曲线拟合最小二乘法

1、 有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：5个风景点，要修一条公路S使得S为直线，且到所有风景点的距离和最小。先讲些预备知识 对如上2类问题，有一个共同的数学提法：找函数空间上的函数g，使得g到f的距离最小。向量范数向量范数映射：满足：0: RRn非负性00, 0XXX且齐次性XaaXRa,三角不等式YXYX称该映射为向量的一种范数范数预备知识我们定义两点的距离距离为：YX 定义定义常见的范数有：nniixxxXxX,)(21122nixxxXxX,max21nniixxxXxX,2111定理（范数等价性）：设 pqxx和为任意两种范数，则存在与x无关的正常数c1和c2，使得12,qp

2、qc xxcxx定义：函数f，g的关于离散点列 niix0的离散内积离散内积为：niiiDxgxfgf0)()(),(常用范数的等价关系：212xxn x2xxn x1xxn x定义：函数 f 的离散范数离散范数为niiiDxfxff0)()(提示：该种内积，范数的定义与向量的 2 范数一致我们还可以定义函数的离散范数为：01010110(),(),()max(),(),()(),(),()()nnDnniDiff xf xf xf xf xf xff xf xf xf xf(x)为定义在区间a,b上的函数， 为区间上n+1个互不相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 g(x) 满足 f

3、(x) 和 g(x) 的距离最小 0niix如果这种距离取为2范数的话，称为最小二乘问题曲线拟合的最小二乘问题定义定义下面我们来看看最小二乘问题：求 使得 最小)(xgniiixfxgR022)()(设01,mspan 00( )( )( )mmg xaxax00( )( )( )mmDfxaxaxDDxfxxfxg)()(min)()(最小则即关于系数01,maaa20020020020,001 ( )( )( )2(,( )( ) ( )( )2,(,)mmDmmDDmmDmmkkikikDki kmfxaxaxff axaxaxaxfafa aQ aaa由于它关于系数01,maaa最小，

4、因此有：0,0,iQima即0(,)(,),0,mkikikafim 写成矩阵形式有：000000,mDDDmmmmmDDDafaf 法方程法方程由01,m的线性无关性，知道该方程存在唯一解bxay DDDDDDxffbaxxxx,1 ,1 , 11 , 1第一步：函数空间的基x, 1，然后列出法方程baxy2 DDDDDDfxfbaxxxx1 ,1 , 1, 1, 1,22222第一步：函数空间的基1 ,2x，然后列出法方程例：baxy23703456334558.3ab 3212414.38.34.78.322.7xy第一步：函数空间的基1 ,2x，然后列出法方程DDDDDDfxfbaxx

5、xx1 ,1 , 1, 1, 1,222220.8327167.49691ab bxaey 由bxay lnln，可以先做bxay*bxayeeey*3212414.38.34.78.322.7ln2.660262.116261.547562.116263.12236xyy1,11,11,DDDDDDxfaxx xf xb 5011.56270342.9611ab 2.312540.0870912ab 求解一个矛盾方程组，计算的是在均方误差22minbAX 极小意义下的解也就是最小二乘问题。我们有：矛盾方程组恒有解，且2222minbAYbAXbAAXAnRYTT矛盾方程组的求解定义：矩阵范数

6、矩阵范数AxxAxAxRxxRxnn1,0,supsup矩阵范数，是由向量的范数定义的矩阵范数和条件数矩阵范数和条件数矩阵范数也是等价的对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数niijnjaA111max列和的最大值njijniaA11max行和的最大值)(2AAAT矩阵范数的一些性质：00,&,0AAARAA,nRBABABA, , nRBABAAB, , nRxxAAx,定理：若为A的特征值，则A证：xAxxAxxAxAxxxxAAx为A的特征向量#证毕定义：谱半径谱半径rnrA1max)(易知：AA )(条件数和病态矩阵条件数和病态矩阵定义：条件数pppAAACond1)(p 表

7、示某种范数设bAx ，A引入误差 后A，解引入误差x，则bxxAA)(xAxAAxbxAA)( xAAAx1)(AAAxx1)(AAAAI111)(111)()(AAAAIAAAAAI111)(注意到注意到BBIB11)(11因为：BDDDBIIBID)(1 )(1)1 (BDDBDAAAAxx1111 AAAAAAAAAAAA111111条件数很小AAAA1条件数表示了对误差的放大率同样，类似有bbAAxxbxAbbxxA1)( 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A 1，而由经验得，而由经验得出。出。 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；行列式很大或很

8、小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则；元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元；主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。特征值相差大数量级。精确解为精确解为.11 x例例 97.199.1,98.099.099.01bA计算计算cond (A)2 。 10000990099009800A 1 = 解：考察解：考察 A 的特征根的特征根 0)det(AI 000050504. 0980050504. 121 212)( Acond 39206 1 测试病态程度：测试病态程度：给给一个扰动一个扰动b 3410106.01097.0b ，其相对误差为，其相对误差为%01.010513.0|422 bb 此时精确解为此时精确解为 0203. 13*x 0203.2