第三章第5节函数的极值与最值PPT学习教案

1、会计学1第三章第第三章第5节函数的极值与最值节函数的极值与最值2oxyab)(xfy 1x2x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第1页/共43页3.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设

2、函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.第2页/共43页4说明说明值值；念念，不不是是整整个个函函数数的的最最、极极值值是是一一局局部部性性的的概概11x2x3x4x；、函函数数极极值值不不一一定定唯唯一一2小小值值；、极极大大值值不不一一定定大大于于极极31 2 的点为驻点；的点为驻点；、称使、称使0)(4 xf轴轴。值值点点处处的的切切线线平平行行于于由由图图可可知知：可可导导函函数数极极x第3页/共43页5定理定理1 1( (必要条件必要

3、条件) ) 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且在且在0 x处取得极值处取得极值, ,那末那末00)(xf. . 证明证明的某个邻域内有的某个邻域内有为极大值点，则在为极大值点，则在设设00 xx).()(0 xfxf 故故时时当当, 0)()(,000 xxxfxfxx. 0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx故故时时当当, 0)()(,000 xxxfxfxx. 0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx. 0)(0 xf即即第4页/共43页6.)(点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不是

4、极值点不是极值点但但 x.反反之之不不一一定定.点点是是驻驻点点或或导导数数不不存存在在的的、函函数数的的极极值值点点只只可可能能5第5页/共43页7(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值. . (2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. . (3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf 符号相同符号相同, ,则则)(xf在在0

5、 x处无极值处无极值. . 定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)问题：问题：怎样求函数的极值？怎样求函数的极值？第6页/共43页8xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤;)(存存在在的的点点求求函函数数的的驻驻点点及及导导数数不不2;)(由由定定理理判判断断极极值值点点3.)(求求极极值值4(不是极值点情形不是极值点情形)确定函数的定义域；确定函数的定义域；)(1第7页/共43页9例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得

6、驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx第8页/共43页10593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下第9页/共43页1132) 1()(xxxf 的极值的极值 . .解解 1) 1) 求导数求导数 32)(xxf3132) 1( xx,35352xx 2) 2) 求极值可疑点求极值可疑点令令,0)( xf得得 1x,52导数不存在的点导数不存在的点. 02 x3) 3) 列表判别列表判别x)(xf )(xf0520033. 00 x故故是极

7、大点，是极大点， 其极大值为其极大值为;0)0( f是极小点是极小点， 其极小值为其极小值为x52)(f5233.0),(0),(520),(52第10页/共43页12 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数, , 且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末 (1)(1)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在 0 x处取得极大值处取得极大值; ; (2)(2)当当0)(0 xf时时, , 函数函数)(xf在在 0 x处取得极小值处取得极小值. . 定理定理3( (第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000 , 0

8、 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值. 第11页/共43页13例例3解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下第12页/共4

9、3页14Mm注意注意.2,)(,0)(00判判别别可可由由定定理理处处是是否否取取得得极极值值在在点点时时xxfxf 第13页/共43页15oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在上连续，则上连续，则在在若函数若函数baxfbaxf是极值点。是极值点。区域内部的最值点一定区域内部的最值点一定第14页/共43页16步骤步骤1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,哪个大哪个就是最大值哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个哪个小哪个就是最小值就是最小值;注意注意:

10、:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)1x2x第15页/共43页17例例1 1解解),1)(2( 6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f第16页/共43页18，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值14123223 xxxy第17页/共43页19点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例

11、例2 2敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？第18页/共43页20解解公里公里5 . 0(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追追击击至至射射击击的的时时间间处处发发起起为为我我军军从从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()5 . 0()(ttts 公里公里4B A )(ts)(ts.)()2(的的最

12、最小小值值点点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt, 0)( ts令令得唯一驻点得唯一驻点. 5 . 1 t.5 . 1分分钟钟射射击击最最好好追追击击后后处处发发起起故故得得我我军军从从 B，根根据据实实际际问问题题有有最最小小值值第19页/共43页21实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值或最小或最小函数值即为所求的最函数值即为所求的最区间内达到，则该点的区间内达到，则该点的点，而最值点在点，而最值点在若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻)(第20页/共43页22例例3 3 某房地产公司有某房

13、地产公司有50套公寓要出租，当租金套公寓要出租，当租金定为每月定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金元时，公寓会全部租出去当租金每月增加每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20( x,1018050 x第21页/共43页23,1068)20()( xxxR 101)20(1068)(x

14、xxR,570 x 0)( xR.350 x因为驻点唯一因为驻点唯一,且根据实际问题存在最大值且根据实际问题存在最大值,故每月故每月每套租金为每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR).(10890 元元 第22页/共43页24点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4形形面面积积最最大大所所围围成成的的三三角角及及线线处处的的切切线线与与直直使使曲曲线线在在该该点点上上求求一一点点，曲曲边边成成一一个个曲曲边边三三角角形形，在在围围及及抛抛物物线线，由由直直线线808022 xyxyxyxy第23页/共43页25Txyo

15、PABC(08).x解解 如图如图,设曲线上任意点为设曲线上任意点为 2( ,)P x x(08),x过点过点P的切线斜率为的切线斜率为 2()2 ,kxx则切线则切线 PT的方程为的方程为 22 (),Yxx Xx令令 0,2xYX得点得点A的坐的坐标标 (,0),2x令令 28,16,XYxx得点得点B的坐标的坐标 2(8,16),xx三角形三角形ABC的面积的面积为为 21( )(8)(16)22xS xxx32864 ,4xxx第24页/共43页26令令 23( )16644S xxx3(4)(16)0,4xx解得解得 16(16),3xx舍舍去去它是它是(0, 8内唯一驻点内唯一驻点

16、, 且且163163()(16)80,32xSx 故故 16()3S是极大值是极大值, 也是最大值也是最大值, 所以曲线上所求点所以曲线上所求点为为16 256(,).39第25页/共43页27证证明明，设设, 110 px例例5 5. 1)1 (211 pppxx证明证明,)1 ()(ppxxxF 令令,)1 ()(11 ppxxpxF得得由由0)( xF,21 x111(1)(0)1( ),22pFFf又又， 所以所以F(x)在在0,10,1上最大值为上最大值为1.1.，最最小小值值为为121 p. 1)1 (211pppxx故故第26页/共43页28例6例6中中求求出出最最大大的的数数。

17、在在,3,2, 13nn解解),0(1xxyx设设)(ln1 xxey),ln1 (112xxxx单增，单增，时，时，而当而当yyex , 0, 21 这时有这时有单减，单减，时，时，而当而当yyex , 0,4343 nn这时有这时有, 323 而而.33最最大大故故,0exy 得得驻驻点点令令第27页/共43页29极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;

18、第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)第28页/共43页30注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.第29页/共43页3116035 P习习题题1(2,9),3,4(2), 9,13.第30页/共43页32思考思考题题 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)( af？第31页/共43页33思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点. .例例xxfy

19、)(1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f第32页/共43页34一、一、 填空题：填空题：1 1、最值可、最值可_处取得处取得. .2 2、函数、函数2332xxy ( (41 x) )的最大值为的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.3 3、 函数函数2100 xy 在在0,80,8上的最大值为上的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.4 4、 设有重量为设有重量为 5kg5kg 的物体，置于水平面上，受力的物体，置于水平面上，受力f的作用而开始移动，摩擦系数的作用而开始移动，摩擦系数 =0.25=0.25，问力，问力f与与水平线的交角水平线的交角

20、为为_时，才可使力时，才可使力f的大小为的大小为最小，则此问题的目标函数为最小，则此问题的目标函数为_，讨论区间为讨论区间为_._.练练 习习 题题第33页/共43页355 5、 从一块半径为从一块半径为R的圆缺片上挖去一个扇形做成一个的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为漏斗，问留下的扇形的中心角为_时，做时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为_考察区间为考察区间为_._.二、二、 求函数求函数xxy542 ( (0 x) )的最值的最值 . .三、三、 求数列求数列 nn210的最大项的最大项 . .四、四、 要造一圆柱形

21、油灌，体积为要造一圆柱形油灌，体积为V，问底半径，问底半径r和高和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？高的比是多少？第34页/共43页36五、由五、由2xy , ,0 y , , ax ( (0 a) )围成一曲边三角形围成一曲边三角形OAB，在曲线弧，在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲上求一点，使得过此点所作曲线线2xy 的切线与的切线与OA，OB围成的三角形面积最大围成的三角形面积最大. .第35页/共43页37一、一、1 1、区间端点及极值点；、区间端点及极值点；2 2、最大值、最大值80)4( y, , 最小值最小值

22、5)1( y；3 3、10,610,6； 4 4、)2, 0 ,sincos,arctan pf；5 5、 38, , )2 , 0( ,42464223 RV. .二、二、3 x时函数有最小值时函数有最小值 27.27.三、三、14.14.四、四、. 1:1:;22,233 hdvhvr五、五、)94,32(2aa. .练习题答练习题答案案第36页/共43页38思考思考题题下命题正确吗？下命题正确吗？ 如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.第37页/共43页39思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点第38页/共43页40当当0 x时，时，当当0 x时时，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1si