高考数学总复习第二节　样本估计总体

1、关键能力 突破 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 必备知识 整合 关键能力 突破 第二节第二节样本样本估计总体估计总体必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求:1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据的标准差.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.3.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体

2、的思想解决一些简单的实际问题.在本考点中,常以频率分布直方图和样本的数字特征的计算进行考查.必备知识 整合 关键能力 突破 1.常用统计图表常用统计图表(1)频率分布表的画法:第一步:求极差,决定组数和组距,组距=;第二步:分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间;极差组数必备知识 整合 必备知识 整合 关键能力 突破 第三步:登记频数,计算频率,列出频率分布表.(2)频率分布直方图:反映样本频率分布的直方图.横轴表示样本数据,纵轴表示,每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.(3)茎叶图的画法:第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;第二步:将各个数据的茎按

3、大小次序排成一列;第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.频率组距必备知识 整合 关键能力 突破 2.样本的数字特征样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数:数字特征定义与求法特点一组数据中出现次数最多的数通常用于描述出现次数最多的数,显然它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征把一组数据按大小顺序排列,处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受少数极端值的影响必备知识 整合 关键能力 突破 如果有n个数据x1,x2,xn,那么这n个数的平均数=(x1+x2+xn)平均数和每一个数据都有关,可以反映样本数据全体的信息,但平均数受

4、数据中极端值的影响较大,故平均数在估计总体时可靠性降低x1n必备知识 整合 关键能力 突破 (2)标准差、方差:(i)标准差:s=.(ii)方差:标准差的平方s2叫做方差.s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中xi(i=1,2,3,n)是样本数据,n是样本容量,是样本平均数.222121()()() nxxxxxxn1nxxxx必备知识 整合 关键能力 突破 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)在频率分布直方图中,小矩形的高表示频率.()(2)频率分布直方图中各个矩形的面积之和为1.()(3)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.()(4)一组数

5、据的方差越大,说明这组数据的波动越大.()必备知识 整合 关键能力 突破 2.一组样本数据为19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,则这组数据的众数和中位数分别为()A.14,14B.12,14C.14,15.5D.12,15.5A解析解析把这组数据按从小到大排列为10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27,则可知其众数为14,中位数为14.必备知识 整合 关键能力 突破 3.(人教A版必修3P82A6改编)已知一组样本数据为x1,x2,x10,其中x1,x2,x3的平均数为a,x4,x5,x6,x10的平均数为b,则样本数据的平均数为()A.B

6、.C.D.2ab3710ab7310ab10abB必备知识 整合 关键能力 突破 4.(人教B版必修3P71A6改编)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示,甲、乙两组数据的平均数分别为,标准差分别为s甲,s乙,则()A.,s甲s乙B.s乙x甲x乙x甲x乙x甲x乙C.,s甲,s甲s乙x甲x乙x甲x乙C必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析由题图知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外,其他考试成绩都远高于乙同学,可知.图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定,所以s甲s乙.x甲x乙必备知识 整合 关键能力 突破 5.(易错题)中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中

7、随机抽取400名学生,对他们的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如图所示,从左至右五个小组的频率之比为5 7 12 10 6,则该市6万名高一学生中视力在3.95,4.25)范围内的学生约有7500人.必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析由题图可知,第五小组的频率为0.50.3=0.15,所以第一小组的频率为0.15=0.125.所以该市6万名高一学生中视力在3.95,4.25)范围内的学生约有600000.125=7500(人).【易错分析】没有看懂所提供的频率分布直方图中的数据的含义,误将该频率分布直方图中的纵坐标(频率与组距的比)看成了频率,从而导致问

8、题的解答出错.56必备知识 整合 关键能力 突破 考点一频率分布直方图考点一频率分布直方图典例典例1某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该产品获得利润30元,未售出的产品每盒亏损10元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了160盒该产品,以x(单位:盒,100 x200)表示这个开学季内的市场需求量,y(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数;关键能力 突破 必备知识 整合 关键能力 突破 (2)将y表示为x的函数;(3)根据频率分布直方

9、图估计利润y不少于4000元的概率.必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)由频率分布直方图得,这个开学季内市场需求量x的众数是150盒,需求量在100,120)内的频率为0.005020=0.1,需求量在120,140)内的频率为0.010020=0.2,需求量在140,160)内的频率为0.015020=0.3,需求量在160,180)内的频率为0.012520=0.25,需求量在180,200内的频率为0.007520=0.15.则平均数=1100.1+1300.2+1500.3+1700.25+1900.15=153(盒).(2)因为每售出1盒该产品获得利润30元,未售出的产品每

10、盒亏损10元,所以当100 x160时,y=30 x-10(160-x)=40 x-1600,x必备知识 整合 关键能力 突破 当160 x200时,y=16030=4800,所以y=(3)因为利润y不少于4000元,所以当100 x160时,由40 x-16004000,解得140 x4000恒成立,所以当140 x200时,利润y不少于4000元.所以由(1)知利润y不少于4000元的概率P=1-0.1-0.2=0.7.401600,100160,4800,160200.xxx必备知识 整合 关键能力 突破 方法技巧方法技巧频率、频数、样本容量的计算方法:(1)组距=频率.(2)=频率,=

11、样本容量,样本容量频率=频数.频率组距频数样本容量频数频率必备知识 整合 关键能力 突破 考点二考点二 茎叶图茎叶图1.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为()A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7A必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析由茎叶图可得,甲组数据的中位数为65,从而乙组数据的中位数也是65,所以y=5.由乙组数据59,61,67,65,78,可得乙组数据的平均值为66,故甲组数据的平均值也为66,从而有=66,解得x=3.故选A.56626574705x必备知识 整合 关键能力 突破

12、 2.(2020湖北襄阳月考)甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均得分分别为,则下列结论正确的是()A.;甲比乙成绩稳定x甲x乙x甲x乙x甲x乙C.;乙比甲成绩稳定D.;甲比乙成绩稳定x甲x乙x甲x乙A必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析因为=11,=16.8,所以,且乙比甲成绩稳定,故选A.x甲278 16225x乙8 12 1821255x甲x乙必备知识 整合 关键能力 突破 3.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间(单位:时),已知茎叶图中甲、乙两班数据的值按大小顺序依次写在其茎的左、右两侧,甲班数据的平均数为13,乙班数

13、据的中位数为17,那么x的位置应填3,y的位置应填8.必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析由甲班数据的平均数为13可得=13,解得x=3,由乙班数据的中位数为17可得=17,解得y=8.89 13 15 10206x16102y甲乙890763x519y6021必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评在使用茎叶图时,一定要看清楚所有的样本数据,弄清楚图中的数字特点,不要漏掉数据,也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.必备知识 整合 关键能力 突破 考点三考点三 样本的数字特征样本的数字特征角度一样本的数字特征的简单计算角度一样本的数字特征的简单计算典例典例2(1)(2020贵州黔南州期末

14、)已知贵州省的五个旅游景区门票票价(元)如表所示:景区名称黄果树龙宫百里杜鹃青岩古镇 梵净山票价(元)1501509080290必备知识 整合 关键能力 突破 则关于这五个旅游景区门票票价(元),下列说法错误的是()A.众数为150B.平均数为152C.中位数为90D.极差为210(2)(2020山东青岛三中期中)已知数据x1,x2,xn的平均数=5,方差s2=4,则数据3x1+7,3x2+7,3xn+7的平均数和标准差分别为()A.15,36B.22,6C.15,6D.22,36xCB必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)由题意知,这组数据从小到大排列为80,90,150,150,2

15、90,所以这组数据的众数是150,中位数是150,A说法正确,C说法错误;极差是290-80=210,D说法正确;平均数是(80+90+150+150+290)=152,B说法正确.故选C.(2)x1,x2,x3,xn的平均数为5,=5,+7=+7=35+7=22.x1,x2,x3,xn的方差为4,3x1+7,3x2+7,3x3+7,3xn+7的方差是324=36,故数据3x1+7,3x2+7,3xn+7的平均数和标准差分别为22,6,故选B.1512nxxxn12333nxxxn123()nxxxn必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评1.求平均数的方法:(1)定义法:若数据x1,

16、x2,xn都比较小,且比较分散时,一般选用公式=(x1+x2+xn)来计算平均数.(2)新数据法:若数据x1,x2,xn的平均数为,则数据mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均数为m+a.(3)频数平均数法(加权平均数):样本数据中,有m1个x1,m2个x2,mk个xk,则x1nxx必备知识 整合 关键能力 突破 =.(4)频率平均数法:若数据x1,x2,xk的频率分别为p1,p2,pk,则=p1x1+p2x2+pkxk.(5)在频率分布直方图中估计样本的平均数:估计样本的平均数,等于各组中点值与对应频率之积的和.2.方差的计算方法:(1)定义法:用公式s2=(x1-)2+(x2-)2+(x

17、n-)2来计算方差.xx1 12212kkkm xm xm xmmm1nxxx必备知识 整合 关键能力 突破 (2)简化公式:方差s2=(+)-n.(3)新数据法:若数据x1,x2,xn的方差为s2,则数据mx1+a,mx2+a,mxn+a的方差为m2s2.(4)若数据x1,x2,xk的频率分别为p1,p2,pk,则方差s2=p1(x1-)2+p2(x2-)2+pk(xk-)2=(p1+p2+pk)-.1n21x22x2nx2xxxx21x22x2kx2x必备知识 整合 关键能力 突破 角度二样本的数字特征与频率分布直方图交汇问题角度二样本的数字特征与频率分布直方图交汇问题典例典例3 (202

18、0辽宁师范大学附属中学模拟)某校初三年级有400名学生,随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位:次),将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体,下列结论正确的是()C必备知识 整合 关键能力 突破 A.该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B.该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C.该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为80D.该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析第一组数据的频率为0.025=0.1,第二组数据的频率为0.065=0.3,第三组数据的频率为0.085=0.4,中位数

19、在第三组内,设中位数为25+x,则x0.08=0.5-0.1-0.3=0.1,x=1.25,中位数为26.25,故A中结论错误;第三组数据所在的矩形最高,第三组数据的中间值为27.5,众数为27.5,故B中结论错误;1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2,超过30次的人数为4000.2=80,故C中结论正确;1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1,1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为4000.1=40,故D中结论错误.故选C.必备知识 整合 关键能力 突破 角度三样本的数字特征与优化决策问题交汇角度三样本的数字特征与优化决策问题交汇典例典例4甲、乙两人在相同条件下各射击10次,每次中靶

20、环数情况如图所示.必备知识 整合 关键能力 突破 (1)请填写下表(写出计算过程):平均数方差命中9环及9环以上的次数甲乙(2)从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析:从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定);从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩更好些);从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析由题图知,甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.将它们由小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.将它们由小到大排列

21、为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.(1)=(5+62+74+82+9)=7(环),=(2+4+6+72+82+92+10)=7(环),=(5-7)2+(6-7)22+(7-7)24+(8-7)22+(9-7)2=(4+2+0+2+4)=1.2,x甲110 x乙1102s甲110110必备知识 整合 关键能力 突破 =(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)22+(8-7)22+(9-7)22+(10-7)2=(25+9+1+0+2+8+9)=5.4.填表如下:2s乙110110平均数方差命中9环及9环以上的次数甲71.21乙75.43必备知识 整合 关键能力 突破 (2)

22、平均数相同,甲的成绩比乙稳定.平均数相同,甲命中9环及9环以上的次数比乙少,乙的成绩比甲好些.甲的成绩在平均数上下波动,而乙处于上升趋势,且从第三次开始就没有比甲少的情况发生,乙更有潜力.2s甲2s乙必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据:(1)平均数反映了数据取值的平均水平;标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.必备知识 整合 关键能力 突破 1.(2020陕西渭南月考)甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:甲乙丙丁平均环数8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4x从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,则最佳人选是()A.甲B.乙C.丙D.丁 C必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析由表格中数据可知,乙、丙的平均环数最高,但丙的方差最小,说明丙的成绩好,且技术稳定.必备知识 整合 关键能力 突破 2.(2020课标全国,3,5分)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是()A.p