自动控制 拉氏变换

1、拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、定义一、定义设函数设函数 f(t) 当当t0时有定义，且积分时有定义，且积分0)(dtetfst（s是一个复参量）是一个复参量）在在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为：可写为：0)()(dtetfsFst此式称为函数此式称为函数f(t) 的的拉普拉斯变换式拉普拉斯变换式（简称（简称拉拉氏变换式氏变换式），记为：），记为：)()(tfLsFF(s)称为称为f(t) 的的拉氏变换拉氏变换（或称为（或称为象函数象函数）若若F(s)是是f(t) 的拉氏变换，则称的拉氏变换，则称f(t) 为为F(s)的的拉氏反变换拉氏反变换（

2、或称为（或称为象原函数象原函数），记为：），记为：)()(1sFLtf典型时间函数的拉氏变换：典型时间函数的拉氏变换：22221)(cos)()(sin)(1)()(!)()(1)()( 1)(sssFttfssFttfassFetfsmsFttfssFttfatmmm为正整数为正整数（可查拉氏变换表）（可查拉氏变换表）二、拉氏变换的性质二、拉氏变换的性质1. 线性性质线性性质若若，是常数，是常数，)()()()(2211sFtfLsFtfL则有则有)()()()()()(212121sFsFtfLtfLtftfL 它表明求函数线性组合的拉氏变换等于各函数它表明求函数线性组合的拉氏变换等于各函

3、数拉氏变换的线性组合。拉氏变换的线性组合。2. 微分性质微分性质若若)()(sFtfL则有则有)0()()(fssFtfL推论：推论：若若)()(sFtfL则有则有)0()0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstfL特别，当初值特别，当初值0)0()0()0()0()1( nffff有有)()(,),()(),()()(2sFstfLsFstfLssFtfLnn 3. 积分性质积分性质若若)()(sFtfL则有则有)(1)(0sFsdttfLt4. 位移性质位移性质若若)()(sFtfL则有则有)()(asFtfeLat5. 延迟性质延迟性质若若)()(sFtfL又又 tm

4、，将分子分母分解因式得：，将分子分母分解因式得：)()()()()(1111nmpspspszszszsKsF 把上式部分分式展开，再查拉氏变换表把上式部分分式展开，再查拉氏变换表可求出原函数。可求出原函数。1. F(s)的极点各不相同的极点各不相同nnpsApsApsAsF1211)(Ai 称为称为s=-pi的留数。的留数。ipsiipssFA)()()(12211111nnpsALpsALpsALsFLtftpiiiieApsAL10)(2121teAeAeAtftpntptpn例：求拉氏反变换例：求拉氏反变换)2)(1(3)(ssssF解：解：)()(1sFLtf21)(21sAsAsF

5、2)1()2)(1(311sssssA1)2()2)(1(322sssssA02)(2teetftt2. F(s)含有共轭复极点含有共轭复极点nnpsApsApspsAsAsF332121)()(设设-p1，-p2为共轭复极点，则为共轭复极点，则式中式中A1，A2可按下式求解可按下式求解11)()(2121pspsAsApspssF例：已知例：已知) 1(1)(2sssssF求求 f(t)解：解：1) 1(1)(22102ssAsAsAsssssF三个极点：三个极点：866. 05 . 0232102, 10jjss计算各部分分式的待定系数：计算各部分分式的待定系数：1) 1(1020ssss

6、ssA866. 05 . 021866. 05 . 022)()1() 1(1jsjsAsAssssss)866. 05 . 0()866. 05 . 0(866. 05 . 021jAjAj2121866. 0866. 0866. 0)(5 . 05 . 0AAAA0121AA2222222)866. 0()5 . 0(866. 0866. 05 . 0)866. 0()5 . 0(5 . 01)866. 0()5 . 0(5 . 05 . 0111)(ssssssssssssF0866. 0sin58. 0866. 0cos1)(5 . 05 . 0ttetetftt3. F(s)含有重极

7、点含有重极点)()()()()()(21011nrrrmpspspspszszszsKsF)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsAsFnrrAAA,21与单极点计算相同。与单极点计算相同。rAAA00201,计算方法如下：计算方法如下：0000)()!1(1)()!1(1)()(01100110002001psrrrrpsriiipsrpsrpssFdsdrApssFdsdiApssFdsdApssFA0)!2()!1()(1010202101teAeAeAtrAtrAtftpntprtprrrnr例：例：) 1()2(3)(2ssssF求反变换。求反变换。解：解：12)2()(302201sAsAsAsF1)2() 1()2(322201sssssA2)2() 1()2(322202sssssdsdA2)1() 1()2(3123sssssA1222)2(1)(2ssssF02)2(22)(222teeteetetfttttt习题习题一、求拉氏变换一、求拉氏变换tattttetftetfe