富有敏锐直觉的业余数学家

1、 关于此，我确信已发现了一种美妙的证法关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。可惜这里空白的地方太小，写不下。数学研究性学习 研究课题：费马与费马于数学的贡献研究小组：巴彦淖尔市第一中学2014级（8）班 第4小组成员：王志 高赫 尹耀达 张益宁 郝健 帅松良 研究内容：费马简介及个人评价， 费马研究成果的粗略了解， 费马个人优秀品质分课题：1，费马简介及个人评价 2，费马与解析几何 3，费马与微积分 4，费马与概率论 5，费马与光学 6，费马与数论 （1）费马大定理 （2）费马小定理 （3）费马于数论的其他贡献 （4）费马与亲和数 （5）费马与费马数 7，从费

2、马身上学到的 皮埃尔德费马（1601,8,17-1665，1,12），法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。 著名的数学史学家贝尔在20世纪初所撰写的著作中，称皮埃尔德费马为“业余数学家王业余数学家王”。贝尔深信，费马比同时代的大多数专业数学家更有成就。17世纪是杰出数学家活跃的世纪，而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。个人评价个人评价费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析

3、几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克牛顿、戈特弗里德威廉凡莱布尼茨，他还是概率论的主要创始人，以及独撑17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代一代数学天才费马数学天才费马堪称是堪称是17世纪法国最伟大的数学家世纪法国最伟大的数学家。费马与解析几何费马与解析几何 和笛卡尔比肩的人物和笛卡尔比肩的人物l 费马独立于勒奈笛卡儿发现了解析几何的基本原理！l 1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的平面轨迹一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线

4、作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文。l 平面与立体轨迹引论中道出了费马的发现。他指出：费马的发现比勒奈笛卡儿发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对和的方程、以及关于、进行了讨论。l笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相对的方面。方面。l 在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：x2+y2+z2=r2费马与微积分费马与微积分 牛顿和莱布尼

5、茨的前辈牛顿和莱布尼茨的前辈l曲线的切线问题和函数的极大、极小曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老，最早可追溯到古希腊时期。阿基米德为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭法。由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。由于约翰尼斯开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟厂一个十分广阔的思考空间。费马的手稿费马的手稿费马与概率论费马与概率论 聪明的聪明的“赌徒赌徒”l 概

6、率论来源于赌博！l 1654年，法国有一个赌徒叫梅雷。一天，他和国王的侍卫赌掷骰子，两人都下了30枚金币的赌注。他们约定：梅雷先掷出3次6点，就可以赢得60枚金币；侍卫官若先掷出3次4点，也可以赢得60枚金币。正当梅雷掷出2次6点，侍卫官掷出1次4点，赌博要结束的时候，国王要求侍卫官即刻回王宫，不得已梅雷和侍卫官终止了赌博。就是这场赌博引出一个重要的问题：如何分配赌注？l 帕斯卡用纯算术的方法，费马则用组合方法，都得到正确解答。l 费马考虑到四次赌博可能的结局有2222=16种，除了一种结局即四次赌博都让对手赢以外，其余情况都是第一个赌徒获胜。费马此时还没有使用概率一词，但他却得出了使第一个赌

7、徒赢得概率是15/16，即有利情形数与所有可能情形数的比。l 17世纪，法国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的著作摘要，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。l 费马和布莱士帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则数学期望的概念。l 一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。费马与光学费马与光学 可能这不属于数学可能这不属于数学l 费马在光学中突出的贡献是提出费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理最小作用原理，也叫，也叫最短最短时间作用原理时

8、间作用原理。这个原理的提出源远流长。早在古希腊时。这个原理的提出源远流长。早在古希腊时期，期，欧几里得欧几里得就提出了就提出了光的直线传播定律光的直线传播定律和和反射定律反射定律。后。后由由海伦揭示了这两个定律的理论实质海伦揭示了这两个定律的理论实质光线取最短路径光线取最短路径。经过若干年后，这个定律逐渐被扩展成自然法则，并进而经过若干年后，这个定律逐渐被扩展成自然法则，并进而成为一种哲学观念。成为一种哲学观念。个更为一般的个更为一般的“大自然以最短捷的大自然以最短捷的可能途径行动可能途径行动”的结论最终得出来，并影响了费马。的结论最终得出来，并影响了费马。费马费马的高明之处则在于变这种的哲学

9、的观念为科学理论。的高明之处则在于变这种的哲学的观念为科学理论。l 费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时，其路径取费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时，其路径取极小的曲线的情形。极小的曲线的情形。并用最小作用原理解释了一些问题。并用最小作用原理解释了一些问题。这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是莱昂哈德莱昂哈德欧拉欧拉，竟用竟用变分法变分法技巧把这个原理用于求技巧把这个原理用于求函数的极值函数的极值。这直接导。这直接导致了致了拉格朗日拉格朗日的成就，给出了最小作用原理的具体形式：的成就，给出了最小作用原理的具体形式：对一个质点而言，其质量、速度和两个固定

10、点之间的距离对一个质点而言，其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值；即对该质点所取的的乘积之积分是一个极大值和极小值；即对该质点所取的实际路径来说，必须是极大或极小实际路径来说，必须是极大或极小。费马与数论费马与数论 费马最有成绩的领域，也是充分费马最有成绩的领域，也是充分反应他敏锐直觉的地方反应他敏锐直觉的地方 17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的算术一书。l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。然而，费马在数论领域中的成果是巨大的！费马大定理

11、费马大定理 横亘三百年的数学难题！横亘三百年的数学难题！l 右边这张图，大家并不陌生，它是赵爽弦图，由这张图我们可以推断出勾股定理，在西方称之为毕达哥拉斯定理。l 勾股数：又名毕氏三元数 。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。即 a2+b2=c2 （a,b,cN）l 远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。l 常见勾股数 3，4，5；5，12，13；6，8，10； 8，15，17；9，12，15l而费马的伟大之处在于：他思考了一个与勾股定理类似的式子： xn + yn = zn （n N，n 2） 是否存在类似于勾

12、股数的几组正整数解！费马大定理费马大定理 横亘三百年的数学难题！横亘三百年的数学难题！l 费马在阅读丢番图算术拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。” l （拉丁文原文: “Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”）l 就这样，一个伟大的直觉，后人证明了足足三个世纪的定理诞生了！费马大定理费马大定理 横亘三百年的数学难题！横亘三百年的

13、数学难题！l 费马大定理，又被称为“”，由法国数学家费马提出。 （唯一一个在费马生前未被证明的定理，由此得名）l 它断言当整数它断言当整数n 2n 2时，关于时，关于x, y, zx, y, z的方程的方程 x xn n + y + yn n = z = zn n没有正整数解。没有正整数解。l 被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁怀尔斯证明。l 德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。费马大定理费马大定理 横亘三百年

14、的数学难题！横亘三百年的数学难题！l 证明简史：1，对很多不同的n，费马定理早被证明了。其中欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理；费马自己证明了n=4的情形。2，1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。3，1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。4，1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提

15、出的头二百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展。费马大定理费马大定理 横亘三百年的数学难题！横亘三百年的数学难题！费马大定理费马大定理 横亘三百年的数学难题！横亘三百年的数学难题！费马大定理费马大定理 横亘三百年的数学难题！横亘三百年的数学难题！费马小定理费马小定理费马小定理：ap-a0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数，它的证明比较简单。事实上它是Euler定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a(n)-10(mod n),a，n都是正整数，(n)是Euler函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数（它的表达式欧拉已经得出，可以在“Euler公式”这个词条里找到）。(1)全部大于2

16、的素数可分为4n+1和4n+3两种形式。(2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。费

17、马于数论领域的其他贡献费马于数论领域的其他贡献 (7)发现了第二对亲和数：17296和18416。 亲和数（友好数）：如果两个数a和b，a的所有除本身以外的因数之和等于b, b的所有除本身以外的因数之和等于a,则称a, b是一对亲和数。 距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马找到第二对亲和数17296和18416，重新点燃寻找亲和数的火炬，在黑暗中找到光明。两年之后，“解析几何之父”法国数学家勒奈笛卡儿于1638年3月31日也宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584。费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千多年的沉寂，激起

18、了数学界重新寻找亲和数的波涛。费马与亲和数费马与亲和数费马与费马数费马与费马数 天才的直觉也会犯错天才的直觉也会犯错由此，费马提出了费马数都是质数的猜想！l然而，很不幸的，这个数学天才的猜想屡屡被证明是正确的，却独独在这一次猜错了（费马一生惟一的错误论断）l1732年，欧拉算出F5=6416700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。以后，人们又陆续找到了不少反例，如n=6 时，F6=27417767280421310721不是质数。费马与费马数费马与费马数 天才的直觉也会犯错天才的直觉也会犯错l那么问题又来了： 至今这样的反例共找到了243个，

19、却还没有找到第6个正面的例子，也就是说只有n=0，1，2，3，4这5个情况下，Fn才是质数。 甚至有人猜想：费马数n4时，费马数全是合数！然而这个论断正确吗？ 它在等待你的证明费马与费马数费马与费马数 天才的直觉也会犯错天才的直觉也会犯错l 然而费马数仍然有很多神奇的性质l 早已经有人证明，费马数的因数必然是（2n+2）k +1 形。例如n=5时，4294967297=（1285+1）（12852347+1），其中128就是2的7次方。l 任意两个费马数都互质。l 除了F1 = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。l 当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。l 除了F0和F1，费马数的最后一位是7。l 所有费马数（OEIS中的数列A051158）的倒数之和是无理数。l 费马与费马数费马与费马数 天才的直觉