第6节初等函数的连续性PPT学习教案

1、会计学1第第6节初等函数的连续性节初等函数的连续性2、反函数与复合函数的连续性定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续.第1页/共23页定理3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若意义1.在定理

2、的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 第2页/共23页注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续可可得得类类似似的的定定理理换换成成将将 xxx0. 2例1.)1ln(lim0 xxx 求求解xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln . 1 第3页/共23页例2.1lim0 xexx 求求解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当)1ln(lim0yyy 原式原式yyy10)1ln(1lim . 1 同理可得.ln1lim0axa

3、xx 第4页/共23页例312limlnarcsin .xx求求例4042lim.xxx求求例50lim.xxxeex 求求例63lim ln(12 )ln(1).xxx求求第5页/共23页定理4.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 注意定理4是定理3的特殊情况.例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy第6页/共23页3、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内

4、是连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内内单单调调且且连连续续在在 第7页/共23页 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续 )定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.第8页/共23页注意1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(

5、32 xxy, 1, 0: xxD及及在0点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意2. 初等函数求极限的方法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx第9页/共23页例7 求xxsinlnlim2 解是是初初等等函函数数xysinln 它的一个定义区间是), 0( ), 0(20 x而而2sinlnsinlnlim2 xx0 例8.11lim20 xxx 求求解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 第10页/共23页三、闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函

6、数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。第11页/共23页1、最大值和最小值定理定义:.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如,sin1xy ,2 , 0上上在在 , 2max y; 0min y,sgn xy ,),(上上在在, 1max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy第12页/

7、共23页定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若xyo)(xfy ab2 1 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.第13页/共23页xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上有界上有界在在函数函数baxf第14页/共23页2、介值定理（中

8、值定理）定义:.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx 定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 第15页/共23页几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端

9、点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy ab1 2 3 定定理理4 4( (介介值值定定理理) ) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba, 上上连连续续，且且在在这这区区间间的的端端点点取取不不同同的的函函数数值值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那那末末，对对于于A与与B之之间间的的任任意意一一个个数数C，在在开开区区间间 ba,内内至至少少有有一一点点 ，使使得得Cf )( )(ba . . 第16页/共23页xyo)(xfy abABMm1x2xC1 2 3 几何解释:.)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲

10、线弧Cyxfy 第17页/共23页例2.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.Mm例1x-l n(2+x)=0 x-l n(2+x)=0判断方程 在-1,2上是否有根？第18页/共23页例2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 bbfbF )()(, 0 由零点定理,使使),(ba , 0)()( fF.)( f即即第19页/共23页注方程f(x)=0的根函数f(x)的零点有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间法）：先作辅助函数， 再利用零接法（辅助函数点定理辅助函数的作法（1）将结论中的(或x0或c)改写成x（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求第20页/共23页 区间一般在题设中或