概率论与数理统计练习册—第一章答案

1、第一章概率论的基本概念基础训练I、选择题1 .以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 A为：(D )。A)甲种产品滞销，乙种产品畅销；B)甲乙产品均畅销；C)甲种产品滞销；D)甲产品滞销或乙种产品畅销 .2、设A,B ,C是三个事件，则 A=B=C表示( C )。A)A,B,C都发生；B) A,B,C都不发生；C)A, B,C至少有一个发生；D) A,B,C不多于一个发生3、对于任意事件 A, B ,有P(A B) = ( C )。A) P(A)-P(B);B) P(A) _P(B)+ P(AB);C) P(A) -P(AB);D) P(A) +P(B) -P(AB)O4、已

2、知5个人进行不放回抽签测试，袋中 5道试题(3道易题，2道难题)，问第3个人 抽中易题的概率是(A )。A)3/5 ；B) 3/4 ；C)2/4 ；D)3/10 .5、抛一枚硬币，反复掷 4次，则恰有3次出现正面的概率是( D )。A)1/16B) 1/8C) 1/10D)1/46、设 P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(A|B) = 0.8,则下列结论正确的有( A )。A) A,B相互独立；B) A,B互不相容；C) BnA;D) P(A= B) = P(A)+P(B)。.、填空题_1 .设A , B , C是随机事件，则事件“ A、B都不发生，C发生”表示为ABC , "

3、; A , B , C 至少有两个发生”表示成 AB j ACBC 。2 .设 A、B 互不相容，P(A)=0.4, P(Au B) = 0.7 ,则 P(B) =03 ;3 .某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的 一种，则同时订这两种的住户百分比是： 30% ;4 .设 P(A) =P(B) =P(C) =1/4, P(AB) = P(BC)=0, P(AC)=1/8,则 A、B、C 三件事至少有一个发生的概率为：5/8 ;5 .若A、B互不相容，且P(A) >0,则P(B/A)=0;若A、B相互独立，且P(A)0, 则 P(B/A) = P(

4、B)。6、已知 P(B)=1/3, P(BA)=1/4, P(AB)=1/6,则 P(AB)=1 / 18。三、计算题1.从一批产品中取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回)，以Ai表示“第i次取到的是合格品"，试用Ai表示(i =1,2,3)下列事件：1)三次都取到合格品；2)三次中至少有一次取合格品；3)三次中恰有两次取到合格品；4)三次中至少有两次取到合格品；5)三次中一次也未取到合格品；6)三次中至多有一次取到合格品；解：1) A1A2A3; 2) A1 = A2=A3; 3) A1A2A3= A1A2A3= 71A2A3 ;4) A1A2A3<j A1A2A3ua

5、A2A3，j A1A2A3= A1A2= A1A3u A2A3 ；5) A1u A2u A3 = A1c A2cA3 = A1A2A3； 6) A1A2u A1A3 A2A32 .设P( A) =1/3, P(B) =1/2。在下列三种情况下求 P(BA)的值：1) AB = *; 2) AUB； 3) P(AB)=1/8。解：因 P(BA) =P(B) P(AB)2) P(bA)=1/2； 2) P(bA) = P(B)-P(A) =1/6； 3) P(BA)=3/8。3 .假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某 时期内甲河流泛滥的概率为0.1 ;乙河流

6、泛滥的概率为 0.2;当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3,试求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率。解：设A =甲河流泛滥, B =乙河流泛滥, 由题意，该地区遭受水灾可表示为A= B,于是所求概率为：(1) P(A . B); P(A) P(B) - P(AB); P(A) P(B) - P(A)P(B/A)= 0.1 0,2 -0.1 0.3 =0.27cP(AB) P(A)P(B/A) 0.1 0.3(2) P(A/B)0.15P(B) P(B)0.24 .有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为0.2、0.3、0.5，求：

7、1)至少有一门火炮命中目标的概率；2)恰有一门火炮命中目标的概率。解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙火炮命中目标，则1) P(A- B - C) =1-P(ABC) =1-P(A)P(B)P(C) =1 -0.8 0.7 0.5 = 0.722)p(abCUabcUabc) -p(aBC) p(abc) p(abc)= P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) =0.475、有三个形状相同的箱子，在第一个箱中有两个正品，一个次品；在第二个箱中有三个正品， 一个次品；在第三个箱中有两个正品，两个次品.现从任何一个箱子中，任取一彳产品，求取到正品的概率。解：设B

8、i=从第i个箱子中取到产品(i=1,2,3), a=取得正品。由题意知Q=B1+B2+B3 , B1,B2,B3是两两互不相容的事件。P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3, P(A|B1)=2/3, P(A|B2)=3/4, P(A|B3)=2/4=1/2由全概率公式得P(A尸P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.64 ( 或23/36).6.已知商场某产品由三个厂家提供，产品次品率分别为0.02、0.01、0.03,销售份额分别占0.15、0.80、0.05,现消费者因为产品问题提出索赔，但由于保存不善标志缺失，如 果你是商场负责人，想将这笔

9、索赔转嫁给厂家，如何分摊最合理？ 解：设A表示产品为不合格品，Bi (i =1,2,3)表示产品是由第i个厂家提供的，由题可得：p(B)=0.15, p(B2)=0.80, p(B3)=0.05, p(AB1)=0.02, p(AB2)=0.01, p(AB3)=0.03由全概率公式：p(A) = p(A B1)p(B1)+ p(A B2)p(B2) + p(A B3)p(B3) =0.0125 由贝叶斯公式：p(B1 A)=p(AB1)p(B1)p(A)0.02 0.150.0125=0.24p(B2 A) = 0.64p(B3 A) =0.12.由上可见，比较合理的分配比例应为：0.24

10、:0.64 :0.12 ,即6:16:3.基础训练U一、选择题1 .事件A-B又可表示为(C )A) A-B B) A-AB C) Ac B D) A-AB2 .设 P(AB) =0,则有(D )A)A和B互不相容；B)A和B相互独立；C) P(A) =0 或 P(B) =0 ; D) P(A-B)=P(A)。3 .设A和B互为对立事件，则下列不正确的结论为(B )A)P(B/A)=0; B) A和 B 独立；C)P(A/B) =1;D) P(A + B)=1。4、设事件A,B是两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论正确的是(D )A) A, B互不相容；B ) A与B相容;C) P(AB)

11、 = P(A)P(B)；D) P(A B) = P(A)。5.某人射击时，中靶的概率为(C )如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为A ) (3/4)3 B) (3/4)2 x 1/4 C) (1/4)2 x3/4 D) (3/4)36.如果P(A)A0,P(B)0,P(A B) = P(A),则下列结论不正确的有( D )A) P(B|A) = P(B); B) P(A|B) = P(A);C) A,B相容；D) A,B互不相容。.、填空题1 .设A表示第i次命中目标 (i =1,2,3),则A1A2A3逆事彳为：AuAzA。2 .设事件 A,B互不相容，且 P(A)= p,P(B)=

12、q,则 P(AB)=1 pq。3 .设 A, B 相互独立，P(A)=0.2、P(B) =0.4,则 P(A，j B) = 0.52 ;4 .设 A, B 为随机事件，P(A)=0.7,P(A B) =0.3，则 P(A=b)=06；5、设 P(A|B)=0.3,P(B|A)=0.4,P(A) = 0.7,则 P(B)= 0.4 。6、设 P(A)=0.3, P(A=B)=0.6,那么：(1)若 A,B 互不相容，则 P(B) = 0.3(2)若A, B相互独立，则 P(B) =3 / 7 。三、计算题1 .设A, B为两个事件且 P(A)=0.6, P(B)=0.7,则1)在什么条件下 P(

13、AB)取最大值，最大值是多少？2)在什么条件下P(AB)取最小值，最小值是多少？解：P(AB)=P(A) +P(B)-P(A=B),1 ) 当 AUB 时 P(AuB)最小，P(AB)取得最大值 P(A) P(B) -P(A 一 B)= P(A) =0.62)当P(A=B)=1时，P(AB)取得最小值为0.3。2 .已知 P(A) =0.3,P(B) = 0.4,P(AB) = 0.5，求 P(B | AU B)。解:P(B | A - B)P(AB)P(A 一 B)P(A) -P(AB)P(A) P(B) -P(AB)1-0.3-0.51-0.3 1-0.4-0.5 43 .设 A, B 是

14、两个事件，P(A) = P(B) =1/3, P(A|B)=1/6,求 P(A|B)。PzA|B _f(AB) _1-P(A- B) _1-P(A)-P(B) P(AB) _1_ P(A| B) -P(B) 1-P(B)1- P(B)124 .甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们需要工人看管的概率分 别为0.1、0.2、0.15，求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。解：设A、B、C依次表示三台机床需要人照管，依题意可知A、B、C相互独立,P(A)=0.1, P(B)=0.2, P(C)=0.15P( A_. B_ C =1 一 P(ABC

15、= 1一一pApBpq 0. 388P(AB一 BC A)C (PAB ( P B C ( P )AC2 ( P ABC=0. 1 * 0. 2 0. 2 * 0. 1 5 0. 1 * 0. 1 5 2 * 0f 0. 0 5 95、某厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15% 20% 30%35%它们的不合格率分别是 5% 4% 3% 2%现从中任取一件问恰好取得不合格品的概率是多少？解：设A：取出的为不合格品，Bi ：第i条流水线生产。P(B1)=15%,P(B2)= 20%,P(B3)=30%, P(B4)=35%P(AB1)=5%, P(AB2)=4%, P

16、(AB3)=3%, PAB4)=2%所以 P(A) =5% 15% 20% 4% 30% 3% 35% 2% =3.15%6、三个箱子，第一个箱子中有 3个黑球一个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2个白球，求：(1)随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？(2)已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是多少？解：设事件A表示“取出一球为白球” ，Bi表示“取到第i只箱子”，i =1,2,3,则P(Bi)=1/3。 3113 255 512由贝叶斯公式得：(2) P(&|A) =p(B3)p(a|B3)P(A)122475由全

17、概率公式得：(1) P(A)=£ P(Bi)P(A| Bi) = ( + + )=综合训练、填空题1 .设A, B为任意两个事件，则下列关系式成立的是( D )。A) (A=B)B=A; B) (A=B)BnA;C) (A-B) = B=A; D) (AuB)-B=A。2 .对事件A,B,下列命题正确的是：(D )。A)如果A, B互不相容，则A, B也互不相容；B)如果A,B相容，则A,B也相容;C)如果A, B互不相容，且 P(A)>0, P(B) >0,则A, B相互独立；D)如果A,B相互独立，则 A ,B也相互独立.3 .每次试验的成功率为 p(0 < p

18、 <1),独立重复进行试验直到第 n次才取得r(1 E r w n) 次成功的概率为：(B )。A) C：p(1 p严；B) C：如(1p)n；C) pr(1-p)n"；D) C：31pi(1p)n.4 .设事件A, B同时发生时，事件 C必发生，则正确的结论是( B )。A) P(C) <P(A) +P(B)-1 ; B) P(C)之 P(A)+P(B)-1 ;C) P(C)=P(AB);D) P(C) = P(A=B)。C )。5 .设A, B互不相容，且 P(A) >0,P(B) >0,则下列结论正确的有(A) P(B | A) >0;B) P(A

19、|B) = P(A);C) P(AB)=0;D) P(AB) = P(A)P(B).二、填空题1 .从1、2、3、4、5五个数码中任取 3个，组成没有重复数字的三位数，则这三位数是 偶数的概率为 2/5；2 .设 P(AB) =P(AB),且 P(A) = p，则 P(B) =1 p ;2 ，、一 一、.一3 .若KU (1, 6),则万程x + Kx +1 = 0有实根的概率是4/5 ;4 .设事件 A, B,P(A) =0.7,P(B) =0.5,P(B A) =0.4，则 P(A= B)= 0.72 ;5 .假设一批产品中一、二、三等品各占 60% 30% 10%从中随机取出一种，结果不

20、是三 等品，则取到的是一等品的概率为2/3。三、计算题一1.矩形(a,b):1Ma M2,1 EbM1中任取一点，求使方程ax+b = 0的解大于1/4的概 率.解：设A表示方程ax + b = 0的解大于1/4,方程的解为:b 1.八x = > 一,即 a + 4b < 0a 4(1)1 3 15由决7E的区域与矩形相父区域的面积S=-( +)=一 ,故所求概率为 2 4 28P(A)=5/81 25162.某地区一工商银行的贷款范围内，有甲乙两家同类企业，设一年内甲申请贷款的概率为0.25,乙申请贷款的概率为 0.2,当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为0.1,求在乙未申

21、请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。解：设A表示甲申请贷款，B表示乙申请贷款，由题意可知：P(A)=0.25; P(B)=0.2； P(BA)=0.1,P(A B) =1 _P(A B)1P(AB)1一9二1P(A)P(B A) _ 1 (1一0.25)(1 -0.1) _ _5- 1 -P(B) 一一 1 -0.2-323、玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为 0.8、0.1和0.1 ,某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱， 而顾客随机地察看 4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的该

22、箱中，没有残次品的概率。解：设事件A表示“顾客买下该箱”,Bi表示“箱中恰好有i件次品"，i = 0,1,2 ,则P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2) = 0.1,P(A|B0)=1,c4cP(A|BJ =；1：C204C148=4，P(A|Bz)= 485C2012191)由全概率公式得:2P(A)- P(Bi)P(A|Bi) i =0412= 0.8X1 +0.1 父一+0.1 m =0.94 ；5192)由贝叶斯公式:0.8 1= 0.85。0.94P(B0)P(A| B0)P(B0|A)=0P(A)4 .(敏感问题调查)在调查家庭暴力(或吸毒、婚外恋等敏感问题)所占家庭的比例p时,被调查者往往不愿回答真相，这使得调查数据失真，为得到实际的p同时又不侵犯个人隐私，调查人员将袋中放入比例是p0的红球和比例是q0 = 1 - p0的白球，被调查者在袋中任取一球窥视后放回， 并承诺取得红球就讲真话，取得白球就讲假话， 被调查者只需在匿名调查表中选“是”(有家庭暴力)或“