数学欣赏_03数学的分类

1、数学欣赏数学欣赏数学欣赏C数学数学之旅之旅An Overview of Mathematics数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 如果我们想要预见数学的将来， 适当的途径是研究这门学科的历史和现状.数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematic

2、s Appreciation数学之旅数学之旅 穿越时空穿越时空数学，作为人类最早建立的科学，如今根粗杆数学，作为人类最早建立的科学，如今根粗杆壮，枝繁叶茂，已经形成一个庞大的学科体系壮，枝繁叶茂，已经形成一个庞大的学科体系. 数学研究领域不断扩大，数学研究方法不断创数学研究领域不断扩大，数学研究方法不断创新，数学研究内容不断深入，数学应用领域不断拓新，数学研究内容不断深入，数学应用领域不断拓宽。宽。回顾数学发展史可以看到，数学发展史是新思回顾数学发展史可以看到，数学发展史是新思想、新方法、新工具被创造的历史，是问题被解决想、新方法、新工具被创造的历史，是问题被解决的历史，也是高级数学替代低级数

3、学的历史的历史，也是高级数学替代低级数学的历史. 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation本章内容本章内容数学的分类数学的分类1数学分支发展概观数学分支发展概观2数学形成与发展的因素数学形成与发展的因素3从历史看数学1 1数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationM

4、athematics Appreciation8v 纵向发展：纵向发展： 初等数学和古代数学；初等数学和古代数学；变量数学；变量数学；近代数学；近代数学；现代数学。现代数学。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation9初等数学和古代数学初等数学和古代数学：16世纪以前世纪以前古希腊时期建立的欧氏古希腊时期建立的欧氏几何学几何学；古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术算术

5、；欧洲文艺复兴时期发展起来的欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程代数方程等。等。 初等数学又叫初等数学又叫常数数学常数数学。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation10 变量数学变量数学：17-1917-19世纪初世纪初起点：解析几何；标志：微积分（数学分析）；特点：数形结合，引入了变量，可以研究运动。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreci

6、ation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation11 近代数学：19世纪 主要特征：分析的严密化分析的严密化; ;代数的抽象化代数的抽象化; ;几何的非欧化。几何的非欧化。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation12 现代数学：现代数学：2020世纪世纪 起点：起点：1900年年Hilbert提出的提出的23个数学问题；个数学问

7、题；特点：特点：学科分支增多，交叉增强学科分支增多，交叉增强(如：代数拓扑、微分拓扑、代数如：代数拓扑、微分拓扑、代数几何等）；几何等）；基础：基础：Cantor的集合论。的集合论。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation13v现代数学三大趋势：交错发展、高度综合、逐步走向统一；交错发展、高度综合、逐步走向统一；边缘、综合、交叉学科与日俱增；边缘、综合、交叉学科与日俱增；数学表现形式、对象和方法日益抽象

8、化。数学表现形式、对象和方法日益抽象化。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation14v 现代数学六大特征：从单变量到多变量，从低维到高维；从单变量到多变量，从低维到高维；从线性到非线性；从线性到非线性；从局部到整体，从简单到复杂；从局部到整体，从简单到复杂；从连续到间断，从稳定到分岔；从连续到间断，从稳定到分岔；从精确到模糊；从精确到模糊；计算机的应用。计算机的应用。从对象与方法看数学2 2数学欣赏数学欣

9、赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation2022-4-2616美是自然，是一切事物生存和发展的本质特征。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation18v 横向分类：横向分类： o基础数学（理论、纯粹数学）（三大分支：代数、几何、分析

10、）o应用数学o计算数学o概率统计o运筹与控制论 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation19数学分支： 精确数学；精确数学；随机数学；随机数学；模糊数学；模糊数学；可拓数学。可拓数学。自然社会现象： 确定现象；确定现象；随机现象；随机现象；模糊现象；模糊现象；可拓现象。可拓现象。几何学通论1 1 “几何学”就是人类文明对空间本质的“认识论”；宇宙中的所有事物皆存在于空间之中、发生于空间之内，并永远受着空间

11、本质的制约与蕴育；而空间既完美又简朴的本质则是蕴育着宇宙万物万象中至善至美、至精至简的根源。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation22研究对象研究对象: :诸如诸如“几何物体几何物体”和图形的几何和图形的几何量，是空间形式的抽象化量，是空间形式的抽象化; ;研究内容研究内容: :各种几何量的关系与相互位置各种几何量的关系与相互位置; ;研究方法研究方法: :实验方法、思辨方法、解析方法实验方法、思辨方法

12、、解析方法. .数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation23欧几里得几何学欧几里得几何学在承认某些自明的公理在承认某些自明的公理的前提下，按照严密的的前提下，按照严密的演绎推理方法，一层一演绎推理方法，一层一层地建立起来的一套系层地建立起来的一套系统严密的几何学知识体统严密的几何学知识体系。系。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciati

13、on 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation24解析几何解析几何1637年，法国数学家年，法国数学家笛卡尔笛卡尔引入了坐引入了坐标的观念，实现了数形结合，创立了解标的观念，实现了数形结合，创立了解析几何，使得人们可以用代数方法研究析几何，使得人们可以用代数方法研究几何问题，实现了数学的两大分支代数几何问题，实现了数学的两大分支代数与几何的联系。与几何的联系。 两个重要观念：点、数联系两个重要观念：点、数联系的坐标观念，曲线的方程表的坐标观念，曲线的方程表示观念。示观念。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appr

14、eciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation25向量几何向量几何也叫向量代数，该学科产生于十九世也叫向量代数，该学科产生于十九世纪中叶，是由德国数学家哈密尔顿纪中叶，是由德国数学家哈密尔顿（W. R. Hamilton ,18051865）和格）和格拉斯曼（拉斯曼（H. G. Grassmann，18091877）等创立的。向量几何是不依赖）等创立的。向量几何是不依赖于坐标系的解析几何，是坐标几何的于坐标系的解析几何，是坐标几何的返璞归真和精益求精，它使得几

15、何和返璞归真和精益求精，它使得几何和代数结合得更加真切自然、直截了当。代数结合得更加真切自然、直截了当。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation26分形几何分形几何分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）在）在1975年首先提出的，被誉为大年首先提出的，被誉为大自然的几何学。这是现代数学的一个新分支，其本质自然的几何学。这是现代数

16、学的一个新分支，其本质是一种新的世界观和方法论是一种新的世界观和方法论。承认世界的局部可能在一定条件承认世界的局部可能在一定条件下、一定过程中、在某一方面下、一定过程中、在某一方面（形态，结构，信息，功能，时（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相间，能量等）表现出与整体的相似性；它承认空间维数的变化既似性；它承认空间维数的变化既可以是离散的，也可以是连续的。可以是离散的，也可以是连续的。代数学大观2 2数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Apprecia

17、tionMathematics Appreciation28代数学代数学是研究数的科学，起源于古代中国是研究数的科学，起源于古代中国和古埃及。早期的代数学其实是研究数的和古埃及。早期的代数学其实是研究数的运算的，因此叫做运算的，因此叫做算术算术。“代数学代数学”一词一词源自于拉丁文源自于拉丁文algebra （公元（公元12世纪之后），世纪之后），但它又是从阿拉伯文但它又是从阿拉伯文“还原与对消还原与对消”（al-jaber walmuqabala）（公元）（公元820年左右）年左右）或或“方程的科学方程的科学”变化而来。变化而来。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciati

18、on Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation29代数学的符号化代数学的符号化第一阶段是文字代数学，其主要标志是，代数书第一阶段是文字代数学，其主要标志是，代数书全部由文字表述。全部由文字表述。第二阶段是简写代数学，其主要标志是，采用以第二阶段是简写代数学，其主要标志是，采用以速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。第三阶段是符号代数学。法国第三阶段是符号代数学。法国数学家韦达（数学家韦达（Viete, Francois. Vi

19、ete, Francois. 1540160315401603）对代数学符号）对代数学符号化的发展作出了重要贡献。化的发展作出了重要贡献。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation30初等代数学初等代数学初等代数是代数学的古典部分，它是随初等代数是代数学的古典部分，它是随着解方程与方程组而产生并发展起来的，着解方程与方程组而产生并发展起来的，是研究数字和文字的代数运算理论和方是研究数字和文字的代数运算理论和

20、方法的科学，更确切的说，是研究实数和法的科学，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。数运算理论和方法的数学分支学科。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation31初等代数的中心问题是研究方程或方程初等代数的中心问题是研究方程或方程组的解的存在性、解的个数、解的结构组的解的存在性、解的个数、解的结构问题，因而长期以来都把代数

21、学理解成问题，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学。方程的科学。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation32初等代数运算十条规则：初等代数运算十条规则： 五条基本运算律五条基本运算律（加法交换律、加法结合律、乘加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律）；法交换律、乘法结合律、分配律）； 两条等式基本性质两条等式基本性质（等式两边同时加上一个数，（等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同

22、时乘以一个非零的数，等等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变）；式不变）； 三条指数律三条指数律（同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等指数的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积）。于乘方的积）。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation33高等代数学高等代数学高等代数高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，是代数学发展到

23、高级阶段的总称，现在大学里开设的高等代数，一般包括两现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：部分：线性代数、多项式代数。线性代数、多项式代数。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation34线性代数线性代数的研究对象是线性方程组，研究的研究对象是线性方程组，研究内容是线性方程组内容是线性方程组解的存在性、解的存在性、解的个数、解的结构问题解的个数、解的结构问题，研究，研究工具包括矩阵、行列式等。围绕工具包括

24、矩阵、行列式等。围绕线性方程组的这些核心问题，线线性方程组的这些核心问题，线性代数不仅要研究数，数的运算，性代数不仅要研究数，数的运算，还有矩阵、向量、向量空间的运还有矩阵、向量、向量空间的运算以及变换等。算以及变换等。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation35多项式理论多项式理论是以代数方程的根的计算和是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫分布作为中心问题的，也叫做做方程论方程论。研究多项式

25、理论，。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程质，从而寻找简易的解方程的方法。的方法。微积分大意3 3数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation37分析学分析学是指以微积分学为基本内容的数是指以微积分学为基本内容的数学分支的全称，包括微积分学、微学分支的全称，包括微积分学、微分方程、复变函数、实变函数、泛分方程、复变函数、实变函数、泛函分析等。这里我们只介绍

26、微积分函分析等。这里我们只介绍微积分等几个基础分支学。等几个基础分支学。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation微积分学微积分学 简单地来说，微积分学是微分学和积分学简单地来说，微积分学是微分学和积分学的总称，其的总称，其研究对象研究对象是函数；是函数；研究工具研究工具是极限；是极限；研究内容研究内容包括函数的微包括函数的微分、积分，以及联系微分、积分，以及联系微分与积分的桥梁分与积分的桥梁微微积分基本定

27、理。积分基本定理。随机数学一瞥4 4数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation40在自然界和现实生活中，一些事物都是相在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性现象，另一类是不确定性的现象，是

28、确定性现象，另一类是不确定性的现象，这类现象是在一定条件下，它的结果是不这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。这种现象叫做确定的。这种现象叫做偶然现象偶然现象，或者叫，或者叫做做随机现象随机现象。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation41从表面上看，随机现象似乎是杂乱无章、从表面上看，随机现象似乎是杂乱无章、没有什么规律的现象。但实践证明，如果没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大

29、量重复出现，它的总体同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性，叫做就呈现出一定的规律性，叫做统计规律性统计规律性。概率论概率论和和数理统计数理统计就是研究大量同类随机就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科，统称为现象的统计规律性的数学学科，统称为随随机数学机数学。模糊数学概览5 5数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation43现实生活中有许多模糊现象，比如，秃子、现实生活中有许多模糊

30、现象，比如，秃子、年轻、高个子、胖子、干净，好、漂亮、善、年轻、高个子、胖子、干净，好、漂亮、善、热、远等。热、远等。模糊数学模糊数学就是研究如何处理与把就是研究如何处理与把握这些模糊现象的科学，其基础是握这些模糊现象的科学，其基础是1965年美年美国控制论专家、数学家国控制论专家、数学家查德查德（Zadeh, L.A.1921）引入了模糊集合的概念。模糊）引入了模糊集合的概念。模糊集合描述事物集合描述事物“是是”与与“非非”的程度。的程度。可拓学中国人创立6 6数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣

31、赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation45可拓学可拓学中国人自己创立的新学科中国人自己创立的新学科全世界有全世界有2000多门学科，而中国人自己创立多门学科，而中国人自己创立的则很少。以研究解决矛盾问题的规律和方的则很少。以研究解决矛盾问题的规律和方法为内容的新兴学科法为内容的新兴学科可拓学可拓学，是由广东，是由广东工业大学蔡文研究员创立的。蔡文先生引进工业大学蔡文研究员创立的。蔡文先生引进的物元是包括事物的名称的物元是包括事物的名称N、特征、特征C和关于和关于此特征的量值此特征的量值V的有序的三元组的有序的三元组R=（N，C，V）

32、。）。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation46可拓学有两个理论支柱，一个是研究物元及其可拓学有两个理论支柱，一个是研究物元及其变化的变化的物元理论物元理论，一个是建立在可拓集合基础，一个是建立在可拓集合基础上的上的可拓数学可拓数学。物元理论着重研究物元的可拓性，物元的可变物元理论着重研究物元的可拓性，物元的可变性，借以探索事物变化的过程，寻求解决问题性，借以探索事物变化的过程，寻求解决问题的方法。所谓

33、物元的可拓性，即可开拓性，是的方法。所谓物元的可拓性，即可开拓性，是指事物变化的多种可能性，包括发散性、可扩指事物变化的多种可能性，包括发散性、可扩性、共轭性和相关性。所谓物元的可变性，即性、共轭性和相关性。所谓物元的可变性，即可变换性，是指在一定条件下，物元的要素可变换性，是指在一定条件下，物元的要素（事物、特征和量值）的变换或分解。（事物、特征和量值）的变换或分解。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciati

34、on47可拓数学可拓数学是对应用数学的发展，它是建立在可拓是对应用数学的发展，它是建立在可拓集合的基础上的。在现实世界中，事物是可变的，集合的基础上的。在现实世界中，事物是可变的，事物具有某种性质的程度也是可变的，因此，事物具有某种性质的程度也是可变的，因此，“是是”与与“非非”及其程度都是可以转换的。蔡文及其程度都是可以转换的。蔡文先生在先生在1983年引入的可拓集合概念，兼顾了这年引入的可拓集合概念，兼顾了这些因素。在此基础上，建立了可拓数学，从经典些因素。在此基础上，建立了可拓数学，从经典数学对数量关系和空间形式的研究发展到对物元数学对数量关系和空间形式的研究发展到对物元关系和物元空间形

35、式的研究，以矛盾问题的转化关系和物元空间形式的研究，以矛盾问题的转化为研究对象，成为可拓学的一大理论支柱。应用为研究对象，成为可拓学的一大理论支柱。应用可拓数学，使人们能够定量研究自然科学、社会可拓数学，使人们能够定量研究自然科学、社会科学和工程技术中的各种矛盾问题。科学和工程技术中的各种矛盾问题。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation49v数学的形成与发展的因素数学的形成与发展的因素 o实用实用o科学

36、科学o哲学哲学o美学美学数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation50v第一动力第一动力：解决因社会需要而直接提出的解决因社会需要而直接提出的问题。这为人类认识与改造自然提供了工问题。这为人类认识与改造自然提供了工具与方法。具与方法。 初等数学的欧几里得几何学、代数方程以初等数学的欧几里得几何学、代数方程以及高等数学的概率论、运筹学等，都是为及高等数学的概率论、运筹学等，都是为解决实际问题而产生与发展的。解

37、决实际问题而产生与发展的。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation51v第二动力第二动力：提供自然现象的合理结构。提供自然现象的合理结构。 数学的概念、方法和结论都是物理学的基数学的概念、方法和结论都是物理学的基础。这些学科的成就的大小取决于它们与础。这些学科的成就的大小取决于它们与数学结合的程度。数学结合的程度。 图论、拓扑学、微分几何、复变函数等都图论、拓扑学、微分几何、复变函数等都是因此而产生的。

38、是因此而产生的。数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation52v第三动力第三动力：智力方面的好奇心和对纯思维智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣。的强烈兴趣。 数论、非欧几何、射影几何等都在很大程数论、非欧几何、射影几何等都在很大程度上受这一动力的影响。度上受这一动力的影响。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation53v 第四动力第四动力：对美的追求。对美的追求。 数学除了其完美的结构美以外，在证数学除了其完美的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，所运用的想明和