小为科氏加速度大小为科氏加速度大小为各方向如图，于是得各方向如图，于是得第一章第一章 静力学的基本概念和公理静力学的基本概念和公理例例7-9如图所示平面机构中，曲柄如图所示平面机构中，曲柄OA=r,以匀以匀角速度角速度O 转动。套筒转动。套筒A沿沿BC杆滑动。杆滑动。已知：已知：BC=DE，且，且BD=CE=l。求：图示位置时，杆求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。第一章第一章 静力学的基本概念和公理静力学的基本概念和公理解：解：1 动点：滑块动点：滑块A，动系：，动系：BC杆杆绝对运动：圆周运动（绝对运

23、动：圆周运动（O点）点）相对运动：直线运动（相对运动：直线运动（BC）牵连运动：平动牵连运动：平动2 速度速度方向大小?0rvvvrea 0rvvvaerBDBDOAlCEBDDEBCrOA,0求：求：常数常数已知：已知：lrBDveBD0第一章第一章 静力学的基本概念和公理静力学的基本概念和公理3 3 加速度加速度方向大小?220BDrneealraaaa 沿沿y轴投影轴投影30sin30cos30sinneteaaaalrlraaaneate3)(330cos30sin20BDBDOAlCEBDDEBCrOA,0求：求：常数常数已知：已知：2203)(3lrlrBDateBD补充例题在滑块

24、导杆机构中，由一绕固定轴O作顺时针向转动的导杆OB带动滑块A沿水平直线轨道运动，O到导轨的距离是h。已知在图示瞬时导杆的倾角是，角速度大小是，角加速度=0。试求该瞬时滑块A的绝对加速度。运运 动动 演演 示示1. 选择动点，动系与定系相对运动沿导杆OB的直线运动。牵连运动导杆OB绕轴O的匀速转动。绝对运动沿导轨的水平直线运动。动系 固连于导杆动点取滑块A为动点 2. 运动分析reer2ectgcosctgsinsinsinsinvvvOAhhvhvhOA解：解：定系固连于机座aervvv应用速度合成定理速度合成图如图所示求得revctgv3. 加速度分析asinCaa 32Casincos2s

25、inhaaaercaaaa投影到Oy轴上，得绝对加速度aa：大小待求，水平方向，假设向左。相对加速度ar：大小未知，方向沿BO ，假设向左下。 科氏加速度aC： 方向OB，向左上方。2Cr22cos2cos22sinsinehhav根据加速度合成定理求得滑块A的加速度yx牵连加速度ae： , 方向沿BO，指向O。2esinha7-10空气压缩机的工作以角速度 绕垂直于图面的O轴匀速运动，空气以相对速度vr沿弯曲的叶片匀速流动，如图所示。如曲线AB在C点的曲率半径为，通过点C的法线与半径间夹的角为，CO=r，求此时气体微团在C点的绝对加速度aa。 运运 动动 演演 示示解： 1. 选择动点，动系

26、与定系。动系Oxy，固连于工作轮2. 运动分析。绝对运动平面曲线运动牵连运动绕轴O定轴转动动点取气体微团相对运动沿曲线AB运动定系固连于机座3. 加速度分析绝对加速度aa：大小方向均未知。牵连加速度ae：ae=OC2=r2，沿OC 指向O ；相对加速度ar：ar=vr2/，方向如图。科氏加速度aC： 垂直于vr，指向如图。r2Cav分别投影到x，y轴上 aerC22rrrr0sin2sin(2)sinxxxxaaaavvvvaerC22rr22rrcos2cos(2) cosyyyyaaaavrvvvr aaaxyaa iajaerCaaaa根据加速度合成定理Oyx例图示一台电动转盘，电动机安装在基座S上，电动机转子的轴线与水平线成30o 角。基座绕铅垂轴Oz以匀角速度=10rad/s旋转。设安装在转子上的圆盘半径r=130mm，转子的匀角速度1=20rad